元件服从广义四参数BS分布的串联和并联系统寿命的随机比较

【摘 要】 Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布可用于描述因疲劳导致失效的产品的寿命特征，该分布已经成为可靠性统计分析中的常用分布之一。首先基于广义三参数BS分布，通过引入位置参数[μ]，得到广义四参数BS分布GBSII[α， β， μ， k]；其次，以服从广义四参数BS分布的独立元件寿命为主体，研究它构成的串联系统和并联系统寿命的随机比较。分析结果可以更好地拟合失效产品的寿命规律。

【关键词】 广义四参数BS分布；次序统计量；普通随机序；优化序

Stochastic Comparisons of Parallel and Series Systems with Heterogeneous Generalized Four-Parameter Birnbaum-Saunders Components

Ling Jie1，Liu Yulin1，Fang Longxiang2

（1.Anhui Business College， Wuhu 241002， China; 2.Anhui Normal University， Wuhu 241002， China）

【Abstract】 The Birnbaum-Saunders fatigue life distribution can be used to describe the life characteristics of products that fail due to fatigue， and this distribution has become one of the commonly used distributions in reliability statistical analysis. In this paper， based on the generalized three-parameter BS distribution， the generalized four-parameter BS distribution GBSII[α， β， μ， k] is obtained by introducing positional parameters [μ]. Secondly， stochastic comparisons of lifetimes of a series system and a parallel system are studied by taking the life of an independent component subject to the generalized four-parameter BS distribution as the main body. The analysis results in this paper can help better fit the life law of failure products.

【Key words】 generalized four-parameter BS distribution; order statistic; usual stochastic order; majorization order

〔中图分类号〕 O212 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）03 - 0037 - 05

0  cImk3iyzKW98Bb3TJjEfsg==; 引言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一个重要的失效分布模型，该模型是Birnbaum和Sunders在1969年研究主因裂纹扩展导致材料失效时推导得出的［1］。该模型主要应用于疲劳失效研究，在机械产品可靠性研究、电子产品性能退化失效分析中有着广泛的应用。相比于Weibull 分布、对数正态分布等通常适用于描述产品寿命的分布，因疲劳导致失效的产品其寿命特征用BS分布来研究会更合适。

设X服从两参数Birnbaum-Saunders疲劳寿命分布BS[α，β]，其分布函数为：

[Fx;α，β=Φ1αxβ-βx，x>0]

其中，[α>0]称为形状参数，[β>0 ]称为尺度参数，[Φ（x）]为标准正态分布的分布函数。

值得指出的是在2006年提出了一种广义三参数BS疲劳寿命分布［2］，该分布相较于两参数BS疲劳寿命分布具有更强的灵活性，在此记为GBSI [（α，β，k） ]，其分布函数的形式为：

[Fx;α，β，k=Φ1αx1-kβ-βxk，x>0]

其中，[α>0]和[0<k<]1称为形状参数，[β>0 ]称为尺度参数，[Φ（x）]为标准正态分布的分布函数。

基于广义三参数BS疲劳寿命分布，本文增加位置参数[μ]，提出了一种新的广义四参数BS疲劳寿命分布，记为GBSII [（α，β，μ，k） ]，其分布函数的形式为：

[Fx;α，β，μ，k=Φ1α（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k，x>μ]

其中，[α>0]和[0<k<]1称为形状参数，[β>0 ]称为尺度参数，[μ∈]R为位置参数，[Φ（x）]为标准正态分布的分布函数。

本文主要基于向量优化方法，研究广义四参数BS分布的串联系统和并联系统寿命的普通随机序。

1 预备知识

在本节中，首先简要地回顾一下普通随机序、优化序和弱优化序的定义［3-4］。

定义1.1 如果对于任意[x，P（X>x）≥P（Y>x）]，称[Y在普通随机序下]比[X]更小，记作[X≥stY]。

定义1.2 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是两个实向量，记[λ（1）≤…≤λ（n）]和[λ*（1）≤…≤λ*（n）]是排序后的元素，那么：

（1）若对于任意的[m=1，2，…，n-1]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]且[i=1nλi=i=1nλ*i]，则称向量[λ]优于向量[λ*]，记作[λ≽mλ*];

（2）若对于任意的[m=1，2，…，n]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]，则称向量[λ]弱上优于向量[λ*]，记作[λ≽wλ*]。

下面的引理给出了这两种优化序之间的关系。

引理1.3［5］ 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是两个实向量，当且仅当存在一个[n]维向量[μ]，这里[μ≽mλ*]且[μ≥λ]（即[μi≥λi]），那么[λ≽wλ*]。

在下一节证明本文的主要结果之前，需要用到以下众所周知的概念和引理。

定义1.4 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是两个实向量，设函数[Φλ：]Rn[→]R，如果对于所有的[λ≽mμ]，有[Φλ≤Φμ]，则[Φλ]是Schur-凹函数，反之如果[Φλ≥Φμ]，则[Φλ]是Schur-凸函数。

引理1.5 ［17］ 设 [I ⊆ ]R是一个开集，连续可微函数[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凹的，当且仅当 [ΦX]在[I n]上是对称的，并且对所有的 [i ≠ j]，满足

[Xi-Xj∂ΦX∂Xi-∂ΦX∂Xj≤0]

连续可微函数[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凸的，当且仅当 [ΦX]在[I n]上是对称的，并且对所有的 [i ≠ j]，满足

[Xi-Xj∂ΦX∂Xi-∂ΦX∂Xj≥0]

引理1.6 ［6］

（1）对所有的[u∈] R，令[gu=e-u22-∞ue-t22dt]，那么[gu]是一个减函数；

（2）对所有的[u∈] R， 令[hu=e-u22u+∞e-t22dt]，那么[hu]是一个增函数。

2 主要结果

本文对具有独立异构的广义四参数BS分布，在基于尺度参数的向量优化条件下，给出了并联和串联系统寿命在普通随机序下的比较结果。

定理2.1 令[X1，…，Xn是独立随机变量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n]。

[X*1，…，X*n是另一组独立随机变量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

那么当[0<k<]1时，可以得到：

（1）（[1β1，…，1βn]）[≽m]（[1β*1，…，1β*n]）[⇒Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[≽m（β*1，…，β*n）⇒X*1：n≥stX1：n]。

证明：

（1）令[λ1=1β1，…，λn=1βn]， 以及[λ*1=1β*1，…，λ*n=1β*n]，那么有（[λ1，…，λn]）[≽m（λ*1，…，λ*n）]。

为了证明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要证明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μ）1-kβi-βi（x-μ）k][=1-i=1nΦg（x;α，λi，μ，k）][=1-i=1n-∞gx;α，λi，μ，k12πe-u22du，]

关于（[λ1，…，λn]）为Schur-凸函数，其中

[gx;α， λ， μ， k=1α（x-μ）1-kλ-1（x-μ）kλ]，且关于[λ]为增函数。

当[x>0]时，[FXn：nx]关于[λi，i=1，…，n]的导数为

[∂FXn：nx∂λi=-12αe-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，kFxn：nx]

其中[hx;α，λ，μ，k=（x-μ）1-kλ-12+1（x-μ）kλ-32] ，且关于[λ]为减函数。

因此，

[∂FXn：nx∂λi-∂FXn：nx∂λj=12αFxn：nx]

[e-gx;α，λj，μ，k22-∞gx;α，λj，μ，ke-u22duhx;α，λj，μ，k-e-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，k]

由引理1.6可知，复合函数

[e-gx;α，λ，μ，k22-∞gx;α，λ，μ，ke-u22du]

关于[λ]为减函数。因此可以得到

[λi-λj∂FXn：nx∂λi-∂FXn：nx∂λj≥0]

最后，通过引理1.5，可以证明[FXn：nx]关于（[λ1，…，λn]）为Schur-凸函数。

（2）为了证明[X*1：n≥stX1：n]，只需要证明，在[x>0]，有

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk][=i=1n1-Φg（x;α， βi， μ，k）][=i=1ng（x;α， βi， μ， k）+∞12πe-u22du]

关于（[β1，…， βn]）为Schur-凹函数，其中[gx;α，β，μ，k=1αx-μ1-kβ-βx-μk]，且关于[β]为减函数。

当[x>0]时，[FX1：nx]关于[βi，i=1，…，n]的导数为

[∂FX1：nx∂βi=12αe-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22dulx;α， βi， μ， kFX1：nx]

其中[lx;α， β， μ， k=（x-μ）1-kβ-32+1（x-μ）kβ-12] ，且关于[β]为减函数。

因此

[∂FXn：nx∂βi-∂FXn：nx∂βj=12αFX1：nx]

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22duhx;α， βi， μ， k-e-gx;α， βj， μ， k22gx;α， βj， μ， k+∞e-u22duhx;α， βj， μ， k]

由引理1.6可知，复合函数

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22du]

关于[β]为减函数。因此可以得到

[βi-βj∂FX1：nx∂βi-∂FX1：nx∂βj≤0]

最后，通过引理1.5，可以证明[FX1：nx]关于（[β1，…， βn]）为Schur-凹函数。

定理2.2 [令X1，…，Xn是独立随机变量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一组独立随机变量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

如果（[β1，…， βn]）[≥]（[β*1，…，β*n]），即[βi≥β*i，i=1，…，n]，则[Xn：n≥stX*n：n，X1：n≥stX*1：n]。

证明：当[x>0]时，[Xn：n]和[X1：n]的生存函数分别为

[FXn：nx=1-i=1nΦ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

和

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

通过普通随机序的定义以及[（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k]关于[β]为减函数的事实，即完成证明。

现在，本文基于尺度参数弱上优序，对该分布的串并联系统寿命进行普通随机序比较。

定理2.3 令[X1，…，Xn是独立随机变量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一组独立随机变量，且X*i～GBSIIα，β*i， μ， k，i=1，…，n]。那么当[0<k<]1时，有：

（1）（[1β1，…，1βn]）[≽w]（[1β*1，…，1β*n]）[⇒Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[≽w]（[β*1，…，β*n]）[⇒X*1：n≥stX1：n]。

证明：（1）如果（[1β1，…，1βn]）[≽w]（[1β*1，…，1β*n]），由引理1.3可知，存在一个向量（[1γ1，…，1γn]），有（[1γ1，…，1γn]）[≽m][（1β*1，…，1β*n）]和[（1γ1，…，1γn）][ ≥]（[1β1，…，1βn]）。现在令[Y1，…，Yn是独立随机变量，且Yi～GBSIIα，γi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（1）可得，[Yn：n≥stX*n：n]。因为（[1γ1，…，1γn]）[≥]（[1β1，…，1βn]）则有[βi≥γi，i=1，…，n]，由定理2.2可知[Xn：n≥stYn：n]，因此[Xn：n≥stX*n：n]。

（2）如果（[β1，…，βn]）[≽w]（[β*1，…，β*n]），由引理1.3可知，存在一个向量（[θ1，…，θn]），有（[θ1，…，θn]）[≽m]（[β*1，…，β*n]）和[θi≥βi，i=1，…，n]。现在，令[Z1，…，Zn是独立随机变量，且Zi～GBSIIα，θi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（2）和定理2.2可得，[X*1：n≥stZ1：n]和[Z1：n≥stX1：n]，因此[X*1：n≥stX1：n]。

定理2.4 令[X1，…，Xn是独立随机变量，且Xi～GBSIIα， β， μi，k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一组独立随机变量，且X*i～GBSIIα， β， μ*i， k，i=1，…，n]。

那么当[0<k<]1时，有（[μ1，…，μn]）[≽m（μ*1，…， μ*n）⇒Xn：n≥stX*n：n]。

证明：为了证明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要证明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μi）1-kβ-β（x-μi）k][=1-i=1nΦg（x;α，β，μi，k）][=1-i=1n-∞gx;α，β，μi，k12πe-u22du，]

关于（[μ1，…，μn]）为Schur-凸函数，其中[gx;α， β， μ，k=1α（x-μ）1-kβ-1（x-μ）kβ]，且关于[μ]为减函数。

当[x>0]时，[FXn：nx]关于[μi，i=1，…，n]的导数为

[∂FXn：nx∂μi=1αe-gx;α， β， μi， k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22duhx;α， β， μi， kFXn：nx]

其中[hx;α， β， μ，k=（1-k）（x-μ）-kβ+kβ（x-μ）k+1] ，且关于[μ]为增函数。

因此，

[∂FXn：nx∂μi-∂FXn：nx∂μj=1αFXn：nx]

[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi，ke-u22duhx;α， β， μi，k-e-gx;α， β， μj，k22-∞gx;α， β， μj，ke-u22duhx;α， β， μj，k]

由引理1.6可知，复合函数[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22du]关于[μ]为增函数。故有[μi-μj∂FXn：nx∂μi-∂FXn：nx∂μj≥0]。

最后，通过引理1.5，可以证明[FXn：nx]关于（[μ1，…，μn]）为Schur-凸函数。

3 总结

本文在基于尺度参数和位置参数的向量优化条件下，以服从广义四参数BS分布的独立元件寿命为主体，研究它构成的串联系统和并联系统寿命的普通随机序比较。当然还有很多的随机序，我们正在致力于次序统计量在其他随机序情况下的比较。

［参考文献］

［1］ Birnbaum Z W， Saunders S C. A new family of life distributions［J］. Journal of Applied Probability， 1969， 6（2）：319-327.

［2］ Owen W J. A New Three-parameter Extension to the Birnbaum-Saunders Distribution［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2006， 55（3）： 475-479.

［3］ Shaked M， Shanthikumar J G. Stochastic Orders［M］. New York： Springer ， 2007.

［4］ Marshall A W， Olkin I， Arnold B C. Inequalities： Theory of Majorization and its Applications［M］. New York： Springer， 2011.

［5］ Pecaric J E， Proschan F， Tong Y L. Convex Functions， Partial Orderings， and Statistical Application［M］. New York： Academic Press， 1992.

［6］ Fang LX， Zhang XS. Slepian’s inequality with respect to majorization［J］. Linear Algebra and its Applications， 2010， 434（2011）：1107-1118.

责任编辑 孙 涧

［收稿日期］ 2024-04-09

［基金项目］ 安徽省高校自然科学研究重大项目“复杂网络视域下技术轨道识别方法与应用研究”（2023AH040319）；安徽省高校中青年教师培养行动学科（专业）带头人培育项目（DTR2023092）；芜湖市科技应用基础研究项目“基于文本挖掘和复杂网络的电商数据技术预测研究”（2022jc36）；安徽商贸职业技术学院技术技能创新服务平台2021年应用研究项目“复杂网络视角下电商平台农产品竞争策略研究”（2021ZDG06）

［作者简介］ 凌洁（1989- ），女，硕士，安徽商贸职业技术学院电子商务学院讲师，研究方向：数理统计、数据挖掘。