指向数学高阶思维培养的教学设计

数学学科六大核心素养的关键在于高阶思维的培养，如何在高中数学课堂上培养学生的高阶思维是广大数学教师要思考的关键问题．本文结合已有的相关研究，介绍教育学领域对高阶思维的界定，分析高中数学学习对高阶思维的要求，结合一节高二复习课《抛物线》的教学设计，阐述如何在高中数学复习课中培养学生的高阶思维．

1 教育学领域对高阶思维的界定

在教育学领域，最具代表性的便是布鲁姆在《教育目标分类学》中对高阶思维的界定．布鲁姆从认知领域的角度对教育目标进行了分层，由高到低为评价、综合、分析、应用、领会、识记6个层次[1]．其中，前三个便是高阶思维．安德森等人对布鲁姆教育目标分类进行了修改，将教育目标由高至低划分为创造、评价、分析、应用、理解、记忆，前三个仍是高阶思维[2]．国内学者钟志贤认为高阶思维能力是以高阶思维为核心，解决复杂问题的心理特征，是发生在较高认知水平上的一种综合能力．他认为，高阶思维与低阶思维特征的区别如图1．同时钟志贤教授指出：高阶思维能力是高阶思维的核心，而高阶思维能力主要由问题求解、决策、批判性思维、创造性思维组成[3]．相对于低阶思维，高阶思维的特征主要有灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、创造性．（图1）

2 高中数学学习对高阶思维的要求

高考评价体系主要由“一核”“四层”“四翼”三部分内容组成．“四层”中的学科素养是指即将进入高等学校的学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时，能够在正确的思想价值观念指导下，合理运用科学的思维方法，有效整合学科相关知识，运用学科相关能力，高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质．它包括“学习掌握、实践探索、思维方法”3个一级指标．其中“思维方法”是指学习者在面对生活实践或学习探索问题情境时，进行独立思考和探索创新的内在认知品质[4]．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提出了数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[5]．因此，数学学科核心素养是学生学习数学知识的桥梁，更是解决数学问题的方法和能力．落实六大核心素养的关键在于高阶思维的培养，体现在六大核心素养对贯通知识、归纳方法、熟练技能等方面的作用[6]．

现以一节高二数学复习课的教学设计为例，谈谈如何在复习课中培养学生的高阶思维．

3 高二复习课《抛物线》的教学设计

3.1 内容解析

《抛物线》是苏教版高中数学，选择性必修第一册第三章第三节的内容．本节共3个课时，涉及抛物线的标准方程和抛物线的几何性质．案列围绕《抛物线》复习，设计了跨度较大的几组数学问题，优化情境设计，引导学生通过多种方法实施探究．提高学生分析问题，解决问题的能力，并在此过程中培养学生的高阶思维．

知识结构 本节课涉及抛物线的概念、抛物线的方程、抛物线的几何性质、直线与抛物线等．

学科育人 根据学生的认知基础，让学生经历探究过程，提高分析问题、解决问题、概括总结的能力，提升学科素养．

数学思想 渗透函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法．

核心素养 提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养．

高阶思维 培养学生的分析、评价、创造等高阶思维．

3.2 学习目标

通过本节课的复习，学生掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及抛物线的简单几何性质，了解抛物线的简单应用，有效完善学生的知识结构．经历观察、对比、推理等活动过程，记录分析解决问题的活动经验．渗透函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，培养分析、评价、创造等高阶思维．

3.3 学情分析

学生已经完成了解析几何部分的学习，初步掌握了圆锥曲线的概念，建立了圆锥曲线的方程，并通过方程研究了圆锥曲线的基本性质，运用方程和性质解决了一些实际问题．班级是选修物理、化学、生物的班级，学生学习能力尚可，具备一定的解决问题的能力．但是，因为是初学，学生对抛物线的性质掌握还不够深入和全面，又因为学习圆锥曲线后已有一个月左右的时间，学生对抛物线部分的知识遗忘较多．

3.4 教学重难点

引导学生回忆抛物线部分的基础知识，掌握抛物线部分的常见题型．分析、合作交流解决抛物线有关的最值问题、直线与抛物线的有关问题等．在问题解决过程中提升学生的学科素养，培养学生的高阶思维．

3.5 教学过程

3.5.1 课前梳理，追本溯源

课前准备一份抛物线知识清单，知识清单主要包括抛物线的概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质．知识清单主要由学生自主复习后完成．

设计意图 抛物线的基础知识是解决相关问题的必备知识，学生通过知识梳理，回忆基础知识，为后续问题的解决做好准备．

3.5.2 课前热身，基础自测

问题1-1 抛物线y=4x2的焦点坐标为____ ，准线方程为____ ，焦点到准线的距离为 ____．

问题1-2 已知抛物线C：y2=2px（p>0）上一点M（6，y），到焦点F的距离为8，则p=____．

问题1-3 已知动点M到点F（4，0），的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为 ____．

问题1-4 （多选）过抛物线C：x2=−4y的焦点F作直线交抛物线C于AB，两点，则（ ）

A．|AB|的最小值为4

B．y1y2=-4

C．1/|FA|+1/|FB|=1

D．以线段AB为直径的圆与x轴相切

设计意图课前热身中问题1-1考查抛物线的标准方程，问题1-2、问题1-3是抛物线定义的应用，问题1-4考查抛物线的常用性质．这四个问题难度底，是对抛物线定义、标准方程、性质的直接应用，其目的是让学生在课前自主完成基础知识梳理后，通过题目自我评价对抛物线基础知识的掌握程度．理解、记忆、应用为后续高阶思维的发展打下了基础，同时，通过课前热身问题的解决，让学生获得成就感，为后续学习增强信心．

3.5.3 合作交流，激活思维

问题2-1 已知直线l过抛物线x2=2py（p>0）的焦点，且与抛物线交于AB，两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线的方程是 ____．

问题2-2 已知灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是____cm．

设计意图问题2考查抛物线的标准方程，是抛物线中的典型题型之一，其中问题2-1偏重几何性质的应用，问题2-2偏重实际问题的处理．我国著名教育家陶行知先生说“生活即教育，脱离生活的教育是死教育．”将书本知识与学生的生活实际相结合，从学生原有的生活经验出发，让学生面对需要加以解释的现象，学生急切想弄清其中的缘由，就会激起学习的兴趣，感受到数学的价值．通过问题2渗透转化与化归、数形结合等数学思想方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，培养学生的分析、创造等高阶思维．

问题3 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M为C上一动点．

问题3-1 若A（3，1），则|MA|+|MF|的最小值为____，若B（3，0），则|MB|的最小值为 ____；

问题3-2 若过F的直线与抛物线C交于A，B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为____；

问题3-3 若直线l：x−y+5=0，则抛物线C上的点到直线l距离的最小值为____．

设计意图 解析几何中的最值问题一般可从几何和代数两个不同的角度去考查．问题3通过一个共同的题干，设计了抛物线中几种常见的最值问题，这些最值问题处理方法的选择可能不同．问题3-1第一个空偏向利用抛物线的几何性质解决，第二个空偏向代数法解决．

问题3-2、3-3既可以利用几何性质结合基本不等式解决，也可以用代数法解决．教学时，可以先师生讨论，共同解决问题3-1，并在回顾总结解析几何中最值问题的处理思路后，让学生独立思考，讨论交流，解决问题3-2、3-3，而后形成成果，汇报成果，同学互评，最后归纳总结出抛物线中常见的最值问题，并形成与之对应的经验方法．通过问题3的解决，渗透数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养．在此过程中促进学生问题求解能力、决策能力、批判性思维能力的提升，培养学生的分析、评价等高阶思维．

问题4-1 若直线y=2x−1与抛物线y2=4x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=____，→OA⋅→OB的值为 ____．

问题4-2 已知抛物线y_{6Y06xPT6dXGYOVlPK4txcw==}2=8x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，当→AF=→2FB，|AB|=____，直线AB的斜率为____．

问题4-3 已知抛物线C：y2=4x，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．若直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则y1+y2=____，直线AB的斜率为 ____．

设计意图问题4考查的是直线与抛物线的问题．问题4-1偏向于直接联立，转化成两根之和与两根之积，用韦达定理求解．问题4-2是典型的圆锥曲线中的定比分点问题，可用抛物线的性质、也可以设点求解、还可以设线求解．问题4-3主要目的是对比圆锥曲线中的设点思路和设线思路，让学生体会在处理抛物线问题时与处理椭圆和双曲线问题时的异同．在教学中，可先让学生独立处理问题4-1，而后汇报交流，同学互评，从而熟悉圆锥曲线中典型的处理方法．问题4-2可让学生思考后互相交流讨论不同的解题策略，再针对不同的解题策略各自形成解题成果，汇报交流后，同学间互评、纠错．最后，让学生归纳总结，将结论推广到圆锥曲线中，完成这类问题的解题模型．问题4-3可让学生思考后，对比用点处理和用线处理的两种解题思路，完成两种不同思路的思路分析图，寻找最优解法．最后，让学生自主归纳总结处理直线与抛物线，和直线与其它圆锥曲线的异同．通过问题4的解决，渗透转化与化归、数形结合等数学思想方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，培养学生的分析、评价、创造等高阶思维．

3.5.4 课堂总结，思维升华

问题5 请说一说这节课的知识及结构体系．

追问 请说一说这节课的学习蕴含了哪些数学思想方法和学科素养？

设计意图 引导学生回顾本节课复习的知识与方法，归纳本节课解决的典型问题的思路，感悟理性思维和创新精神．

4 教学反思

如何在数学教学过程中培养学生的高阶思维，是广大数学教师始终要思考的问题．这就要求教师优化教学设计，为学生提供培养高级思维的契机．

4.1 创设现实生活情境，培养学生分析思维

数学知识来源于现实生活，教师在数学教学过程中应选择学生熟悉的生活实例，着眼于学生的最近发展区，为学生创设情境、设计问题，提高学生学习的兴趣，调动学生的主动性，使学生高阶思维的灵活性、敏捷性以及深度分析的高阶思维能力得以发展．在本案例中，问题2-2就是一个实际问题，学生在解题的过程中，经历了实际问题的数学化，也体会了数学的应用性，增强了学习的兴趣．

4.2 在教学中融入合作，培养学生分析思维和评价思维

现代教育理论尤其是高阶学习理论强调合作学习，而近年来随着社会的发展，合作与竞争成为了一种基本形态．在课堂学习中，当学生遇到较难的问题，不能独立解决时，可以让学生讨论交流，让学生说出自己的想法，结合众人的智慧解决问题．在此过程中，也可以让学生经历自评、互评、师评，从而调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的分析思维和评价思维．在本案例中，问题3-2、3-3和问题4-2、4-3的解决都是让学生互相合作交流，让学生自评、互评．

4.3 变换评价方式，培养学生评价的高阶思维能力

近年来，教育改革一直强调关注学生的持续性评价、过程性评价，关注学生全过程．评价思维对高中生而言是较高层次的思维，是指利用所学的数学知识，根据一定的标准对数学学习活动给予不同价值判断的高阶思维过程[8]．在教学过程中，教师要给学生创建自评、互评、师评的机会．在本案例中，课前热身的设置就是让学生自我评价对抛物线基础知识的掌握程度．课堂总结是让学生自评对一节课的知识、技能、方法的掌握情况．在整个课堂的教学中，每个例题解决的过程中，都给学生提供了丰富的评价机会．

4.4 利用一题多解，培养学生分析思维、创造思维能力

解决数学问题的方法开放，学生对于同一问题可以找到不同的方法解决，通过“一题多解”的过程拓展学生的思维，促进学生高阶思维的灵活性、深刻性以及创造性，增强学生的创造能力，培养学生的创新思维．数学的学习不局限于解决一个数学问题，也不局限于用一种方法解决一个问题．本案例中，问题4-2、4-3都可以从不同的角度用多种方法解决．在问题的解决过程中，学生需要决策，在诸多的备选对象中选择最优，比较多种可供选择方法的优缺点，从而提高分析思维．

参考文献

[1]布鲁姆．教育目标分类学：认知领域[M]．上海：华东师范大学出版社，2001

[2]盛群力，褚献华．布卢姆认知目标分类修订的二维框架[J]．课程·教材·教法，2004（09）：90-96

[3]钟志贤．面向知识时代的教学设计框架[M]．华东师范大学，2004

[4]教育部考试中心．中国高考评价体系[M]．北京：人民教育出版社，2019

[5]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准[S]．北京：人民教育出版社，2020

[6]何正文．基于核心素养的高阶数学思维的培养[J]．数学通讯，2020，824（03）：1-4

[7]史宁中，王尚志．普通高中数学课程标准解读[M]．北京：高等教育出版社，2020

[8]高云柱．训练数学评价思维提高数学创新能力[J]．吉林教育科学（普教研究），2001（04）：34-35

（本文系江苏省教育科学“十四五”规划青年专项课题“指向高阶思维培养的高中数学教学实践研究”（课题编号：C/2023/03/47）、江苏省中小学教学研究第十五期课题“追求理解的高中数学概念课教学实践研究”（课题编号：2023JY15-L54）的研究成果之一）