含p-Laplacian和参数的分数阶微分方程无穷点边值问题正解的唯一性

【摘 要】 研究含参数和p-Laplacian的无穷点分数阶微分方程的边值问题。任意给定一个正参数[λ]时，方程存在唯一的正解，给出依赖于参数[λ>0]的正解的几个明确性质，即正解[u∗λ]连续，关于[λ]严格递增，且[limλ→+∞u∗λ=+∞，limλ→0+u∗λ=0。]具体分析依赖于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的新理论，其中[A]是一个混合单调算子。最后给出一个具体例子作为所获结论的应用。

【关键词】 存在唯一性；正解；分数阶微分方程；p-Laplacian

Uniqueness of Positive Solutions for Infinite Point Boundary Value Problems of Fractional Differential Equations with p-Laplacian and Parameters

Wang Li

（Jinzhong University， Jinzhong 030619， China）

【Abstract】 The boundary value problem of fractional differential equations with infinite points with parameters and p-Laplacian is studied. The existence of unique positive solutions with any given positive parameter [λ] is obtained. Several definite properties of positive solutions dependent on parameter [λ>0] are given， namely， the positive solution [u∗λ] is continuous， strictly increasing with [λ]， and [limλ→+∞u∗λ=+∞，limλ→0+u∗λ=0.] The concrete analysis relies on a new theory of operator equations [A（x，x）=x] and [A（x，x）=λx]， and [A] is a mixed monotone operator. Finally， a concrete example is given as an application of the conclusions.

【Key words】 existence and uniqueness; positive solution; fractional differential equation; p-Laplacian

〔中图分类号〕 O175.8 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）03 - 0014 - 07

0 引言

近年来，分数阶微积分和分数阶微分方程成为众多学者的研究对象，这是由分数阶微积分理论本身的密集发展以及这种结构在工程等学科中的广泛应用所引起的。［1-2］例如，分数阶微分方程可以对SIRS流行病建模，分析致命传染病爆发时人群中恐惧情绪的影响；［3］分数阶微分方程可以有效地处理各种自然和工程问题，［4］也有一些论文研究求解分数阶微分方程的方法，包括解析方法和数值方法。［5-7］

Zhong等［8］研究了如下无穷点边值问题，

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+f（t，u（t））=0， 0<t<1u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0， u（i）（1）=j=1∞αju（ξj）]

得到至少存在一个正解的结论。文献［8］采用上下解法和Schauder不动点定理，得到上述方程正解存在的结论，但未对正解的唯一性进行研究。此外，现有文献中无穷点分数阶微分方程的研究成果很多，但是关于无穷点分数阶边值问题正解的唯一性，研究结果却非常少。基于此，本文讨论一类无穷点分数阶微分方程，并得到方程正解存在唯一性的结论。

本文讨论如下含有p-Laplacian和参数的无穷点分数阶微分方程

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+λf（t，u（t），u（t））=0，0<t<1u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0，Dα0+u（0）=0，u（i）（1）=j=1∞αju（ξj）] （0.1）

其中[Dα0+，Dβ0+]是Riemann-Liouville导数，[φp（s）=|s|p-2⋅s，p>1，λ>0]是一个参数，

[f∈C[0，1]×J，J，J=[0，+∞），i∈[1，n-2]]是一个固定整数，[n-1<α≤n，n≥3，0<β≤1，αj≥0，]

[0<ξ1<ξ2<…<ξj-1<ξj<…<1（j=1，2，…）， Δ-j=1∞αjξα-1j>0]，这里[Δ=（α-1） （α-2） … （α-i）。]

本文将基于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的一些结果，研究问题（0.1）对每一个参数[λ>0]，存在唯一的正解。此外，还将给出与参数有关的正解的一些明确性质。

1 预备知识

设[（E，⋅）]为实Banach空间，[θ]表示[E]的零元。若[ P]满足条件：（i） [x∈P， r≥0⇒rx∈P;] （ii） [x∈P，-x∈P⇒x=θ，]那么[P⊂E]是一个锥，且定义半序[x≤y][⇔][y-x∈P。]进一步，如果存在正常数[N>0]，对任意[x， y∈E， θ≤x≤y]，都有[x≤Ny]成立，那么称[P]为正规锥。对于任意的[h>θ]，集合[Ph={x∈E∣x～h}]，其中[∼]是一个等价关系。对任意[x，h∈E]，关系[x～h]意味着存在[λ>0， μ>0]使得[λx≤h≤μx。]易得[Ph⊂P]且[Ph]是凸的，且对于所有[l>0]有[lPh=Ph]。

定义1.1 如果[A（x，y）]关于[x]单调递增关于[y]单调递减，则称[A：P×P→P]为混合单调算子，即[ui，vi（i=1，2）∈P，u1≤u2，v1≥v2]，可推出[A（u1，v1）≤A（u2，v2）。]如果[A（x，x）=x]，则称元素[x∈P]为[A]的一个不动点。

为讨论问题（0.1），首先研究下列线性边值问题

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+y（t）=0，0<t<1，u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0， u（i）（1）=j=1∞αju（ξj） ，] （1.1）

其中[y∈L1[0，1]]且[y≥0。]

引理1.1［8］ 线性问题（1.1）有下列形式的解

[u（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1y（τ）dτds，]

其中

[G（t，s）=1p（0）Γ（α）tα-1p（s）（1-s）α-1-i-p（0）（t-s）α-1，0≤s≤t≤1，tα-1p（s）（1-s）α-1-i， 0≤t≤s≤1，] （1.2）

[p（s）=Δ-s≤ξjαjξj-s1-sα-1（1-s）i，] 显然[G（t，s）]在[[0，1]×[0，1]]上连续。

引理1.2［8］ （1.2）表示的格林函数[G（t，s）]有下列性质：

（i） [G（t，s）≥1p（0）Γ（α）m1s（1-s）α-1-i⋅tα-1≥0， t，s∈[0，1]；]

（ii） [G（t，s）≤M1+p（0）np（0）Γ（α）（1-s）α-1-i⋅tα-1，t，s∈[0，1]；]

（iii） [G（t，s）≥1p（0）Γ（α）[p（s）（1-s）α-1-i-p（0）（1-s）α-1]⋅tα-1，t，s∈[0，1]；]

（iv） [G（t，s）≤1p（0）Γ（α）p（s）（1-s）α-1-i⋅tα-1，t，s∈[0，1]，]

其中 [m1=inf0<s≤1p（s）-p（0）s，M1=sup0<s≤1p（s）-p（0）s] 是正数。

Zhai等［9］研究了算子方程

[A（x，x）=x ， A（x，x）=λx，] &nbsp; （1.3）

其中，[A：P×P→P]是一个混合单调算子且满足下面的条件：

（A1）存在[ h∈P，h≠θ]使得[A（h，h）∈Ph；]

（A2）对任意[u，v∈P，t∈（0，1）]，存在[φ（t）∈（t，1）]使得

[A（tu，t-1v）≥φ（t）A（u，v）。]

并得到方程（1.3）存在唯一的解。

引理1.3 令[P]是[E]中的一个正规锥且满足条件（A1）（A2），则算子方程[A（x，x）=x]在[Ph]上有唯一正解[x*]。另外对于任意初值[x0，y0∈Ph，]序列

[xn=A（xn-1，yn-1）， yn=A（yn-1， xn-1）， n=1，2，…]

满足[xn-x*→0，yn-x*→0，n→∞]

引理1.4 令[P]是[E]中的一个正规锥且满足条件（A1）（A2），并设[xλ（λ>0）]是参数方程[A（x，x）=λx]在[Ph]上的唯一解，则下列结论成立：

（B1）对于[t∈（0，1）]，如果[φ（t）>t12]，则[xλ]关于[λ]严格递减，即[0<λ1<λ2]可推出 [xλ1>xλ2]；

（B2）对于[t∈（0，1）]，如果存在[β∈（0，1）]使得[φ（t）≥tβ]，则[xλ]关于[λ]连续，即 [λ→λ0（λ0>0）]可推出[xλ-xλ0→0；]

（B3）对于[t∈（0，1）]，如果存在[β∈（0，12）]使得[φ（t）≥tβ]，则 [limλ→+∞xλ=0，limλ→0+xλ=+∞。]

2 主要结论

这部分主要运用引理1.3和引理1.4研究问题（0.1），并得到问题（0.1）存在唯一的正解。另外还会证明正解关于[λ]的一些性质。

设[E=C[0，1]]表示[[0，1]]上的连续函数空间，范数定义为[x=supx（t）：t∈[0，1]。]先给出下列条件：

（H1）[f（t，x，y）： [0，1]×[0，+∞）×[0，+∞）→[0，+∞）]是一个连续函数；

（H2）对于每一个[t∈[0，1]，y∈[0，+∞）， f（t，x，y）]关于[x]单调递增；对于每一个[t∈[0，1]，][ x∈[0，+∞），][f（t，x，y）]关于[y]单调递减；

（H3）对于[r∈（0，1）]，存在[γ∈（0，p-1）]使得

[f（t，rx，r-1y）≥rγf（t，x，y），t∈[0，1]，x，y∈[0，+∞）]；

（H4）[f（t，0，1）≡0，t∈[0，1]]。

定理2.1 设（H1）-（H4）成立，则

（a）对于每一个[λ∈（0，+∞）]，问题（0.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中

[h（t）=tα-1，t∈[0，1]。]

另外对任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds，]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，满足[un（t）→u*λ（t），vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]关于[λ]连续，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]

证明 首先，从引理1.1可知，问题（0.1）等价于如下表达式

[u（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1y（τ）dτds，]

其中[G（t， s）]由（1.2）给出。对任意[u， v∈P，]定义

[A（u，v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds]

对于[x≥0]，有[φ-1p（x）≥0]。因为 [1Γ（β）q-1>0，G（t，s）≥0]，易得[A：P×P→P]。接着通过如下步骤检验[A]满足引理1.3的所有假设。

第一步，证明[A]是一个混合单调算子。事实上，对于[ui，vi∈P，i=1，2，][u1≥u2，][v1≤v2]，已知[u1（t）≥u2（t），v1（t）≤v2（t），t∈[0，1]]，且通过（H1）（H2）（H4），引理1.1以及[φ-1p]单调递增可得

[A（u1，v1）（t）=1Γ（β）01G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u1（τ），v1（τ））dτds≥]

[1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u2（τ），v2（τ））dτds=A（u2，v2）（t）]

第二步，证明[A]满足条件（A2）。从条件（H3）可得，对于[u，v∈P，r∈（0，1）]有

[A（ru，r-1v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，ru（τ），r-1v（τ））dτds≥rγΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds=rγq-1A（u，v）（t），t∈[0，1]]

令[φ（t）=tγ（q-1），t∈（0，1）]，则[0<γ（q-1）<1]，因此[φ（t）∈（t，1），t∈（0，1）]。于是

[A（tu，t-1v）≥φ（t）A（u，v），∀u，v∈P，t∈（0，1）]

所以条件（A2）满足。

第三步，证明[A（h，h）∈Ph]。一方面，因为[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]，从条件（H1）-（H4），引理1.2，有

[A（h，h）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds≥01tα-1m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）=01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，τα-1，τα-1）dτds⋅h（t）⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）]

[≥01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτds⋅h（t）⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）]

另一方面，从条件（H1）-（H4）和引理1.2有

[A（h，h）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds≤01tα-1p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）=01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，τα-1，τα-1）dτds⋅h（t）⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）]

[≤01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds⋅h（t）⋅1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）]

令[l1=01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτds，] [l2=01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds]

因为[f]连续，[f（t，0，1）≡0]，所以[0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτ≥0]且 [0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτ≢0]

因此， [φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds≥0]且 [φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds≡0，τ∈[0，1]]

从[m1s≤p（s）]可得[0<l1≤l2。]因此，

[A（h，h）（t）≥1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）⋅l1⋅h（t）]

[A（h，h）（t）≤1Γ（β）q-1⋅1p（0）Γ（α）⋅l2⋅h（t）]

所以有

[1Γ（β）q-1⋅l1p（0）Γ（α）⋅h≤A（h，h）≤1Γ（β）q-1⋅l2p（0）Γ（α）⋅h]

因此[A（h，h）∈Ph]，满足条件（A1）。

从引理1.3可得，存在[u*λ′∈Ph]使得[A（u*λ′，u*λ′）=λ′u*λ′]。因为[φ（t）=tγ（q-1）]且 [0<γ（q-1）<1]，所以引理1.4中的（B2）意味着[u*λ′]关于[λ′]连续。令[λ′=1λq-1，u*λ′=u*λ，]则[A（u*λ，u*λ）=1λq-1u*λ]，即[u*λ=λq-1A（u*λ，u*λ）]。对任意给定的[λ>0]，易得[u*λ]是问题（0.1）的唯一正解，另外[u*λ]关于[λ]连续，即[u*λ-u*λ0→0，λ→λ0（λ0>0）]。

最后，令[Aλ=λq-1A]，则[Aλ]满足引理1.3的所有条件。通过引理1.3，对任意初值 [u0，v0∈Ph]，构造两个序列[un+1=Aλ（un，vn），vn+1=Aλ（vn，un），n=0，1，2，…，]则有 [un→u*λ，vn→u*λ，n→∞]，即

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds→u*λ（t），]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds→u*λ（t），n→∞。]

下面给出另一个条件：

（H3）*对于[r∈（0，1）]，存在[γ∈（0，p-12）]使得

[f（t，rx，r-1y）≥rγf（t，x，y），][ t∈[0，1]， x，y∈[0，+∞）]。

定理2.2 设条件（H1）（H2）（H3）*（H4）成立，则

（a）对于每一个[λ>0，]问题（0.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]。另外对任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds，]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，满足[un（t）→u*λ（t），vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]关于[λ]严格递增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（c）[u*λ]关于[λ]连续，即[u*λ-u*λ0→0，λ→λ0（λ0>0）]；

（d）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

证明 考察算子

[A（u，v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds，]

类似于定理2.1的证明可得[A：P→P]是一个单调混合算子且满足

（i）[A（h，h）∈Ph，] 其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]；]

（ii）[A（tx，ty）≥φ（t）A（x，y），x，y∈P，t∈（0，1），]其中[φ（t）=tγ（q-1），t∈（0，1）。]

令[β=γ（q-1）]，则从条件（H3）*可得[0<γ（q-1）<12，t12<φ（t）=tβ<1。]所以通过引理1.3，存在[u*λ′∈Ph]使得[A（u*λ′，u*λ′）=λ′u*λ′]。令[λ′=1λq-1，u*λ′=u*λ，]则[A（u*λ，u*λ）=1λq-1u*λ，]即[u*λ=λq-1A（u*λ，u*λ）。]则对于任意[λ>0，u*λ]是问题（0.1）的唯一正解。进一步根据引理1.4可得，[u*λ′]是严格递减的且关于[λ]连续，

[limλ′→+∞u*λ′=0， limλ′→0+u*λ′=+∞。]

所以可以得到：

（i）[u*λ]关于[λ]严格递增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（ii）[u*λ]关于[λ]连续，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]；

（iii）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

推论2.1 设条件（H1）-（H4）成立，则含有p-Laplacian的无穷点分数阶微分方程

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+f（t，u（t），u（t））=0，0<t<1，u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0，u（i）（1）=j=1∞αju（ξj） ]

在[Ph]上有唯一正解[u*]，其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]。另外对任意初值[u0，v0∈Ph]，构造序列

[un+1（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds]

[vn+1（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds]

（[n=0，1，2，…]），可得[un（t）→u*（t），vn（t）→u*（t），n→∞。]

注记2.1 在文献中，关于无穷点分数阶微分方程这类问题没有发现有类似定理 2.1，定理2.2，推论2.1这样的结论。文献中也没有用到混合单调算子的方法，所以本文用的方法不同于参考文献中的方法。本文的主要结果不仅能保证对任意参数都得到正解的存在唯一性，而且能够构造两个迭代序列来逼近得到的正解。

3 应用

这部分作为所得结论的应用，将用一个具体例子来验证主要结论的正确性。

例3.1 考虑含有[p]-Laplacian和参数的分数阶边值问题

[D120+（φ3（D720+u））（t）+λu（t）3+0a86a735cf2f28de0e9ebbc113583c6c1u（t）+14t3=0，0<t<1u（0）=u′（0）=0， D720+u（0）=0， u′（1）=j=1∞2j2u（1j）] （3.1）

其中

[n=3，i=1，2<α≤3， β=12∈（0，1]， p=3， αj=2j2， ξj=1j，]

[f（t，x，y）=x3+1y+14t3]

经过简单计算可得[Δ=52，j=1∞αjξα-1j≈2.109<Δ。]显然[f（t，x，y）]满足条件（H1）（H2）。令[γ=13]，则[γ∈（0，p-12）=（0，1）。]进一步对于[r∈（0，1）， x≥0，y≥0]，有

[f（t，rx，r-1y）=rx3+11ry+14t3≥r13x3+r14y+14t3≥r13x3+11+y4t3=rγf（t，x，y）]

此外[f（t，0，1）=124t3≡0，t∈[0，1]。]所以满足定理2.2的所有条件。从定理2.2可得

（a）对于[λ>0，]问题（3.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中[h（t）=t52，t∈[0，1]]。另外对任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λ12π401G（t，s）φ-130s（s-τ）-12un（τ）3+1vn（τ）+14τ3dτds，]

[vn+1（t）=λ12π401G（t，s）φ-130s（s-τ）-12vn（τ）3+1un（τ）+14τ3dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，满足[un（t）→u*λ（t）， vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]关于[λ]严格递增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（c）[u*λ]关于[λ]连续，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]；

（d）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

4 结论

本文讨论一类具有p-Laplacian和参数的无穷点分数阶微分方程。对于任意给定的正参数[λ]，得到方程正解的存在唯一性。采用的方法是关于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的新理论，其中[A]是一个混合单调算子。并进一步给出与参数[λ>0]有关的正解的一些很好的性质，即正解[u∗λ]连续，关于[λ]严格递增，且[limλ→+∞u∗λ=+∞，limλ→0+u∗λ=0。]

［参考文献］

［1］ Ashik MI， Mamun MM， Shahadat MHA， et al. New applications of the fractional derivative to extract abundant soliton solutions of the fractional order PDEs in mathematics physics［J］. Partial Differential Equation in Applied Mathematics，2024（9）：1-13.

［2］ Gioacchino A. Analytical response and Markovianity of systems governed by fractional differential equations driven by stable white noise processes［J］. Probabilistic Engineering Mechanics，2024（75）：1-12.

［3］ Mangal S， Misra O， Dhar J. SIRS epidemic modeling using fractional-ordered differential equations： Role of fear effect［J］. International Journal of Biomathematics， 2024， 17（5）：2350044.

［4］ Rahul C， Shivani A， Anu B， et al. Solving system of fractional differential equations via Vieta-Lucas operational matrix method［J］. International Journal of Applied and Computational Mathematics， 2024，10（14）：1-19.

［5］Sidheswar B. Analysis of traveling wave solutions of two space-time nonlinear fractional differential equations by the first-integral method［J］. Modern Physics Letters B， 2024， 38（4）：1-16.

［6］ Ying S， Tie Z. The existence theory of solution in Sobolev space for fractional differential equations［J］. Applied Mathematics Letters， 2024（149）：1-5.

［7］ Yang YH， Ho WCG， Amiya KP， et al. High-order schemes based on extrapolation for semilinear fractional differential equation［J］. Calcolo， 2023， 61（1）： 1-40.

［8］ Zhong QY， Zhang XQ. Positive solution for higher-order singular infinite-point fractional differential equation with p-Laplacian［J］. Advances in Difference Equations， 2016（1）：1-11.

［9］ Zhai CB， Zhang LL. New fixed point theorems for mixed monotone operators and local existence-uniqueness of positive solutions for nonlinear boundary value problems［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2011，38（2）：594-614.

责任编辑 孙 涧

［收稿日期］ 2024-03-25

［基金项目］ 山西省自然科学基金青年项目（202303021212267）；晋中学院2023年教学改革创新项目（Jg202362）

［作者简介］ 王丽（1991-），女，博士，晋中学院数学系讲师，研究方向：非线性泛函分析和偏微分方程控制。