力学临界极值问题的三种常见解法

【摘要】高中物理问题的解答要求学生擅长通过分析“题眼”找到问题突破口，继而高效率地解题.其中“最大”“最小”“恰好”都是常见的题眼，也对应一类临界问题.解答临界极值问题具有一定方法，常见的有极限法、图解法、解析法.掌握常见解决方法，有助于学生理清题意，提高解题效率.

【关键词】临界问题；高中物理；解题方法

高中物理中的临界极值问题是高考的高频考点.以力学的临界问题为范例，本文主要从解题方法层面分析不同思路的特点和适用范围，旨在帮助学生更快速地分析求解问题.

1 极限法

极限法求解临界问题，主要思路在于把问题条件推向极端条件，需要注意的是分析受力或运动是个动态过程，必要时应把其中的物理量放大或缩小找到其中的临界状态，才能解决问题.

例1 课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图1所示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（ ）

（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）90°.

分析 解答该题需要对木板与地面形成的角度θ这一物理量进行放大或缩小，由于问题求解积木堆积时角度的最大值，故放大得到动态情况，可知最上面的圆形积木与左下积木重叠时最上面积木会落在地面，即将积木滑动落下对应θ的最大值，求解出来即可.

解 当最上面积木的重心与左下方积木的重心在同一竖直线上时，最上面积木即将滚动，此时木板与水平面夹角θ达到最大，根据几何关系可得，θ的最大值为30°.

故正确答案为选项（A）.

2 图解法

图解法适用于大部分力学问题，解题关键在于得到受力分析图，用几何图形运动情境，再求对应的临界值大小.在求解过程中，需要正确画出物体的受力分析图，并找出所求临界值物理量在图象中对应的线段或面积，其次根据几何图形性质求解.

例2 如图2所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，重力加速度大小为g，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力F的最小值为（ ）

（A）mg. （B）33mg. （C）12mg. （D）14mg.

分析 首先需要对节点C、节点D做受力分析，节点D分别受到绳CD的水平拉力、绳BD的拉力、施加的外力F，得到受力分析图后，通过正交分解使所有力形成矢量三角形，根据垂线段最短得到最小值.

解 由题意可知，CD绳保持水平必须使各绳绷紧，

则AC与水平方向的夹角为60°，节点C受力平衡，如图3所示，

FT=mgtan30°=33mg，

可知节点D受CD绳的拉力大小等于FT，方向水平向左，要使CD绳保持水平，节点D两绳拉力与外力合力为零，则CD绳对节点D的拉力可分解为沿BD绳的F1和另一分力F2，根据几何关系，可知F2与BD垂直时，F2最小，F2的大小即为外力F的大小，

最小力为Fmin=FTsin60°=12mg.

故正确答案为选项（C）.

3 解析法

解析法具体指所求物理量等价转化为数学公式，运用表达式求最值.运用该方法能解答大部分问题，结合公式列出与所求物理量有关的等式，最后运算解答即可.

例3 如图4所示，质量为M的斜面倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上，正好匀速下滑.如果用与斜面角度为α的力F拉木块，木块能匀速上升，已知斜面在整个过程中始终静止，当α多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值？

分析 本题是两个未知物理量牵连变化的问题，需要将角度α看作自变量，施加的外力F为因变量，构造函数解析式，分析函数对应的最小值.

解 木块在斜面上匀速向下运动时，

则有mgsinθ=μmgcosθ，解得μ=tanθ，

木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，

则有Fcosα=mgsinθ+Ff，

Fsinα+FN=mgcosθ，Ff=μFN，

解得F=2mgsinθcosα+μsinα=2mgsinθcosθcosαcosθ+sinαsinθ=mgsin2θcosθ－α，

当α=θ时，F有最小值，Fmin=mgsin2θ.

4 结语

上述例题分别对高中物理力学临界极值问题的三种求解思路做出具体分析和解读，不难发现这些方法都有对应的适用范围和特点.解析法着重运用公式得到临界值，图解法则需要结合几何图形对其进行分解找到临界状态，极限法则通过放大或缩小物理量的思路找到动态过程中状态变化的临界点.这些方法各有特长，都是学生必须学习和掌握的解题方法.

参考文献：

[1]谢文杰.对高中物理常见力学临界问题的分析[J].文理导航，2019（02）：56.

[2]邓贤彬.探析高中物理力学中的临界与极值问题[J].中学物理，2021，39（03）：57-59.

[3]张俊凯.浅谈高中物理力学中几种常见的临界问题[J].教师，2016（18）：104.