用函数解决实际问题考查抽象能力

立德树人是教育的根本任务．大部分学生将来不以数学为职业．数学教育在这些学生的生活及职业发展中的作用，主要体现在运用数学解决实际问题．这是学生“有本领”的主要体现．课标对学生综合运用所学知识解决问题能力的考查，给出了具体要求．课标指出，要在情境中考查核心素养，注重考查学生的应用意识与创新意识[1]．中考命题要贯彻课标的要求，注重考查运用知识解决问题的能力．函数是初中解决实际问题的主要工具．用函数解决实际问题的试题，注重考查思维过程，是改变相对固定的试题形式，减少“机械刷题”的抓手．

1 当前函数试题的现状与困境

函数题一度作为压轴题．为了保证区分度，试题形式不断变化．有一段时间认为，综合运用知识就是在知识交汇处命题．中考曾经出现了一些函数与几何交汇的试题．当时被认为是创新．典型的题目如下：

如图1，已知直线y=kx−6与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使ΔPOB与ΔPOC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（2）若点Q是y轴上一点，且ΔABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

该题中的抛物线是二次函数图象．问题是找出满足条件的全等三角形和直角三角形．解答题目需要算边长（长度，即两点间距离，两点间距离公式为高中解析几何内容）、角度，做辅助线，构造全等与相似．长度与角度是几何问题，不是函数问题．函数是研究变量间的关系，通过这种相依数量关系来研究变化规律．做辅助线，构造全等与相似是典型的平面几何方法．该题的实质是以函数图象为背景，考查平面几何．数学是自然的，有其产生的背景与脉络，在历史发展中形成了研究问题与方法．人为的随意交汇，不能产生有意义、有价值的问题．

两点间距离公式为高中解析几何内容．该题却不是经典的解析几何问题．解析几何产生于十七世纪的欧洲，是在社会需求下产生的．当时，机械研究提出了动力学相关的数学问题，堤坝修建提出了力学相关的数学问题，航海业提出了测量问题，造船业提出了描绘船体各部位曲线问题，望远镜的制造提出了透镜表面形状问题，火器制造业提出了抛射体轨迹与定量计算问题，这些问题推动了解析几何的产生．高中解析几何运用坐标法，主要探讨曲线的方程，曲线的交点及其延伸出的两点间距离，直线的斜率及其代表的角度，核心概念是距离和斜率，主要方法是列方程与解方程（组）．这些研究问题、内容与方法，是自然形成的，不能与函数或者平面几何知识随意交汇而产生有意义、有价值的问题．人为的知识交汇，只能创造“牛头马面”式的虚构问题．

函数试题的另一种创新形式是含参数的函数问题，这主要是向高考衔接，本质上是多元函数问题．含参的一次函数题，大部分表现为线性规划问题．教育部《关于做好2022年中考命题工作的通知》明确要求，严格依据课标命题，不得扩大考试内容范围，严禁将高中课程内容作为考试内容．这两类题扩大了考试内容范围，违背了以大概念（大概念是数学家对数学内容的概括与总结，教育功能是迁移）[2]为核心、以结构化知识为载体的课标要求．

学业质量标准要求，以结构化数学知识为载体考查核心素养，在情境中考查核心素养[1]．按照这个要求，把关题的载体是多样的，函数题不应必然作为压轴题．中考应该是多点把关、知识轮动，才能做到试题形式多样化，从而使学生减少刷题．

2 函数试题要着重在现实背景中0eeb621311badcef871990eedbe58d4af1d90124145367252a36fed785328b3c考查抽象能力

函数产生于实际问题中，它是描述现实问题的基本数学工具．初中学的函数比较简单，单纯在数学内部考查函数知识，没有很好的区分度．函数在实际问题中的应用，有较好的区分度，体现了数学的价值——运用数学解决现实中的问题．这是坚持素养立意，坚持试题内容与育人目标相结合的一种命题思路．

2.1 对实际问题中函数关系的理解是考查抽象能力的一个切入点

实际问题多是用自然语言描述的．若实际问题中的数量较多，则多用图象或图表表达．图象与图表是一种视觉表征，是视觉推理的一种应用．读懂图象与图表是理解实际问题的关键，也是一种重要的数学素养．图象整体表达数量（函数）关系，直观揭示变化规律．理解图象表达的现实意义及函数关系，是抽象能力的一个重要表现；也是考查抽象能力的一个切入点．下题就是一个典型样例．

甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以一定速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s为t的函数．图象一部分如图2所示．当甲出发多少分钟时，甲、乙两人相距360米[3]？

该题典型地体现了数学的阅读方式——先整体把握问题，生成一种假设，再通过阅读寻求证据验证假设[4]．该题的纵坐标，不是学生熟悉的路程，而是路程差．这给学生理解问题带来困扰．对图2的解释，学生需要调用学校生活经验．甲步行先走（乙未动），两人间的距离拉大．乙5分钟后以大于甲的速度（如骑自行车）追赶．从横轴5分钟时刻起，两人间距开始减少．乙赶上甲时，两人间距变成零．之后间距再次拉大，直到乙到达图书馆．此时间距最大．乙到达图书馆后停止移动，甲继续向图书馆移动，两人间距又开始减少，直至变成零．从图象看，两人间距曾达到450米，说明最大间距不小于450米．题目所求间距360米的时刻，应该有两个（最大间距对应时刻前后各一个）．图象只是部分运动过程，不是全部．

调用学生的生活经验来读懂图象是学生理解该题的关键，这是视觉推理的一种重要表现，是数学眼光的重要成分．该题可以用函数知识来做．利用函数与方程的关系，也可以用方程来做．这类题聚焦函数和方程的核心思想，考查抽象能力，有多种解法，有一定的区分度．函数应用是教材的重点内容．教材中有很多用图象表达的素材（也有纵轴是路程差或者进水量与出水量差的素材）．在这种素材上编制有区分度的试题，真正体现了回归教材，以标命题，把中考内容与育人目标相结合．

运用图象进行大小比较是用函数知识解决问题的一类典型问题．大小是一种重要的数量关系，也是生活中的一类重要问题，是函数增减性（单调性）的重要应用，如效用最大，花费最少等问题．初中、高中教材中也有很多这类问题．依据这些素材编制一些拓展性题目，也是一种回归教材的命题思路，既考查了应用意识，也考查学生进一步学习的知识准备情况，典型体现了中考的目的．

2.2 识别核心变量及其关系是考查抽象能力的着力点

有些问题数量关系较多．学生往往抓不住核心变量．能从实际情境中抽象出核心变量，是数学抽象能力的主要表现[1]．依托数量关系多的素材，命制函数应用题，是考查抽象能力的一个着力点．

人教社教材中有一个租车问题：

某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现在甲、乙两种大客车，甲种客车最大载客量45人，乙种客车最大载客量30人．甲种客车每辆租金400元，乙种客车每辆租金280元．请给出最节省费用的租车方案[5]．

该题数量多，数量关系多．数量关系是典型的“总价=单价×数量”与“总量=分量+分量”，核心变量是总费用与甲、乙两种客车费用．甲、乙客车的载客人数是次要因素．识别核心变量是构建该题思路的关键．学生对该题大多没有思路，教师也认为不好讲．这是一个有区分度的题，可以利用简化条件法进行改编[6]，命制中考题．

把载客人数的要求去掉，固定车辆总数，仍然体现主要思路．可变为简单问题：甲种客车每辆租金400元，乙种客车每辆租金280元，在总费用2300元的限额内，若租7辆客车，给出最节省费用的租车方案．

该题拓展一下，可以变为较难题：甲种客车每辆租金400元，乙f4b359f69370270f346ab616363febbca3be1462e0381d9a2f1500683227c7a3种客车每辆租金280元；甲种客车最大载客量45人，乙种客车最大载客量30人．在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生与8名教师集体外出参加活动，每辆汽车上至少有1名教师，给出最节省费用的租车方案．

教材例题控制条件，使得只能有6辆车．较难题与例题思路一致，车辆总数可以取几个值，变成几个最小值之间的比较，复杂度增加．简单题与拓展题组成一个大题，简单题大部分学生会做，也启发拓展题思路，体现层次性，是一种有价值的命题思路．

在命制含有多个数量关系的题目时，需要仔细斟酌数量及数量关系，确保实现命题意图．教材有这样一道习题：A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把这些肥料运往CD，两乡．从A城运往CD，两乡肥料的费用分别为20元每吨与25元每吨，从B城运往CD，两乡肥料的费用分别为15元每吨与24元每吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运运费最少[4]？

本题可以用一次函数的增减性来做，也可以利用直觉推理来做．B城运往CD，两乡的运费，分别比A城运往CD，两乡的运费低．优先把B城中的肥料运往CD，两乡．B城运往C乡的运费最低，优先运往C乡．C乡需求240吨肥料，B城有300吨．B城运240吨肥料往C乡，剩余60吨只能运往D乡．A城所有的200吨肥料，也只好运往D乡，恰好满足条件．假如B城运往C乡的肥料中，有1吨被A城肥料替换．B城被A城替代的1吨需要运往D乡，则总运费增加（2015）（2415）14−+−=元，所以上述调运方案最优．这种直觉推理，本质上还是利用一次函数的增减性，最值在定义域端点处取得．学生没有意识到一次函数的本质作用，也可以单纯依靠直觉推理得到结论．该题命题意图如果是考查一次函数，则需要改进．比如把数据调整一下（该题数据调整充满陷阱，只有满足一个较为特殊的条件才行）．该题命题意图如果是考查数学核心素养，则是一道好题．它的背景简单，学生都能理解．它有多种解法，既可以用直觉推理来做，也可以用一次函数来做．它蕴含了重要的数学知识与能力，如函数和逻辑推理．它可以进一步展开与一般化，变成线性规划问题，其函数解法也可以一般化．

实际问题的情境是多样的，即使费用最少这类问题，其背景也是多样的．可以结合地域特色来命制，凸显育人导向．实际情境可以多个维度复杂化，像结合视觉推理，用图象与表格表达数据；或者增加一些起次要作用的数量关系限制主要变量的取值范围等，从而拓展命制不同难度的题目．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2022

[2]格兰特·维金斯，杰伊·麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）[M]．上海：华东师范大学出版社，2018

[3]吕银爱，董涛．基于数学运算素养的解题分析与教学建议[J]．福建基础教育研究，2019（11）：61-63，89

[4]舒尔曼．实践智慧[M]．上海：华东师范大学出版社，2014

[5]人民教育出版社．义务教育教科书·数学（八下）[M]．北京：人民教育出版社，2013

[6]吴玲玲，董涛．运用简化条件法教解题——以2017年全国Ⅰ卷理21题为例[J]．福建中学数学，2021（1）：31-33

（本文系福建省教育科学规划2022教育考试招生重点专项课题“基于初中学业水平考试评价体系的考试内容改革实施路径研究”（课题编号：FJJYKS22-22）的研究成果）