一类具有饱和恢复率的随机SIR传染病模型的持久性

【摘 要】 在确定型模型的基础上，考虑随机因素，得到了一类具有饱和发生率的随机SIR模型。首先给出随机模型的正不变集，进而介绍持久性含义，利用Itô公式及强大数定律得到了疾病流行的充分性条件。结果表明，当白噪声强度满足一定的参数条件时，染病类群体不会消失，这对于控制疾病的蔓延是不利的。

【关键词】 随机SIR模型；饱和恢复率；正不变集；Itô公式

Permanence of a Stochastic SIR Epidemic Model

with Saturated Recovery Rate

Liu Juan， Wu Yanmin

（Bengbu University， Bengbu 233030， China）

【Abstract】 On the basis of deterministic models， a class of stochastic SIR models with saturated recovery rate is obtained by considering random factors. Firstly， the positive invariant set of the stochastic model is given， and then the meaning of persistence is introduced. The sufficiency conditions for disease prevalence are obtained by using the Itô formula and the strong law of large numbers. The results indicate that when the white noise intensity meets certain parameter conditions， the infected population will not disappear， which is unfavorable for controlling the spread of diseases.

【Key words】 stochastic SIR model; saturated recovery rate; positive invariant set; Itô formula

〔中图分类号〕 O175.12 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）03 - 0005 - 04

0 引言

研究传染病的传播原理、蔓延情况不但具有理论价值，也具有实际应用价值。在数学建模的思想中，建立传染病的数学模型是研究传染病的重要方法，通常建立微分方程模型来研究传染病的传播情况，进而利用各种微分方程理论分析模型的性质。近年来学者们利用建模思想建立了一些确定型传染病模型［1-6］，并讨论了模型解的存在性及唯一性，Liu等［7］研究了如下的具有饱和恢复率的SIR模型：

[dS（t）dt=A-βS（t）I（t）-μS（t）dI（t）dt=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dR（t）dt=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （1）

由传染病模型的意义，易知（1）式中的[S（t）]、[I（t）]和[R（t）]分别表示易感类群体、感染者类群体、恢复类群体在时刻[t]的数量。[A]表示[S（t）]群体的输入率，[β]为易感类群体、感染者类群体之间的接触率系数。假设三类群体具有相同的自然死亡率，记为[μ]，[ε]为[I（t）]群体因疾病导致的死亡率。感染类群体经过治疗，可以恢复为健康人群，设[cI（t）b+I（t）]为两类群体之间的饱和恢复率函数。

在文献［7］的基础上，加入随机因素可以得到随机传染病模型，随机因素反映了现实环境的不确定因素对动力系统的影响，相对于确定型系统，随机系统可以更有效地刻画传染病的传播特点［8-9］。在随机微分方程理论中通常用白噪声代表外部环境的影响，假设白噪声主要影响模型（1）中的参数[β]，则可将[βdt]改为[βdt+σdB（t）]。由随机微分方程理论可知，[B（t）]为标准布朗运动，[σ2]为噪声强度。由此建立了一个具有饱和恢复率的随机模型：

[dS（t）=A-βS（t）I（t）-μS（t）dt-σS（t）I（t）dB（t）dI（t）=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dt+σS（t）I（t）dB（t）dR（t）=cI（t）b+I（t）-μR（t）dt] （2）

本文主要利用随机微分方程理论对上述模型的持久性进行分析，即模型参数满足一定条件时，染病类群体可能持续存在。

1 基本知识

为了研究疾病的持久性，首先讨论系统的正不变集，为此将（2）式两边相加，则有

[d（S+I+R）=[A-μ（S+I+R）-εI]dt≤[A-μ（S+I+R）]dt]

假设（2）具有初始条件[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，通过计算可求得

[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ+e-μtS（0）+I（0）+R（0）-Aμ]

故[X（0）=S（0）+I（0）+R（0）≤Aμ]时，可得[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ]，这意味着模型中的三类群体总量不会超过某一范围，此时称集合

[Γ∗={（S（t），I（t），R（t））∈R3+：S>0，I>0，R>0，S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ}] （3）

为（2）的正不变集。

在生物数学中，持久性这一概念代表生物系统中的群体可以持续存在，不会灭绝。引申到传染病模型中，持久性说明了传染病模型中的一类群体持续存在［10］，随机动力系统中，假设[f（t）]代表系统的某一类群体，设

[f（t）=0tf（s）dst]

由此可以规定系统持久性的含义。

定义1 若上极限[lim supt→∞f（t）>0]，则称[f（t）]为弱平均持久。

定义2 若下极限[lim inft→∞f（t）>0]，则称[f（t）]为强平均持久。

2 主要结果

在上述基础知识的基础上，说明随机传染病模型（2）式中疾病持续存在的条件。

定理 若系统（2）的白噪声强度参数满足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]且[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]，则对任给的初值[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，[I（t）]的上、下极限满足下面的不等式：

[I∗≤lim inft→∞I（t）≤lim supt→∞I（t）≤I∗]

其中 [I∗=βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ]， [I∗=βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ⋅b（μ+ε）+cbμ]。

证明 对系统（2）进行变形，取0到t的积分，再除以t，此时（2）式变为

[S（t）-S（0）t=A-βS（t）I（t）-μS（t）-σt0tS（r）I（r）dB（r）I（t）-I（0）t=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）+σt0tS（r）I（r）dB（r）R（t）-R（0）t=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （4）

将（4）式的前两项相加可得

[S（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t=A-μS（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）]

由此解得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] （5）

其中 [φ（t）=-1μS（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t]

由正不变集（3）的有界性可知

[limt→∞φ（t）=0 a.s.] （6）

对[lnI]利用Itô公式，得

[d（lnI）=1IdI-12I2（dI）2][=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≥βS-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2dt+σSdB（t）] （7）

由[S（t）]的表达式得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] [≥Aμ-μ+εμI（t）-cbμI（t）+φ（t）][=Aμ-b（μ+ε）+cbμ I（t）+φ（t）]

将（7）式两边从0到t积分，再除以t，并将上式代入，得

[lnI（t）-lnI（0）t][≥βS（t）-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+M（t）t][≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2-bβ（μ+ε）+βcbμI（t）+βφ（t）+M（t）t] （8）

上式中，[M（t）=σ0tS（r）dB（r）]，故[M（t）]为连续的局部鞅，且有[M（0）=0]。又因为

[lim supt→∞<M，M>tt≤σ2A2μ2<∞]

故由强大数定律得

[limt→∞M（t）t=0] （9）

记[l=bβ（μ+ε）+βcbμ]，可将（8）式化为

[I（t）≥1lβAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+βφ（t）+M（t）t-lnI（t）-lnI（0）t] （10）

对（10）式两边取下极限，利用（6）（9）两个极限结果有

[lim inft→∞I（t）≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ：=I∗] （11）

为了保证上述极限的非负性，应有分子大于0，此时应满足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]。

由正不变集的有界性知[I≤Aμ]，故可将[d（lnI）]放大为

[d（lnI）=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≤βS-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2S22dt+σSdB（t）]

再次对上式两边取0到t的积分，再除以t，得

[lnI（t）-lnI（0）t] [≤βS（t）-（μ+ε）-cb+Aμ-12σ2S（t）2+σt0tS（r）dB（r）] （12）

又因为

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）≤Aμ-μ+εμI（t）+φ（t） ]

代入（12）式得

[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）-12σ2S（t）2+M（t）t+βφ（t）]

对于上式中的[S（t）]，利用不等式 [S（t）≥Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+φ（t） ]

代入得[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）+M（t）t]

[-12σ2A2μ2+b（μ+ε）+cbμ2I（t）2+φ2（t）+Aσ2μ⋅b（μ+ε）+cbμI（t）+Φ（t）]

[≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2+M（t）t+Φ（t）][-β（μ+ε）μ-Aσ2μ⋅b（μ+ε）+cbμI（t）] （13）

上式中[Φ（t）=-σ2φ（t）Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+βφ（t）]

由（6）可知

[limt→∞Φ（t）=0 a.s.] （14）

当[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]时，取（13）式两边的上极限，并利用（9）（14）两式得

[lim supt→∞I（t）≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ⋅b（μ+ε）+cbμ：=I∗] （15）

根据（11）（15）的结果可得定理结论。

3 结论

在已知的确定型传染病模型的基础上，本文研究了一类饱和恢复率的随机SIR传染病模型的持久性。随机模型比确定型模型更能反映外部环境对生物系统的影响。由上述结论可以发现，当白噪声强度比较小且满足系统参数对应的不等式时，染病类群体不会消失，将一直存在，这对于疾病的预防和控制是不利的，所以研究随机传染病模型中某一群体的变化趋势具有重要的实际意义。现实生活中影响疾病流行的因素是多样的，如传染病的时滞效应对于疾病的蔓延影响较大，这也是今后拓展研究的方向。

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责任编辑 孙 涧

［收稿日期］ 2024-03-11

［基金项目］ 国家自然科学基金资助项目（12001001）；蚌埠学院自然科学研究项目（2022ZR03）

［作者简介］ 刘娟（1979- ），女，硕士，蚌埠学院数理学院教授，研究方向：微分方程、生物数学。