聚焦分物差异 打通模型内核

［摘 要］学生在日常分物时有按份数分和按每份个数分两种活动经验，这两种方法的本质相同，均是将一个整体平均分成若干相同部分。教学“分苹果”时沿用“分物游戏”的练习情境，让学生经历两种不同分法的学习过程，帮助学生理解平均分的数学本质，构建解题模型。

［关键词］平均分；解决问题；模型

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）32-0064-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数学课程要培养学生的核心素养，其中之一就是模型意识。模型意识的概念、内容和作用见表1。

数学通过研究现实世界的数量关系与空间形式，提炼出具有普遍意义的模式，进而形成各类数学模型。常见的数量关系模型之一就是“乘法模型”，如“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”，其变式可用除法表示。这些模型均可视为总数、份数、每份数三者关系的表达。这三者关系的除法变式出现在北师大版教材二年级上册“分一分与除法”单元，该单元的学习目标是理解平均分的意义，掌握平均分的两种情况。笔者将从本单元第二课时“分苹果”入手，探讨如何通过教学实践帮助学生构建两种问题解决模型，并深入理解平均分的意义。

一、课前思考

（一）教材分析

小学阶段的除法学习是逐步深入的，从整数除法到小数除法，再到分数除法，教材围绕两条主线展开：一是通过等分除来解释算式的含义，二是通过包含除来解释算式的含义。对平均分的理解，是学生掌握除法意义的入门课程。

教材在“分一分与除法”单元编排了三次分物活动（见表2），以“分一分”为活动主线，引导学生通过实践理解除法。学生通过实际操作，解决生活中的平均分问题，积累经验，从而理解平均分的概念。

“分物游戏”和“分糖果”主要引导学生通过分的过程理解平均分，“分苹果”一课是构建平均分意义的核心。平均分的两种意义对应着两种问题解决模型，模型的建立过程包括“感知—抽象—建构—巩固”四个阶段。北师大版教材编排的内容是利用12个苹果开展两次分物活动，并通过问题“说一说，两次分苹果有什么相同的地方？”引导学生发现差异，让学生理解“按份数分”和“按每份个数分”两种平均分的意义，同时感受两种平均分方法的不同之处，理解每份个数、份数和总数之间的关系，这一过程主要停留在感知阶段。

在教学中，就是要利用结构化材料，让学生整体感知平均分的两种情况，架构起联系的桥梁，形成对平均分意义的一致性认知。

（二）学生认知水平分析

为了把握教学起点、厘清教学顺序，笔者对本校二年级学生进行了前测。前测单如图1所示。

对于第1题，95.6%的学生能够用画图的方法得出两种分法的结果，并清楚地解释自己的画法。对于第2题，86.7%的学生发现填的数字相同，43.8%的学生发现尽管分法不同，但任意一种分法中每份的数量相同，11.2%的学生注意到两种分法的表达顺序不同，右边的分法将“每包几颗”放在了前面。

可见，在学习“分苹果”之前，学生已经有了一定的分物经验，知道平均分的含义，能够有序地对具体物体进行平均分，并用语言、图形表达分物过程。对于平均分的两种情况，学生在生活中有所接触，但未系统比较其差异和联系。因此，本节课的重点是建立平均分两种意义之间的联系，实现概念上的互通。

二、教学实践

通过对教材内容的深入分析，结合学生的认知水平，笔者选择从前一节课的练习入手，着重探讨不同分法之间的联系，寻找共通之处，以帮助学生深入理解平均分的概念，从而构建模型。

（一）依托单元结构，初步感知差异

【教学片段1】

师：在之前的学习中我们已经探讨了平均分的概念，今天我们将尝试分配18个橘子。

出示问题：请在任务单中写一写、画一画。每袋装3个，可以装（ ）袋；每袋装9个，可以装（ ）袋。

生1：题目要求每袋装3个，所以我可以用圆圈出3个橘子，表示1袋，然后继续圈，直到不能再圈为止。

生2：每袋装9个，就意味着1袋里有9个橘子。我先拿出9个装成1袋，剩下的9个再装成1袋，正好装2袋。

【设计意图】学生在前一节课中已通过将小数目物品平均分的练习，对“已知总数和份数，求每份的个数”这一数学模型有了深入的理解和操作经验。本环节旨在从学生的现有认知水平出发，激活他们的先前学习经历，进而引入新的教学内容。在新的分配物品练习中，学生将更容易比较两种不同的分法，从而初步感知它们之间的差异。

（二）对比分物过程，抽象除法模型

【教学片段2】

师（出示图2）：对比以下分法，它们有什么相似之处？

生1：每种分法中，每份的数量都是相同的。

师：为什么每份的数量都相同？

生2：因为都是平均分。

师：在左边的分法中，“平均分”这个词告诉我们每份数量相同，那么右边的分法中哪个字告诉我们每份数量相同？

生3：“每”这个字。

师：两种分法还有什么相同的地方？

生4：两边数字都是一样的，都是3和6，9和2。

师：数字一样，那表示的意思一样吗？左边的“3”表示什么意思，“9”表示什么意思？右边的“3”和“9”又表示什么意思？

生5：左边的“3”表示“有3袋”，“9”表示“有9袋”；右边的“3”表示“1个袋子里有3个”，“9”表示“1个袋子里有9个”。

师：两边的“6”和“2”又分别表示什么意思？

（学生回答略）

师：虽然这两组数字相同，但含义完全不同。不过，在分的过程中有一点是不变的，那就是分完后每份数量相同。左边的分法告诉我们“平均分成几份，每份几个”，而右边的分法告诉我们“每份几个，求可以分成几份”。

【设计意图】首先通过对比直观的图示和数据，引导学生探讨平均分的两种情况。学生观察到尽管分配方法各异，但对每种方法来说每份的数量相同，均符合平均分的定义。进一步提出问题“相同的数字是否代表相同的意义？”，让学生明确每个数字背后的实际含义：虽然两种情况都属于平均分，但它们的问题结构不同，一种是“已知总数和份数，求每份数”，另一种是“已知总数和每份数，求份数”。

（三）强化模型结构特征，打通知识内核

【教学片段3】

师（出示图3）：下面的几个问题，你会解决吗？试一试。

师：它们分别与前面的哪种分法相似？你们是如何判断的？

生1：①与图2左边的分法相似，都是“平均分成几份，求每份数”，都有“平均分”这几个字。

生2：②③与图2右边的分法相似，是“每份几个，求份数”，都有“每”这个字。

师（出示图4）：比较图中两种不同的分法，有什么发现？

生3：这两个问题把信息和问题颠倒了。前面是“平均分给3人”，求“每人分得几个”，后面是“每人分4个”，求“可以分给几人”。

师：原来同一张图可以提出两个不同的问题。

【设计意图】学生在前期学习中已深入理解“等分除”与“包含除”两种分法的差异，然而这两种方法的本质均指向“平均分”。因此，在学习过程中，学生不仅应认识到它们之间的区别，还应理解它们内在的统一性。通过比较题组，学生能够发现“尽管分法不同，但图形表示相同，同一图形可引出两种问题”，从而构建知识结构，从“平均分”的角度统一思考这两类问题。

（四）巩固内化提升练习，夯实模型应用

【教学片段4】

师（出示图5）：看到这张图，你们会提出什么问题？

生1：24个小朋友，平均排成2行，每行几人？

生2：12个小朋友站成一排，可以站几排？

师：要把信息和问题说完整。

生2：24个小朋友，12个小朋友站成一排，可以站几排？

师：仍然是这24个小朋友，还可以怎么排队？

……

【设计意图】学生已深入理解平均分的两种含义，并据此构建了相应的解决问题模型。通过整体视角，让学生基于一张图自主设计题目，就能检验学生是否能够将平均分的概念与两种问题解决模型紧密联系起来。

三、课后反思

（一）建立新旧联结，促进知识结构化

结构化教学强调知识间的内在联系，引导学生体验知识结构化的过程，鼓励学生依托现有学习经验，通过比较、观察、迁移、转化和抽象归纳等方法，实现新旧知识的融会贯通，促进知识结构化。

在教学中，为使学生深刻理解平均分的双重含义，有些教师可能会过分突出“等分除”与“包含除”的区别。尽管这两种分法表面上看是不同的，但本质上它们是一致的，都是将一个整体平均划分为若干相同部分，均属于平均分。因此，在教学中，应引导学生发现两者之间的内在联系，了解它们的差异，同时认识到它们的共同点，进而从理解平均分的意义出发，建立新旧知识的联结，将其归纳为统一的定义，即“将整体划分为若干相同部分即为平均分”。

（二）渗透模型思想，培养建模能力

学生在五年级学习完分数的意义及分数的四则运算后，会遇到这样一类题目“军军 [2/5] 小时行 [5/4] 千米，他平均每小时行（ ）千米，行1千米需要（ ）小时”。许多学生在此类题目上出错，原因通常有两方面：一是对分数意义的理解不牢固；二是未能厘清数量关系，没有构建相应的解题模型。在解决这一类问题时，应帮助学生从具体情境中抽象出总数、份数、每份数这三个数量，并理解这三个数量之间的关系，从而感悟模型思想，提升建模能力。

数学学习是一个不断优化和构建的过程，教师应提供支架，帮助学生建立新旧知识之间的联系。例如在本课的教学中，既要关注新知识“包含除”，也要与“等分除”建立联系，帮助学生完善对平均分意义的理解，构建解题模型。如此一来，学生才能形成网状联结的知识体系。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 张育红.在问题解决中渗透模型思想：以“总数、每份数、份数之间关系”问题为例[J].教育研究与评论（课堂观察），2018（6）：71-73.

[2] 孙娜.把握本质深度关联意义建构：《平均分》教学设计与思考[J].小学教学设计，2023（Z2）：93-96.

[3] 任存金.经历过程明确含义掌握方法：“平均分的认识”教学设计与说明[J].小学数学教育，2023（18）：62-63.

[4] 李君，汪秋霞，沈小青.基于均分过程构建除法模型：人教版教材二年级下册“等分除”教学实践研究[J].教学月刊小学版（数学），2023（4）：20-22.

（责编 杨偲培）