“一线三等角”模型的应用

“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上，其中有两个角的一边与直线重合，这样就可以形成一对形状相同的三角形. “一线三等角”模型也被称为“K字型”，它可分为“直角一线三等角”（如图1，又叫“三垂直”型）、“锐角一线三等角”（如图2）和“钝角一线三等角”（如图3）三类.因其条件类型的多样化，近几年成为各地中考热门考点之一.

以“三垂直”型为例，当直线绕点C旋转一周时，会得到如下4种情况：

同侧型，如图4、图5.

异侧型，如图6、图7.

模型应用

例 独立思考.

（1）如图8，已知直线MN，小明将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放置在直线MN上，作AD ⊥ MN于点D，BE ⊥ MN于点E．猜想线段AD，BE和DE之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

变式探究.

（2）将直线绕点C旋转到如图9所示的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）将直线绕点C旋转到如图10所示的位置时，请直接写出线段AD，BE和DE之间的数量关系： .

思路：（1）由垂直得∠ADC = ∠CEB = 90°，易证∠DAC = ∠ECB，因此根据“AAS”可以证明△ADC ≌ △CEB，结合全等三角形的对应边相等即可证得结论；

（2）由垂直得∠ADC = ∠CEB = 90°，易证∠DAC = ∠ECB，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE + BE = AD；

（3）同（2）的方法可得出DE = BE - AD．

分层作业

难度系数：★★★★ 解题时间：10分钟

在△ABC中，∠ABC = 90°，∠ACB = α（0° lt; α lt; 45°），将线段CA绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，过点D作DE ⊥ BC，垂足为E.

（1）如图11，求证：△ABC ≌ △CED；

（2）如图12，∠ACD的平分线与AB的延长线交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明.（答案见第39页）

（作者单位：辽宁省实验中学初中部）