从认知到推理：“2、5倍数特征”的教学实践与思考

［摘 要］2、5倍数特征与3的倍数特征存在显著差异，导致学生难以将学习经验直接迁移。在教学“2、5倍数特征”时，通过溯源定位、循证定标、构径定向、联通定法等方法，引导学生基于自然数的位值制理解倍数特征的内在规律，旨在帮助学生从简单枚举过渡到科学归纳推理，提升推理意识。

［关键词］推理意识；倍数特征；科学归纳

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）32-0026-03

学生在探究2、5倍数特征时通常“顺顺利利”，但在探究3的倍数特征时却常“磕磕绊绊”，甚至仅了解特征本身，而不知其背后的原理。对此，本文将阐述如何在教学“2、5倍数特征”时弥合两课程间的知识断层，引导学生从知其然走向知其所以然，从而实现核心素养的进一步提升。

一、溯源定位，明进阶之本

（一）溯知识本位

倍数特征涉及整除性质的传递性和组合性，2、3、5的倍数特征与因数知识共同构成初等数论中整除内容的基础，是小学阶段学生深入理解整数性质的关键载体，也是培养学生推理能力的重要素材。

（二）溯核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，要引导学生根据数的意义，用列举、计算、归纳等方法探索2、3、5倍数的特征，形成推理意识。推理意识是对逻辑推理过程及其意义的初步理解。根据是否揭示对象与属性间的因果联系，不完全归纳推理可分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

（三）溯教材编排

人教版教材在编排“2、5倍数特征”时，主要采用“举例验证”的方法，这属于简单枚举归纳推理。在学生学习3的倍数特征后，教材通过练习引导学生探究4和9的倍数特征，并在“你知道吗”栏目中用科学归纳推理解释了2、3、5倍数特征的本质。

基于对知识本源、核心素养和教材编排的研究，笔者认为可以将2和5的倍数特征的学习从简单枚举归纳推理推进到探索因果关系的科学归纳推理，从而使学生实现从现象认识到本质理解的学习进阶。

二、循证定标，明进阶之能

（一）循知识之证

2和5的乘法口诀、统计中的“正字法”、单数和双数的生活经验，均有助于学生加深对2和5倍数特征的理解。至此，学生已构建起完整的自然数体系，并具备了利用位值制进一步探究整数性质的知识基础。

（二）循经验之证

人教版教材在三年级“长方形和正方形的面积”中，通过问题“其他长方形的面积是否也可这样计算”引导学生以举例验证的方式验证结论。在四年级上册“积的变化规律”和“商的变化规律”中，使用“你能举例说明吗”或“你能举例验证吗”等引导语促使学生进行推理。四年级下册“运算定律”单元则集中运用简单枚举归纳推理来发现和验证规律，至此，学生已积累了丰富的简单枚举归纳推理经验。

（三）循困惑之证

笔者运用SOLO分类层次理论对学生在探究倍数特征时的思维层次结构进行分层。按照找倍数、写倍数、说特征、明本质四个步骤，针对2和5的倍数特征，借助百数表来分别设计前测表。参与测评的149名学生的思维水平见表1。

大多数学生能够找出百数表中2和5的倍数，并写出至少3个百数表外的倍数。相较于5的倍数特征，学生更倾向于将2的倍数特征与偶数、双数概念等同，但仅停留在描述性定义层面，未触及本质。从表中可知，大多数学生对2、5倍数特征已有初步感悟，并能简单说明背后的道理。本节课是一个良好契机，有助于学生从简单枚举归纳向科学归纳过渡。

三、构径定向，行进阶之势

（一）寻5的倍数初构说理之径

1.明特征

师：这三张盖着的牌对应了一个三位数，翻哪张牌能快速判断这个三位数是不是5的倍数？

生1：只要翻代表个位的牌。因为个位上是0或5时，这个数就是5的倍数。

【设计意图：通过翻牌游戏引导学生从数位角度理解5的倍数的特征。】

2.探本质

（1）聚焦特定三位数说理

师：115是5的倍数吗？为什么只用看个位呢？请圈一圈、算一算、写一写，说说你的想法。（有困难可以借助小锦囊）

生2：如图1，1条格子是10个，5个5个地圈，都没有剩余，只要看剩下的格子数是不是5的倍数，即看个位。

生3：10÷5=2，100÷5=20，说明十位和百位上的数都是5的倍数，只需要看个位是不是5的倍数。

生4：如图2，一捆小棒是5的倍数，11捆小棒也是5的倍数，只需要看剩余的小棒数是不是5的倍数，就是看个位。

生5：1个十是5的倍数，11个十也是5的倍数，只需要看个位。

师：这些方法有什么相同点和不同点？

……

【设计意图：聚焦特定的三位数，利用结构化的方格图和小棒图素材，促使学生能够自然联想到位值制，从而对数进行拆分，利用图像、符号、语言三类表征和科学归纳推理的方法揭示了倍数特征背后的道理。】

（2）迁移一般三位数说理

师：对于任意三位数，怎么说明判断它是不是5的倍数只需要看个位？

生5：我可以继续用举例子的方法说明。665中的6个百和6个十都是5的倍数，只需观察个位。

生6：我认为不用再举例子。十位上的数无论多少都是5的倍数，百位上的数无论多少都是5的倍数，因此只需观察个位。

（3）应用任意自然数说理

师：如何判断一个四位数是否为5的倍数？任意自然数呢？

生7：将任意自然数分为两个部分，几个十和几个一，无论多少十都是5的倍数，只需观察个位是否为5的倍数。

【设计意图：学生完整经历了从特殊到一般的研究历程，揭示了特征背后的原理，初步运用了科学归纳推理方法。】

3.积经验

师（出示图3）：回顾研究过程，我们通过圈一圈、算一算，研究了从具体数字到所有三位数，再到所有自然数的5的倍数特征，还可以用这种方法继续研究其他倍数特征。

【设计意图：通过梳理方法，帮助学生积累探究倍数特征的经验，为后续探究其他数的倍数特征打下基础。】

（二）迁移2的倍数特征再构说理之径

1.利用例子想特征

师：你还能想到哪个数的倍数特征只用看个位？（有需要可借助小锦囊）

生1：我以小锦囊中的115为例，通过逐个圈出2的倍数，发现百位和十位上的数均为2的倍数，因此判断115是否为2的倍数，只需看个位。

生2：我认为10的倍数特征也仅需看个位，因为任何自然数都可以分解为几个十和几个一，若个位是0，则该数必定是10的倍数。

【设计意图：本环节通过不同的学习素材，如115的方格图直观推理，以及直接观察10的倍数特征进行类比推理，丰富学生的推理方法。】

2.反思结论助严密

师：是否只有2、5、10的倍数特征需要观察个位？为什么？

生3：10的因数只有1、2、5、10，任何自然数都是1的倍数，因此1的倍数无须判断。由此，只有2、5、10的倍数特征需要观察个位。

【设计意图：通过逆推法，让学生根据5的倍数特征背后的原理推测其他数的倍数特征及其原理，从而积累更多探究倍数特征的经验。】

3.根据特征再分类

师：2的倍数称为偶数，不是2的倍数称为奇数，因此自然数可分为偶数和奇数两类。

【设计意图：通过2的倍数特征对自然数进行分类，让学生体会倍数特征在认识自然数中的重要性。】

（三）拓展4的倍数特征三构说理之径

1.猜测4的倍数特征

师：若要判断一个数是否为4的倍数，你认为需要观察哪些数位？

生1：看个位。

生2：不能只看个位。例如，16、26、36这三个数的个位都是6，但只有16和36是4的倍数，26不是。因此，需要同时观察个位和十位。

师：请说说理由。

2.说清4的倍数特征

生2：以5344为例，它可以分解为5个千、3个百和44个一。千位和百位上的数都是4的倍数，所以只需关注后两位，即个位和十位。

生3：任何数都可以拆分为几个百和几个一，而几个百总是4的倍数，因此只需判断后两位是否为4的倍数。

3.迁移至其他数的倍数特征

师（出示图4）：观察4的倍数特征背后的原理，你认为还有哪些数的倍数特征需要观察后两位？

生4：10的因数是1、2、5、10，这些数的倍数特征无须观察十位。100的因数包括1、100、2、50、4、25、5、20、10，去掉1、2、5、10后，剩下的4、20、25、50的倍数的特征需要观察后两位。

师：回顾今天的课程，我们是如何学习的？你还想探究哪个数的倍数特征，以及如何研究它背后的原理？

【设计意图：从猜测特征到解释原理，学生再次体验了倍数特征及其原理的探究过程，丰富了学生科学归纳推理的经验。】

至此，有了基于位值制的科学归纳推理2、5倍数特征的数学活动经验，学生在探究3的倍数特征时，就获得了更扎实的知识、技能、方法和素养支持。

（责编 金 铃）