随机事件独立性的探究

摘 要：对随机事件的独立性进行了探究，分析了两个事件、三个事件独立性的本质，说明条件的不可或缺性，并从多个角度给出了判断事件独立性的方法。通过数形结合阐述事件间相互独立、互不相容和互不影响的区别与联系，进一步加深对独立性的理解。最后通过例题，证明相互独立的三个事件的一些结论，并说明三个事件两两独立与相互独立的不同。

关键词：概率论 随机事件 独立性 相容

中图分类号：O211.2-4

Exploration of the Independence of Random Events

FAN Feiya WU Wenbin YANG Zehui

China Maritime Police Academy， Ningbo， Zhejiang Province， 315801 China

Abstract： This article explores the independence of random events and analyzes the essence of the independence of two or three events， explains the indispensability of conditions， and proposes methods for judging event independence from multiple perspectives. By combining numbers and shapes， it explains the differences and connections between events that are mutually independent， incompatible， and have no impact on each other， we can further deepen our understanding of independence. Finally， through examples， it proves some conclusions about the three indeikb+hSAfuntWs+izu9qsHlue9HFSRL9mkQjyP+VnGak=pendent events and explains the differences between the pairwise independence and mutual independence of the three events.

Key Words： Probability theory; Random events; Independence; Compatible

随机事件的独立性是概率论中一个基本的概念，对多个事件概率的计算，随机变量的数字特征等相关问题，都有着重要的应用。在教材中，通常是用公式来定义事件的独立性，看似简洁明了，却缺乏对独立性的深刻阐述。这使得学生只知道用公式验证事件的独立性，而对什么是独立性，仍是一知半解[1]。刘淑环[2]与周越[3]对事件的独立性进行了粗略的探讨，指出事件的独立性就是事件在发生的可能性上没有相互影响，但是没有对独立性进行深刻剖析。本文先是对独立性的本质进行探究，较全面地分析了事件的相互独立、互不相容与互不影响的异同，并进一步用例题加以说明。

1 概念准备

1.1 两事件相互独立

设是两个事件，如果满足等式，则称事件相互独立，简称独立[4，5]。

1.2 三事件相互独立

设是三个事件，如果满足等式

则称事件相互独立[4，5]。

2 事件独立的本质

2.1 两事件相互独立的本质

设有全集，事件，令表示中样本点的个数，表示中样本点的个数，表示中样本点的个数。判断与独立的方法如下：

（1）通过独立的定义得出

（2）当时，的发生与否对的发生与否没有影响，即[6]

（3）当时，在中的占比等于在全集中的占比，或者在中的占比等于在中的占比[7]，即

或

2.2 三个事件相互独立的本质

设有全集，事件如图1所示。

对于3个事件的相互独立，除了要有与、与、与相互独立，还要有与（或与、或与）相互独立，这样就能保证与形成的任何事件（或与形成的任何事件，或与形成的任何事件）都是独立的，即有[8]

在上述小节1.2中，若只满足条件（1）-（3），则称事件是两两独立。即一组事件中，任何一个事件发生都不会影响另一个事件发生的概率。只有当满足（1）-（4）时，才称事件是相互独立。即一组事件中，任何个事件的发生都不会影响另一个事件发生的概率。相互独立包括两两独立，但一般比两两独立的要求更高一些。

2.3 事件的相互独立、互不相容和互不影响

（1） 如图2所示，。当发生时，必然导致不发生，即的发生与否对的发生与否造成了影响，故与互不相容，相互不独立，相互有影响。

（2）如图3所示，。因，故与相互独立，互不影响但是相容。

由（1）与（2）可知，当时，相互独立与互不影响等价，且有相互独立与互不相容不能同时成立。

（3）当时，不管或，都有

此时，与同时满足相互独立，互不影响以及互不相容。

（4）如图4所示，：线段ef，：gbdh围成的矩形，即，于是有：

此时，与满足相互独立与互不影响，但是与相容。

（5）如图5所示，：线段ac，：S中去掉ac剩下的部分，即，于是有：

此时，与满足相互独立与互不相容，但是与相互有影响。

由上述（3）-（5）叙述可知，概率为的事件与任意事件独立，但是两事件独立不一定没有影响，两事件无影响则一定相互独立。

3 例题讲解

例1 设三事件相互独立，试证[9，10]：

（1）与相互独立；

（2）与相互独立；

（3）与相互独立；

（4）与相互独立。

解：因三事件相互独立，由1.2得

（1）

故与相互独立。

（2）故与相互独立。

（3）

，故与相互独立。

（4）

故与相互独立。

当三事件相互独立时，必然会有与形成的任何事件都独立，与形成的任何事件都独立，与形成的任何事件都独立。

例2 试验：抛掷一枚骰子两次，：第一次掷出了一个偶数，：第二次掷出了一个偶数，：两次掷出的点数之和是偶数，：试验的样本空间。

解：用分别表示集合中样本点的个数，得

于是

从而有，即两两独立，但是

即不是相互独立。

对本题分析可知，因为，所以发生时，必有发生，与具有一定的依赖关系。且有

故的发生对造成了影响。

例3 班里共100个学生，有71人参加运动会。其中参加跑步的有50人，参加跳远的有20人，参加游泳的有30人，跑步和跳远都参加的有9人，跑步和游泳都参加的有13人，跳远和游泳都参加的有10人，跑步，跳远和游泳三项都参加的有3人。试分析参加跑步的学生、参加跳远的学生和参加游泳的学生，这三个事件之间的独立性。

解：记参加跑步的学生为，参加跳远的学生为，参加游泳的学生为，如图6所示。

可得由形成的事件的概率分别为

从而有，但是

综上所述，对于三个事件，即使有成立，也不一定有两两独立，更别说相互独立了。

4 结语

独立性是概率论中的一个重要概念，在深刻理解事件独立性的基础上，准确把握事件的相互独立、互不相容与互不影响的区别与联系。如此，可以让学生从本质上理解事件的独立性，在判断多个事件的独立性时更加逻辑清晰，条理分明。

参考文献

[1]朱德刚，何念念，陈仕荣.关于独立性的若干反例[J].高等数学研究，2019，22（1）：79-80，114.

[2]刘淑环.随机事件相互独立和两两独立性的探究[J].中小企业管理与科技（上旬刊），2019（4）：181-182.

[3]周越.随机事件独立性的三个认识误区[J].现代商贸工业，2016，37（29）：164-165.

[4]盛骤，谢士千，潘承毅.概率论与数理统计[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[5]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2019.

[6]程海奎，章建跃.通过随机变量刻画随机现象加深理解随机思想[J].数学通报，2022，61（1）：9-14，19.

[7]段燕.浅析概率论的独立性[J].吕梁教育学院学报，2014，31（2）：99-100.

[8]程海奎，章建跃.用样本空间刻画随机现象定义随机事件的概率发展学生的随机观念[J].数学通报，2021，60（5）：1-9，17.

[9]杨芝艳.概率论中事件独立性的几个命题[J].佳木斯职业学院学报，2015（4）：277-278.

[10]韩燕玲.随机事件的独立性及其应用[J].数学学习与研究，2023（14）：8-10.