高中物理中“等时圆”模型的应用

【摘要】在高中物理教学中，引入“等时圆”模型，有助于学生深入理解物体在重力作用下，沿固定斜面下滑的等时性特点.本文通过分析“等时圆”模型的原理和应用，探讨其在教学中的作用，以提高学生对物理现象的认识和解决实际问题的能力.

【关键词】高中物理；等时圆；模型应用

1 引言

在高中物理中，研究物体在重力作用下，沿固定斜面下滑的运动规律具有重要意义.然而，传统的教学方法往往使学生难以理解物体沿斜面下滑的等时性特点.为了解决这个问题，引入“等时圆”模型，通过直观的图象展示，帮助学生更好地理解这一物理现象.

2 等时圆模型的概述

2.1 等时圆模型的原理

“等时圆”这一概念描述了一个物理现象：当一个物体由静止状态，沿着一个竖直放置的圆形路径上的光滑细杆下滑时，无论它选择哪条路径，无论是直接滑到圆的最低点，还是从圆的最高点出发到达圆上任一点，所需的时间总是相等的.这个时间恰好等于物体从圆的最高点自由落体到圆的最低点所需的时间.这个现象展示了在特定条件下，不同路径下滑的物体可以展现出相同的运动特性，即它们的运动时间是“等时”的.这一现象揭示了在某些特定情况下，物理系统的运动特性可以表现出出人意料的简洁性和规律性.

2.2 等时圆模型的基本规律

（1）如图1所示，当物体从竖直放置的圆环上的任意光滑弦的顶端无初速下滑，最终抵达圆环的最底端，不论选择哪条弦作为下滑路径，其所需的时间始终一致；

（2）如图2所示，一个物体从竖直圆环的顶端开始，沿着不同的光滑弦滑动到圆环的底端，不论选择哪条路径，其下滑的时间总是保持一致；

（3）如图3所示，当两个竖直放置的圆环相互接触，且它们的竖直直径都通过切点时，物体从任一圆环的上端沿不同光滑弦滑动到下端，无论选择哪条路径，下滑所需的时间都是相同的.

证明 （1）：取最高点为M，从M点自由落体到A点，有2R=12gt2，解得t=2Rg，从C点运动到A点，有l=12at21，mgsinθ=ma，l=2Rsinθ，解得t1=2Rg，所以相等，同理，也可以证明（2）和（3）.

3 解题思路

等时圆解题模型可分三步：第一步，设置顶点.上端相交：交点为圆的最高点；下端相交：交点为圆的最低点.第二步，作等时圆，过顶点作竖直线，以某条轨道为弦作圆心在竖直线上的圆.第三步，比较时间，轨道端点都在圆周上，质点的运动时间相等，端点在圆内的轨道，质点运动的时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动的时间长些.

例1 如图4所示，有三个固定在竖直面内的光滑细杆ad、bd、cd，且a、b、c、d均位于同一圆周上.设圆周的最高点为点a，最低点为点d.圆周上还各有一个小滑环（图中未明确标出），它们分别从点杆顶端无初速度释放，下滑过程记录下每个滑环抵达点d的时间，分别记为t1、t2、t3，则（ ）

（A）t1<t2<t3. （B）t1&gt;t2>t3.

（C）t3>t1>t2. （D）t1=t2=t3.

解析 据等时圆模型的性质，可知小滑环从a、b、c到达d点所用的时间相等，（D）正确.

例2 如图5呈现了两个半径分别为r和R的圆环，它们垂直堆叠并相切于同一水平面上.一条共弦穿过两圆的切点，并在两个圆上分别形成两个交点a、b.在这条共弦上铺设了一条光滑的轨道，一个小球从点b以一定的初速度沿着轨道向上弹射.假设小球在通过切点时不受任何阻碍.如果小球能够恰好上升到点a，那么小球从点b运动到点a所需的时间是多少？

解析 小球从b点恰好运动到a点，可以采用逆向思维理解为从a点由静止运动到b点.根据等时圆的性质可知，小球从a点由静止运动到b点所用的时间与小球从小圆顶端下落到大圆底端的时间相同，小球从小圆顶端下落到大圆底端，有2r+2R=12gt2，解得t=2r+Rg.

4 结语

总之，在高中物理教学中，引入“等时圆”模型有助于学生深入理解物体沿斜面下滑的等时性特点.等时圆模型可以提高学生对物理现象的认识，培养学生的科学素养和解决实际问题的能力.在高中物理教学中，教师应充分利用等时圆模型，提高教学质量，为学生的物理学习奠定坚实基础.

参考文献：

[1]连彬星，王薇茜，高毅宸.关于一道等时圆模型变式问题的两种推证方法[J].中学生理科应试，2024（03）：23-24.

[2]范财政，曾文玉.运用圆形建立物理模型 培养学生建模能力[J].中学物理教学参考，2024，53（03）：20-23.

[3]付普省.探索“等时圆”里的奥秘[J].高中数理化，2023（08）：29-30.