二阶变系数非齐次线性微分方程的一类通解

【摘 要】 利用待定函数法研究了二阶变系数非齐次线性微分方程的系数满足特定条件时的通解公式。旨在丰富二阶线性微分方程的解题技巧，培养学生的创新思维能力。

【关键词】 变系数；非齐次；微分方程；解题技巧

A Class of General Solutions for Second-order Non-homogeneous Linear Differential Equations with Variable Coefficients

Liu Mengmeng， Ye Yongsheng*， Shi Yangyang

（Huaibei Normal University， Huaibei 235000， China）

【Abstract】 In this paper， the undetermined function method is used to study the general solution formula of the second order non-homogeneous linear differential equation with variable coefficients when the coefficients meet certain conditions. The purpose is to enrich the skills of solving second-order linear differential equations and to cultivate students' innovative thinking ability.

【Key words】 variable coefficient; non-homogeneous; differential equation; problem-solving skill

〔中图分类号〕 O175；G642 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）03- 0125 - 04

0 引言

二阶变系数非齐次线性微分方程

[y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）] （1）

其中[p（x）]，[q（x）]以及[f（x）≠0]为[x]的连续函数。若[f（x）≡0]，方程（1）变为

[y″+p（x）y′+q（x）y=0] （2）

方程（2）称为与方程（1）对应的二阶变系数齐次线性微分方程。方程（1）不仅在微分方程理论方面具有重要的位置，且在物理学以及工程学等方面有着广泛应用。方程（1）的通解不易求，还没有一个普遍有效的方法，但一直备受学者的关注，且研究成果也很多。王伟［1］研究了当方程（1）中[q（x）=p′（x）]时方程的通解为[y=e-p（x）dxf（x）dx+C1ep（x）dxdx+C2]。张云等［2］研究了二阶齐次线性微分方程（2）满足[λp2（x）1-λ2+p′（x）1-λ+q（x）=0]（其中[λ]为实数且[λ≠0，1]）时的特解，邓瑞娟等［3］进一步利用常数变易法研究了方程（1）的一类通解公式。王慧等［4］ 研究了二阶变系数非齐次线性微分方程（1）当[p（x）+（x+k）q（x）=0]（其中[k]为常数）时的通解。冯曼［5］研究了二阶常微分方程的几种求解方法与解题技巧。本文旨在从挖掘数学思想和解题技巧的角度，利用待定函数法研究方程（1）的一类通解的充要条件。

在常微分方程教学中，梁珍凤［6］研究了如何提高学生数学推理能力，武力兵等［7］研究了如何培养大学生实践创新能力，提高教学质量。本文给出二阶变系数常微分方程的一类通解的求解方法与解题技巧，有助于开拓学生的解题思路，培养学生创新思维能力。

1 主要结论及证明

定理1 设[m]、[k]为常数。微分方程（1）有通解

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2（x+k）emx] （3）

的充要条件为

[2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）m=0] （4）

其中[C1]、[C2]为任意常数。

证明：必要性 若（3）式是方程（1）的通解，为简单起见，令[g（x）=（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1]，则（3）式可改写为

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+C2（x+k）emx]。

对上式求一阶和二阶导数，得

[y′=1+m（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+e-mx-p（x）dx（x+k）g（x）+C2emx1+m（x+k）]，

[y″=2m+m2（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx-e-mx-p（x）dxx+kp（x）g（x）+C2emx2m+m2（x+k）+f（x）。]

将[y]、[y′]以及[y″]代入方程（1）得

[emx2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）me-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+C2=0。]即（4）式成立。

充分性 设[y=（x+k）emxv（x）]是方程（1）的解，其中[v（x）]为待定的二阶可导函数，[m]、[k]为常数，则

[y′=1+m（x+k）emxv（x）+（x+k）emxv′（x）]，

[y″=2m+m2（x+k）emxv（x）+21+m（x+k）emxv′（x）+（x+k）emxv″（x）]。

将[y]、[y′]以及[y″]代入方程（1）得

[x+kemxv″（x）+[2+2m（x+k）+p（x）（x+k）]emxv′（x）+2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）memxv（x）=f（x）。]

由于（4）成立，可得

[v″（x）+2m+2x+k+p（x）v′（x）=f（x）（x+k）emx。]

这是一个以[v′（x）]为未知函数的一阶非齐次线性微分方程，其通解为

[v′（x）=e-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1]，

故原方程的通解为

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2（x+k）emx]，

其中[C1]、[C2]为任意常数，[m]、[k]为常数。

由定理1，在（3）式中，当 [m=0] 时，可以得到以下结论，此结论与文献［2］一致。

推论1 二阶变系数非齐次线性微分方程（1）有通解

[y=（x+k）e-p（x）dx（x+k）2（x+k）f（x）ep（x）dxdx+C1dx+C2（x+k）] 的充要条件为[（x+k）q（x）+p（x）=0]。其中[C1]、[C2]为任意常数。

在（3）式中，当[k=0]时，可以得到以下结论。

推论2 二阶变系数非齐次线性微分方程（1）有通解

[y=xemxe-2mx-p（x）dxx2xemx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2xemx] 的充要条件为[2m+xm2+q（x）+p（x）（1+xm）=0。]

在（3）式中，当[m=k=0]时，可以得到以下结论，此结论与文献［2］一致。

推论3 二阶变系数非齐次线性微分方程（1）有通解

[y=xe-p（x）dxx2xf（x）ep（x）dxdx+C1dx+C2x]

的充要条件为[xq（x）+p（x）=0]。其中[C1]、[C2]为任意常数。

推论4 二阶变系数齐次线性微分方程（2）有通解

[y=C1（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2dx+C2（x+k）emx] 的充要条件为[2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）m=0]。

推论5 二阶变系数齐次线性微分方程（2）有通解

[y=C1xexe-2x-p（x）dxx2dx+C2xex] 的充要条件为[2+x1+q（x）+p（x）1+x=0。]

2 应用举例

例1 求微分方程[y″-2x+ky′+2（x+k）2-m2y=x+k]的通解，[m、k]为常数。

解：该方程是形如（1）式的二阶变系数非齐次线性微分方程，其中[p（x）=-2x+k]，[q（x）=2（x+k）2-m2]，[f（x）=x+k]，满足条件（4），由定理1知该方程的通解为

[y=（x+k）emxe-2mx+2x+kdx（x+k）2（x+k）2emx-2x+kdxdx+C1dx+C2（x+k）emx=（x+k）emxe-2mxemxdx+C1dx+C2（x+k）emx =（x+k）emxe-mxm+C1e-2mxdx+C2（x+k）emx=-x+km2-C1（x+k）2me-mx+C2（x+k）emx，]

其中[C1]、[C2]为任意常数。

例2 求微分方程[y″-2xy′+2x2-1y=0]的通解。

解：该方程是形如（2）式的二阶变系数齐次线性微分方程，其中[p（x）=-2x]，[q（x）=2x2-1]，由推论5知该方程的通解为

[y=-x-C12xe-x+C2xex，]

其中[C1]、[C2]为任意常数。

3 结语

二阶变系数非齐次线性微分方程应用广泛，但通解很难求。本文从挖掘数学思想和数学方法技巧的角度出发，利用待定函数法，得出一类二阶变系数非齐次线性微分方程通解，并给出该通解存在的充要条件，可提高学生推理和解题能力。

［参考文献］

［1］ 王伟.几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解［J］. 新乡学院学报（自然科学版）， 2013，30（6）：408-410.

［2］ 张云，叶永升，陈冬君，等. 一类二阶变系数线性非齐次微分方程的通解［J］. 廊坊师范学院学报（自然科学版）， 2018，18（4）：5-6+9.

［3］ 邓瑞娟， 崔洪瑞. 一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解［J］.山西师范大学学报（自然科学版）， 2021，35（3）：13-16.

［4］ 王慧， 叶永升.二阶变系数线性微分方程的一类通解［J］.淮北师范大学学报（自然科学版），2017，38（4）：88-91.

［5］ 冯曼.二阶常微分方程的若干求解方法［J］.阴山学刊（自然科学版），2018，32（2）：17-19.

［6］ 梁珍凤.常微分方程教学中学生数学推理能力的培养［J］.广西民族师范学院学报，2018，35（3）：133-135.

［7］ 武力兵，何希勤，郭良栋，等.“常微分方程”课程教学中大学生实践创新能力培养研究［J］.科教导刊（中旬刊），2017（2）：125-126.

责任编辑 曹秀利

［收稿日期］ 2024-03-19

［基金项目］ 安徽省高等学校自然科学研究项目（2022AH050387）；淮北师范大学校级质量工程项目（2023jxyj027）

［作者简介］ 刘蒙蒙（1993- ），女，博士，淮北师范大学数学与统计学院讲师，研究方向：偏微分方程。

［通讯作者］ 叶永升（1964- ），男，硕士，淮北师范大学数学与统计学院教授，研究方向：图论及其应用。