借助几何直观 分析数量关系

［摘 要］描述和分析数量关系是几何直观的内在旨趣。在分析数量关系时，几何直观能够将抽象概念具象化，揭示隐含信息，构建直观模型，指明分析方向。在教学实践中，结合问题解决的具体过程，可以通过“根据实际情况，确定图形类型”“精准把握问题，合理绘制图形”“培养析图能力，明晰数量关系”等策略来设计教学，帮助学生学会借助几何直观分析数量关系。

［关键词］几何直观；数量关系；小学数学

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）35-0096-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）将“数量关系”单独列为一个学习主题，这一变化充分凸显了数量关系教学的重要地位。《课程标准》指出，数量关系主要是用符号或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。对数量关系的教学可以利用画图、实物操作等方法，引导学生用学过的知识表达情境中的数量关系，体会几何直观。因此，在实际教学中，教师应采用画图的方法帮助学生分析数量关系。

一、几何直观的内在旨趣

（一）从几何直观的内涵来说

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。其定义包含三个要点：第一，几何直观被界定为一种意识和习惯；第二，图表是几何直观研究问题的主要工具；第三，描述和分析问题是几何直观的主要作用。其中的第三点需要结合数学这一学科背景来思考。数学是一门探究数量关系与空间形式的科学，它源于对现实世界的抽象化过程，通过抽象数量及其关系、图形及其关系，形成数学的研究对象及其相互关系。因此，几何直观所致力于描述与分析的，正是问题中的数量及其关系、图形及其关系。

（二）从几何直观的主要表现来说

《课程标准》将几何直观的主要表现概括为以下四条：①能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；②根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；③建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；④利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。这四条内容清晰地展示了运用几何直观分析数量关系的基本过程。要用图形来描述、分析问题，首先需要认识图形、了解图形。接着需要把语言文字叙述的问题抽象成图形，把问题中的各个数量及其之间尚未被学生发现的关系转化成图形或位置关系。最后通过对直观图形的分析、思考，找到问题的解决思路。在小学数学中，解题思路通常表述为：先用数量[a]加上数量[b]得到数量[c]，再用数量[c]乘数量[d]得到数量[e]……可见，每一步解答都包含一个数量关系式，每一个数量关系式都清晰地展示出两个或多个数量之间的关系。因此，解题思路中包含着数量关系及其组合。

二、几何直观在分析数量关系中的价值意蕴

（一）变抽象为直观

苏联心理学家鲁宾斯坦认为，小学生的推理是建立在直接观察所提供的直观前提之上，即使到后来能以抽象前提为基础进行推理，也只有借助于直观形式或熟悉事例把抽象前提加以具体化，推理才能顺利实现。几何直观需要根据文字叙述画出相应的图表描述和分析问题，帮助学生进行直观地理解问题，分析思考，从而找到解决问题的途径和方法，这与小学生依赖直观前提进行推理的思维特征相吻合。

（二）揭示隐藏信息

几何直观还能帮助学生发掘一些不易从文字叙述中直接获取的数量关系。以一道练习题为例：小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇。请问，这座桥有多长？教学时教师引导学生把两人行走的过程画成线段图，学生就可以清楚地发现两人在第二次相遇时所走的路程之和是桥长的3倍。几何直观凭借其将抽象转化为具体形象的功能，让学生能够从不同的视角观察问题，从而有效地发现那些隐藏在文字背后的关键信息，为解决问题提供重要的线索和思路。

（三）构建直观模型

几何直观通过建立形与数之间的联系，构建数学问题的直观模型。对于一些特定的数学问题，可以使用图式模型来帮助学生分析数量关系。例如，用矩形模型表示乘法分配律，学生可以通过观察矩形的面积计算公式，理解乘法分配律的数量关系。双重编码理论认为，如果同时呈现文本和图形组成的多元表征信息，两类表征可以通过模型建构和模型检验进行相互转译和补充，从而形成概念性的抽象认识。

（四）指明分析方向

当学生面临复杂的数量关系问题时，教师可以引导他们将抽象的数字和符号转化为直观的图形来表示数量关系。通过分析图形的形状、数量及位置关系，学生能够洞察数量关系的本质特征，从而明确解题的思路与具体方法。因此，将几何直观作为一种解题习惯加以培养，能够让学生在纷繁复杂的文字叙述中拨云见日，迅速找到解题的正确方向，提高解决问题的效率和准确性。

三、借助几何直观分析数量关系的教学策略

（一）根据实际情况，确定图形类型

几何直观在小学数学问题解决中的直接体现，是根据问题的描述绘制相应的图形，以分析数量关系。这些图形依据其抽象程度，可被划分为示意图与几何图两大类。示意图又可以进一步细分为实物图与模型图。实物图采用实物图像替代实物本身，既生动形象，又便于观察与分析。模型图则利用不同的图形符号来模拟并代表不同的实物，如使用圆圈来替代花朵，用长方形表示行进中的车辆等，这一过程蕴含抽象思维。几何图则是指将问题的内容抽象为小学生所熟知的由点、线、面、体等几何元素构成的图形，涵盖一维的线段图、二维的平面图以及三维的立体图等。

面对这些不同类型的图形，教学时教师需要根据实际情况做出合理的选择。其中既要考虑学生的年龄特点和认知经验，也要考虑问题情境和知识特点。

1.尊重学生经验

学生的图形认知经验是几何直观的基础，学生只有基于已有经验来选择图形，才能发挥几何直观的价值。低年段学生的思维发展还处于具体形象思维阶段，通常采用动手操作以及对实物图或模型图的观察与分析来帮助思考。中年段学生已经有了一定的知识基础，对一般图形的基本特征也有所了解，可以从模型图向几何图形过渡，一般通过画线段图或平面图来分析数量关系。高年段学生的观察和分析能力、空间思维都有了进一步发展，能够依据题目内容，灵活选用线段图、平面图或立体图进行解题。

2.依据问题特征

在利用图形表征问题时，还要依据情境内容的知识特点，同时考虑图形表征的适切性。如在教学行程问题、相差关系问题、倍数关系问题时，一般选择画线段图；涉及面积或体积的变化问题时，一般选择平面图或立体图；遇到数量之间有交叉关系的，一般选用集合图；等等。

（二）精准把握问题，合理绘制图形

1.保证题意理解的准确性

绘图，首先要理解题意。教学中，部分学生因未能准确理解题意而感觉画图困难或者画图出现错误。这种情况通常源于信息获取不全面、词句理解不准确、条件间的关系未厘清等因素。例如，有这样一道习题：新庄小学的操场原来是一个正方形，扩建校园时，操场的一组对边各增加18米，这样操场的面积就增加了900平方米。原来操场的面积是多少平方米？题中“一组对边各增加18米”是指相对的两条边分别增加18米（如图1-1），有的学生错误地理解成相对的两条边的两端都增加18米（如图1-2），图画错了，直接导致数量关系的理解出错。这就属于图意理解问题。事实上，学生的解题错误很多是审题不清、题意理解错误造成的。

2.把握形与数的一致性

几何直观的过程是要把文字表达的数量信息转化为图形进行分析，然而，在这个直观化的过程中学生容易忽略图形的量的特征，导致画出的图形比例失调。例如，有这样一道习题：学校图书室里，科技书比故事书少240本，故事书的数量是科技书的3倍，故事书有多少本？部分学生画出的线段图（如图2）并未能够体现两条线段倍数关系，不能直观看出240本对应的份数，最终影响了对数量关系的思考，不能起到几何直观应有的作用。

对于这类情况，教师在教学中，一是要重视画图方法的指导，引导学生注意形与数关系的一致性，避免数形分离；二是要有意识地开展错例分析，分析画错的原因及其造成的影响，让学生在纠错过程中规范画图，尽可能在图中能较为准确地体现量与量之间的倍数关系或相差关系。

3.关注图示信息的完整性

在解题过程中，画图能辅助学生理解题意。虽说有的简图也可启发思维，但多数情况下，仍需引导学生绘制清晰且完整的图形。教师要重视对学生画图习惯的培养。首要，要精确地在图形中反映题目中的有效条件及待求解问题；其次，需在图上明确标注题目中的每一项数据；最后，需排除多余条件的干扰，关注隐含条件的表达，并掌握将隐含关系转化为直观形式的能力。例如，对于“今年强强8岁，妈妈32岁，几年后妈妈的年龄是强强的3倍？”这一年龄差倍问题，隐含条件是“两人的年龄差保持不变”。在绘制图形时，既要体现倍数关系，也需标明年龄差，以便于对数量关系进行分析。

（三）培养析图能力，明晰数量关系

分析图形需要一定的基础、经验和能力。要增强学生的图形分析能力及提炼数量关系的技能，必须重视学生基本数量关系的积累，并加强对其图形抽象能力的培养。

1.注重基本数量关系的积累

小学涉及的大部分解决问题的内容，都可以归结为“总量=分量+分量”和“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”及其变式和拓展的应用。教师可以结合四则运算的意义、混合运算的教学展开解jmbeJATN72RccFbLmkyS1w==决实际问题的教学，重视“总量=分量+分量”和“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”及其在实际问题中衍生出的各种数量关系的积累和运用。这些基本数量关系的积累与储备为学生分析复杂数量关系提供了知识基础和经验准备。

2.提高学生的图形抽象能力

学生分析图形困难的原因，通常在于其对图形的抽象能力不足，即对图形的敏感度不高，不能准确对应每个“部分量”在图中所处的位置。例如，有这样一道习题：甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车每小时行80千米，乙车每小时行90千米，甲车行至离两地中点还有30千米的地方与乙车相遇，A、B两地相距多少千米？学生虽然正确画出了示意图，但却误认为路程差就是30千米，导致解答错误。这时，教师应引导学生在图上指一指、比一比，让其明确路程差是两个30千米。

提高学生的图形抽象能力，需注重日常积累与实践。一是提供“读图”机会。日常教学中，教师要经常有意识地设计看图编题、看图列式等题型，多为学生提供“读图”的机会，增强学生识图本领。二是鼓励表述图意。鼓励学生在画图、观图的基础上，相互交流图意并在全班汇报图意，通过表述图意，训练学生图形表征与语言表征的转译能力。三是训练抽象关系。引导学生根据图形提炼数量之间的关系，以及表述数量关系之间的关系。经过日复一日的训练，逐步提升学生的图形抽象能力和数学建模水平。

综上所述，图形可以是现实中可视的，也可以是学生脑海中想象的。引导学生利用表象在头脑中进行思维加工是教师的教学目的，在教学中，教师要致力于让学生从眼中有图到心中有图，促使其思维向更高处跨越，最终发展想象力。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）：0-3.

[3] 朱智贤、林崇德.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

[4] 唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].北京：北京师范大学出版社，2009.

（责编 梁桂广）