莫尔圆极点法的数学理论探源和工程应用探讨

摘 要：莫尔圆在应力路径、地基承载力、挡土压力等方面得到了广泛应用，也常用于解释试验数据和预测岩土变形。莫尔应变圆上有一个特殊的点，将其称之为极点。这个极点跟单元体的应变状态有关，而且其特点在于可以通过它来达到任何平面的应变状态。分析莫尔圆极点法的数学原理，介绍极点和极线。探讨莫尔圆极点法的内在特性，最后分析了其在工程应用中的优势。

关键词：莫尔圆极点法 数学理论 极点 极线

中图分类号：TU47

Discussion on Mathematical Theory and Engineering Application of Mohr’s Circle Pole Method

CAO Xuecheng

Wuxi Lixin Higher Vocational School， Wuxi， Jiangsu Province， 214000 China

Abstract：Mohr’s circle has been widely used in stress paths， foundation bearing capacity， retaining pressure， and other aspects， and is also commonly used to interpret test data and predict rock and soil deformation. There is a special point on the Mohr strain circle， which is called a pole. The pole is related to the strain state of the element， and its characteristic is that the strain state of any plane can be reached through it. This article analyzes the mathematical principles of the Mohr’s circle pole method and introduce poles and polar lines， explores the inherent characteristics of the Mohr’s circle pole method， and finally analyzes its advantages in engineering applications.

Key Words： Mohr’s circle pole method; Mathematical theory; Pole; Polar line

莫尔圆（Mohr Circle）最初是由德国Karl Culmann提出的一种图形应力分析方法，认为在应力圆上可以找到每一个斜截面的正应力和剪应力对应的坐标点[1]。随后，在1882年，德国结构工程师Christian Otto Moore对莫尔圆的概念进行了深入而全面的研究，成功将其应用范围扩展至二维和三维应力情况，并基于应力圆提出了荷载标准[2]。莫尔圆极点法的理论基础简洁，易于理解掌握。同时，该方法的操作步骤简洁明了，便于工程人员实际应用时快速掌握。极点法是求解MohrCircle的一种非常重要的方法。极点的使用使得在复杂条件下，通过图形方法获取应力状态（包括大小和方向）是一种高效且简便的方式，无须进行繁琐的数值计算。

1 射影几何学中的基本概念

1.1 帕斯卡定理

根据帕斯卡（Pascal）定理是非退化二阶曲线的内接六角形的对边的交点一定共线。当两条相邻的顶点重叠时，连接两条重叠的顶点的边是两个重叠顶点的切线。在这个意义上，Pascal定理指出，当两个相邻顶点重合时，在非退化二阶曲线上，该重合点处的切线与其对边的交点将精确地位于由剩余两对不相邻边角点所构成的连线上。基于这一几何性质，利用直尺工具，精确地绘制出已知切点的切线。通过这种方法，准确把握几何图形中的内在关系。

1.2 圆锥曲线的极点和极线

极线，作为圆锥曲线间一种独特而微妙的联系，不仅揭示了曲线上各点间深藏不露的关联，而且提供了一种全新的视角来探索和理解这些曲线的性质。如果一条直线穿过圆锥体，与其相交于A和B两点。并且第二个交点B与A围绕主柱对称，那么这条直线便称为点A的极点。如果点A在圆锥体上，它通过柱与点A对称。不仅为点A提供了一种特殊的参照，而且使得人们可以通过这个参照点来洞察整个圆锥曲线的构造和性质。

极线的概念不仅在数学领域中具有重要意义，而且在几何学和物理学等其他领域也发挥着不可替代的作用。通过对极线的深入研究，可以揭示出圆锥曲线更深层次的规律和特性。

2 平面应力状态分析

2.1 应力正负号的约定

材料力学中，标准作为是将正应力以拉为正；弹性力学则以规定外法线和坐标轴正向一致的面为正面，当正面上指向坐标轴正向的应力时，表示为正，反之为负[3];剪应力是以单元体绕其内一点顺时针转动为正，反之为负；岩土力学的则是正应力以压为正。剪应力使单元体绕其内一点逆时针为正面。

2.2 一点的平面应力状态分析

假设单元体厚度为1的情况下，是决定表面张力的物理分量。设OC=h是边的高，在法向向和垂直于向的平衡条件下，得到极线思维方法，理解一点应力状态的概念。对于三角形单元体进行分析，使得，然后将单元体倾斜到点，如图1所示，形成面成为经过点的一个面。见图1所示，当发生变化时，经过点的平面无穷，在推导平面应力解析公式时，依赖于一对正交平面上的应力数据。

3 莫尔圆极点法的特性

（1）Mohr Circle体现了应力作用面与应力产生相对夹角之间的关联。同时，极点在平面旋转过程中，作为固定轴点的水平参照，发挥着关键作用。因此，应力圆与极点之间的连线，对于确定应力作用面的绝对几何方向具有决定性意义。具体而言，极点方法通过将双倍角度方法的代表面点映射至平行面，并以圆心为基准的0°～360°之间的中心角（双倍角）作为中心点，从而精确地描述了应力状态。当极点被设定为参考点时，圆周角（实际角）在0°～180°之间；（2） 将极点连接到圆中任何一点的线与连接点所代表的表面平行，因此根据图1（b），极点也可以被视为不同平面之间的交点。这也可以被视为the pole （method）也称为the origin of planes （ method）的原因。

事实上，也可以根据其他方法来观察极点唯一性、存在性。应力包括作用点、作用于经过的点的哪一个表面、大小和作用方向四大要素。如果可以在（T-T）坐标系中确定工作面，同时根据应力标记的顺序组合，那么莫尔圆中的应力将直接关系到应力的代数值，并且还规定了该作用面上正应力沿法向、剪应力沿切向的具体指向。如图1（b）可以看出，所有作用面都必须要在一个点上相交，这一个相交点就是作用点。在（T-T）坐标系中，它与极点相对应，表示通过该点的所有表面上的一组应力状态的集合。

4 莫尔圆极点法的应用

莫尔圆极点方法在应力分析中表现出较高的适用性，同时也能有效地应用于应变分析。在平面状态下，该方法在坐标轴旋转过程中，利用分量计算其二阶对称张量的效果更为优异。除平面应变张量和应力张量外，从理论层面来看，莫尔圆极点法还可应用于材料力学等多个领域，包括截面惯性矩张量、联合概率密度张量、转动惯性矩张量等。例如：截面惯性矩张量中，对于分析结构的稳定性和抗弯性能具有重要意义。莫尔圆极点法可以有效地应用于截面惯性矩张量的计算，为工程设计提供了理论依据。联合概率密度张量在材料力学中也具有重要应用。在随机力学系统中，联合概率密度张量描述了系统中各个随机变量的概率分布情况，通过对联合概率密度张量的分析，可以更好地了解材料的力学性能和可靠性[4]。所以，从理论层面来看，莫尔圆极点法在材料力学等领域具有广泛的应用潜力。通过对平面应变张量、应力张量、截面惯性矩张量、联合概率密度张量、转动惯性矩张量等方面的研究，进一步拓展莫尔圆极点法的应用范围，发展更多创新性成果。

在处理复杂应变问题时，莫尔圆极点法展现出其独特的优势。当面临只有两个任意平面及其对应应变值的情况时，这些平面之间并非相互垂直。如图2所示，，且，通过莫尔圆极点法更容易确定该应变单元体上的应变值。

与常用的双倍角法相比，莫尔圆极点法可以更加清楚地反映应力作用的面、点、方向和大小。可以用一个简单的方法来表示这些。把一个点作为应力作用的点，然后用实际的角度来表示它的方向[5]。这样一来，可以更直观地理解几何关系，甚至还能降低那些复杂方法的难度，让数和形更好地结合起来。这种直观的方式更容易看清问题的本质，还能帮助分析更复杂的问题。

例如：在岩土工程中，可以采用“莫尔圆极点法”来研究强度、应力路径和极限状态。这种方法巧妙地运用了几何图形的直观性，揭示了材料受力过程中的复杂关系，让我们更容易理解问题。莫尔圆极点法不仅具有理论上的严密性，更在实际应用中展现出了其强大的实用性。将原本难以捉摸的应力状态转化为直观的图形表示，可以更直观地理解材料在不同应力状态下的表现。这种方法不仅提高了分析的准确性，还大大简化了分析过程，实现了对复杂工程问题的高效处理。所以，莫尔圆极点法在岩土工程中具有广泛的应用前景[6]。无论是对岩土工程材料的强度分析，还是对于复杂应力路径的模拟，该方法都能够提供有力的支持。同时，随着科学技术的不断发展，莫尔圆极点法将在未来的岩土工程领域中发挥更加重要的作用。

5 结语

综上所述，莫尔圆极点法可以简单、准确地求解任意截面在一定应力状态下的应变状态。该方法以其简单、准确的计算特性，被工程技术人员广泛应用于工程中。本文对莫尔圆极点法的数学理论进行了分析，深入研究了莫尔圆极点法的内在特性，最后分析了莫尔圆极点法在工程应用中的优势，包括精度高、稳定性好、适用范围广等。此外，它还可以处理复杂应力状态下的应变问题。而正是因为其具有较高的精度、稳定性和适用范围，莫尔圆极点法在工程领域具有广泛的应用前景。

参考文献

[1] 阙仁波.莫尔圆极点法在平面应力状态教学中的应用[J].四川建筑，2020，40（3）：193-194，196.

[2] 阙仁波.对莫尔圆极点法的数学理论探源和工程应用探讨[J].科技通报，2022，38（4）：1-9.

[3] 运飞宏，刘伟丰，王武超，等.基于莫尔积分的校圆工具压紧力分析[J]. 哈尔滨工程大学学报，2022，43（4）：557-563.

[4] 樊建瀚.基于莫尔条纹的高精度晶圆键合对准方法研究[D].成都：电子科技大学，2022.

[5]鲁成海，顾鸿宇，鲁永林，等.基于莫尔圆的半刚性基层路面应力状态分析[J].中文科技期刊数据库（全文版）工程技术，2023（11）：126-130.

[6]毛崎波，李戈，王永，等.基于极点配置法的电磁分流阻尼优化设计[J].噪声与振动控制，2022，42（6）：19-23.