用完全弹性碰撞的二级结论解题

【摘要】完全弹性碰撞是高中物理中的重要内容，其二级结论是解决碰撞问题的重要工具.然而，在实际教学中，发现学生在运用完全弹性碰撞的二级结论时存在一定的困难.为了提高学生运用公式的能力，本文结合具体实例，探讨如何巧妙运用完全弹性碰撞的二级结论解题.

【关键词】高中物理；完全弹性碰撞；解题技巧

1 引言

完全弹性碰撞是指两个物体在碰撞过程中，系统的动能和动量都守恒的碰撞.本文以高中物理教学为背景，探讨了如何巧妙运用完全弹性碰撞的二级结论解决实际问题.

2 两种弹性碰撞模型概述

2.1 动碰静模型

如图1所示，在光滑水平面上存在两个质量分别为m1，m2的物块A和B，其中物块A的初速度为v0，物块B静止；碰撞过后物块A，B的速度分别为v1，v2.

在弹性碰撞中，两物块的总动量守恒，总动能守恒.故可得：

m1v0=m1v1+m2v2①，

12m1v20=12m1v21+12m2v22②，

由①式得m1v0－v1=m2v2③，

由②式得m1v0－v1v0+v1=m2v22④，

由③④得v0+v1=v2，整理得v0－0=v2－v1，称之为速度差公式.

利用速度差公式，动量守恒定律可表示为m1v0=m1v1+m2v0+v1，

m1v0=m2v2+m1v2－v0，

容易求得v1=m1－m2m1+m2v0，

v2=2m1m1+m2v0.

2.2 动碰动模型

如图2所示，在光滑水平面上，初速度为v1、质量为m1的物块A和初速度为v2v1>v2、质量为m2的物块B发生弹性碰撞，两者碰撞后速度变为v1′，v2′.

由动量守恒和动能守恒可得：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′①，

12m1v21+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2②，

同理可得v1+v1′=v2+v2′，此式可化为v1－v2=v2′－v1′（速度差公式）.

利用速度差公式，动量守恒定律可以表示为：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v1－v2+v1′③，

m1v1+m2v2=m1v2－v1+v2′+m2v2′④，

③式两边同时加上m1v1+m2v2后化简得：

v1′=2m1v1+m2v2m1+m2－v1⑤，

④式两边同时加上m1v1+m2v2后化简得：

v′2=2m1v1+m2v2m1+m2－v2⑥.

3 试题呈现

例1 如图3所示，当某中子以初速度v0撞击静止的氢核和氮核时，两核的速度分别变为v1和v2.假设碰撞是弹性碰撞，不考虑相对论效应.则碰撞后（ ）

（A）氮核的动量更小.

（B）氮核的动能更小.

（C）v2＞v1.

（D）v2＞v0.

解析 设中子质量为m0，被碰粒子质量为m，碰后中子速度为v0′，被碰粒子速度为v，二者发生弹性正碰，由动量守恒定律和能量守恒定律有m0v0=m0v0′+mv，12m0v20=12m0v0′2+12mv2，解得v0′=m0－mm0+mv0，v=2m0m0+mv0，因此当被碰粒子分别为氢核m0和氮核14m0时，有v1=v0，v2=215v0，故（C）（D）错误；碰撞后氮核的动量为p氮=14m0·v2=2815m0v0，氢核的动量为p氢=m0·v1=m0v0，p氮>p氢，故（A）错误；碰撞后氮核动能为E氮=12·14m0v22=28225m0v20，氢核的动能为E氢=12·m0v21=12m0v20，E氮＜E氢，故（B）正确.

例2 图4描绘了一个固定在竖直平面内的光滑圆形轨道，其半径为R.有两个小球A、B，它们的质量分别为m、βm（β未定）.A球从轨道上与圆心等高的一点开始，无初速度地沿轨道下滑，并在轨道的最低点与静止的B球发生碰撞.碰撞后，两球被弹起，各自达到的最大高度均为轨道半径的14.在这个过程中，假设碰撞是弹性碰撞，且重力加速度为g.试求：第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力.

解析 碰撞前后由系统机械能守恒分析可得mgR=14mgR+14βmgR，解得β=3，由于碰撞后A、B球能到达的最大高度均为14R，且碰接中无机械能损失，所以第一次碰撞刚结束时，小球A一定反向运动，以水平向右为正方向，设第一次碰撞刚结束时小球A、B的速度大小分别为v1，v2.

第一次碰撞后，小球A、B上升过程中机械能守恒，则有12mv21=14mgR，12×3mv22=14×3mgR；二者上升高度相同，说明碰撞后的速度大小相等.质量较小的A球撞击B球，A球反弹，二者速度方向相反，故v2=－v1=gR2，在轨道的最低点对B球进行受力分析，有N－3mg=3mv22R，解得N=4.5mg，由牛顿第三定律知，B球对轨道的压力为4.5mg，方向竖直向下.

4 结语

完全弹性碰撞的二级结论是解决碰撞问题的重要工具，在教学过程中，教师应注重理论知识的学习，培养学生分析问题的能力，并及时给予反馈与指导，以提高学生运用公式的能力.

参考文献：

[1]杨旭.动量守恒定律在碰撞问题中的应用例析[J].数理天地（高中版），2024（08）：22-23.

[2]邱红梅，秦吉红，徐美，等.碰撞问题中的动量和角动量守恒辨析[J].大学物理，2023，42（10）：6-9+30.

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