不定方程[Kx (x+1)=Dy (y+1)(y+2)(y+3)，][(

【摘 要】 给出不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的一种参数求解方法，分别对[K=4D]和[K≠4D]两种情况进行讨论，得到相应不定方程的参数解求解公式，其中[K，D]是互素的整数且[KD>0]。

【关键词】 参数法；不定方程；整数解

Integer Solving of Parameters on the Diophantine Equation [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]

Yang Yaqin

（Qiqihar University， Qiqihar 161006， China）

【Abstract】 In this paper， a parameter method for solving diophantine equation [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）] is given. [K=4D] and [K≠4D] are discussed respectively， and the parametric solution formula of the corresponding diophantine equation is obtained. [K，D] are coprime integers and [KD>0].

【Key words】 parameter method; diophantine equation; Integer solving

〔中图分类号〕 O156.1 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）03 - 0033 - 04

关于不定方程[Kx （x+1）… （x+s）][=Dy （y+1）…]

[（y+t），（x，y∈Z，][ s， t∈Z+）]已经有许多研究成果［1-6］。卢安然［1］证明了方程[3x （x+1）（x+2）（x+3）=10y][ （y+1）][（y+2）（y+3）]共有16组整数解，并且无正整数解。本文给出不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）][（y+3），][（x，y∈Z）]的一种参数求整数解的方法，分别对[K=4D]和[K≠4D]两种情况进行讨论，得到不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的参数解求解公式。

设[K，D]是已知的整数，[K，D]互素且[KD>0]，本文中所涉及的变量[x，y，m，n，u，v]都是整数。[Z]是整数集。

引理 连续4个整数的乘积等于连续两个偶数的乘积。

证明 对于任意整数[n]，[n（n+1）（n+2）（n+3）]是连续4个整数的乘积，有

[n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+3）（n+1）（n+2）] ; [ =（n2+3n）（n2+3n+2）]

而[n2+3n]和[n2+3n+2]是两个连续的偶数或者是两个连续的奇数。

又因连续4个整数[n]，[n+1]，[n+2]，[n+3]中必含有两个连续的偶数和两个连续的奇数。

所以，连续4个整数的乘积[n（n+1）（n+2）（n+3）]等于连续两个偶数[n2+3n]和[n2+3n+2]的乘积。

1 [ 4x （x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y][∈Z）]的整数解

定理1 对于给定整数[K，D]满足[（K，D）=1]且[KD>0]时，不定方程

[4x （x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]

的解的参数形式为

[x=n（n+3）2 y=n ， n∈Z]

证明 设[K，D]是互素的已知整数，由引理知，对于任意整数[n]，[n（n+3）]是偶数，则[x=n（n+3）2]和[y=n]都是整数。又因

[4x （x+1）=4n（n+3）2[n（n+3）2+1]][=4n（n+3）2n（n+3）+22][=n（n+3）（n2+3n+2）][=n（n+3）（n+1）（n+2）]

所以，则[x=n（n+3）2]，[y=n][（n∈Z）]是不定方程[4x（x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的解。

2 [K≠4D]时，[Kx（x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整数解

定理2 对于给定整数[K，D]满足[（K，D）=1]，[KD>0]和[K≠4D]时，对于不定方程

[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），][（x，y∈Z）]

若存在整数[h]，使得[Δ=4DKh2+（4D-K）2是平方数u=-4Dh±ΔK-4D是奇数 v=-Kh±ΔK-4D是整数 5+4v是平方数 ]， 则

[x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D） y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2 ]，[h]是参数（[h∈Z]）

当[y]是整数时，[（x，y）]是不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整数解的参数形式。

证明 因[K，D]互素，而[K=4，D=1]的情况已在定理1中讨论，那么，除[K=4，D=1]的情况之外，[K≠4D]成立。

由引理知，[y，y+1，y+2，y+3]中[y+1，y+2]是一奇一偶，则[y，y+3]也是一奇一偶。则

[y（y+3）=y2+3y<y2+3y+2=（y+1）（y+2）]

那么，存在偶数[m]，使[y（y+1）（y+2）（y+3）=m（m+2）]，其中[y（y+3）=m]。

由 [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3）=Dm （m+2）]

得 [Kx2+Kx=D（m2+2m+1-1）]

即 [Kx2+Kx=D（m+1）2-D]

有 [4Kx2+4Kx+K-K=4D （m+1）2-4D]

也就得到[K（2x+1）2-K=4D （m+1）2-4D]

设[u=2x+1，v=m+1]，得[Ku2-4Dv2+（4D-K）=0]，再设[u=v+h]，[h∈Z]，有[K（v+h）2-4Dv2+（4D-K）=0]，

WPsa7+tTqpaHNvauDIuysw==

即[（K-4D）v2+2Khv+（Kh2+4D-K）=0]，得

[v=-2Kh±4K2h2+4（4D-K）（Kh2+4D-K）2（K-4D）=-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D]

当[Δ=4DKh2+（4D-K）2]是平方数时，得[v=-Kh±ΔK-4D]；

再当[v=-Kh±ΔK-4D]是整数时，由[u=v+h]，得[u=-Kh±ΔK-4D+h]，得[u=-4Dh±ΔK-4D]；

然后当[u=-4Dh±ΔK-4D]是奇数时，由[u=2x+1]得[x=u-12=-4Dh-K-4D±Δ2K-4D]，即

[x=（4D-4Dh-K）±Δ2K-4D]是整数；

最后当[5+4v]是平方数时，由[y（y+3）=m]和[v=m+1]，得[y2+3y-（v-1）=0]，有

[y=-3±9+4（v-1）2=-3±5+4v2][=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2]

所以，当[K≠4D]时，若存在整数[h]，使得[Δ=4DKh2+（4D-K）2是平方数u=-4Dh±ΔK-4D是奇数 v=-Kh±ΔK-4D是整数 5+4v是平方数 ]

则 [x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D） y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2 ]，[h]是参数（[h∈Z]）

且[y]是整数时，[（x，y）]是不定方程[Kx（x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整数解的参数形式。

例1 求[2x（x+1）=y（y+1）（y+2）（y+3）]的整数解。

解 设[K=2，D=1]，取[h=2]，

[Δ=4DKh2+（4D-K）2=4×1×2×22+（4×1-2）2=62是平方数u=-4Dh±ΔK-4D=-4×1×2±62-4×1=-8±6-2=-4±3-1=1或7 v=-Kh±ΔK-4D=-2×2±62-4×1=-4±6-2=-2±3-1=-1或5 5+4v=5+4×-2±3-1=12或52是平方数 ]

那么，有[x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D）y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2]，求得[x=0 y=-1或y=-2]和[x=3 y=1或y=-4]

所以，[（0，-1），（0，-2）]和[（3，1），（3，-4）]都是不定方程[2x（x+1）=y（y+1）（y+2）（y+3）]的整数解。

例2 求[3x（x+1）=7y（y+1）（y+2）（y+3）]的整数解。

解 设[K=3，D=7]，取[h=0]，得

[Δ=4DKh2+ （4D-K）2= （4D-K）2 = 252]，[v=][-Kh±ΔK-4D=±25-25=-1或1]，[u=v+h=-1或1]，[x=u-12]；

因[5+4v=12或32]是平方数，则[y=-3±5+4v2，] 求得[x=-1 y=-1或y=-2] 和[x=0 y=0或y=-3]

取 [h=10]，有[Δ=][4DKh2+（4D-K）2=][84h2+252=952]，[v=][-Kh±ΔK-4D=-30±95-25]，

因[v∈Z]，得[v=5]，[u=v+h=15]，[x=u-12=7]，

因[5+4v=52]是平方数，则[y=-3±5+4v2][=-3±52]，求得[y=1或y=-4]，

所以，[（-1，-1），（-1，-2）]，[（0，0），（0，-3）]，[（7，1），（7，-4）]是不定方程[3x（x+1）=7y（y+][1）（y+2）（y+3）]的整数解。

3 结论

不定方程[Kx（x+1）… （x+s）][=Dy （y+1）…（y+t），（x，][y∈Z，][ s， t∈Z+）]求整数解还有许多种形式需要研究，本文只研究了其中一种，为其他形式的不定方程求解提供了思路。

［参考文献］

［1］ 卢安然. 关于不定方程3x（x+1）（x+2）（x+3）=10y（y+1）（y+2）（y+3）［J］. 数学的实践与认识，2023，53 （11）： 265-270.

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［3］ 谢耀兵. 关于不定方程5x（x+1）（x+2）（x+3）=9y（y+1）（y+2）（y+3）［J］. 数学的实践与认识，2022，52 （5）： 246-249.

［4］ 杨雅琴. 不定方程Kx（x+1）（x+2）（x+3）=Dy（y+1）（y+2）（y+3）（x>0，y>0）的解［J］. 湖州师范学院学报，2022，44 （2）： 9-15.

［5］ 赵仁杰. 关于不定方程3x（x+1）（x+2）（x+3）=26y（y+1）（y+2）（y+3）［J］. 贵州师范大学学报（自然科学版），2021，39 （6）： 32-35.

［6］ 王润青. 不定方程6x（x+1）（x+2）（x+3）=13y（y+1）（y+2）（y+3）的正整数解研究［J］. 云南民族大学学报（自然科学版），2021，30 （6）： 562-565.

责任编辑 孙 涧

［收稿日期］ 2023-12-28

［基金项目］ 黑龙江省自然科学基金联合引导项目（LH2019A026）

［作者简介］ 杨雅琴（1971- ），女，硕士，齐齐哈尔大学理学院副教授，研究方向：代数学和组合数学。