台风眼与毛球定理

每当夏季来临，热带、亚热带海洋上台风处于高发时期，引起社会各界的关注。在天气预报的气象云图中，我们通常可以看到一个较小的“眼区”，俗称“台风眼”，平均直径约为40千米。风眼周围环绕着强烈的雷暴，中心却是无风无雨的平静状态。

风暴的中心为什么最平静？从物理学层面解释，是因为台风中心空气旋转，产生的离心力和向中心吹入的风力互相平衡，使“台风眼”部位的空气呈静止状态。不过，地球表面的大气既然每时每刻都在运动，会不会在某个时刻，所有的风都往一个方向吹，让气象云图上不存在台风眼呢？从直觉来看，似乎会有这种可能，但出乎意料的是，这个问题的答案是“否”。

要解释这个问题，就需要引入拓扑学的知识。拓扑学是现代数学的重要分支之一，主要研究几何图形或空间在连续改变形状后维持不变的一些性质，所以在拓扑学里，不需要像平面几何学里一样考虑研究对象是大是小、是方是圆。如果两个形状能够通过挤压、拉伸而相互转换，即使是日常中看似差别很大的两样东西，在拓扑学里也会认为它们是同类。比如，面包圈、面包片、带柄咖啡杯该怎么分类？在现实世界里，面包圈当然和面包片是同一类，因为它们的制作材料相同。但在拓扑学里，面包圈有且只有一个贯通的洞，咖啡杯的手柄与杯身之间也形成唯一一个贯通的洞，所以它们才是同类，而没有洞的面包片不能和面包圈划为同类。

在拓扑学里，有很多有趣的定理，其中之一叫作“毛球定理”。这不难在现实世界中得到粗略验证：找一只表面盖满毛的椰子，试着把所有的毛梳顺到同一方向。梳到最后你会发现，不管是给椰子梳分头还是梳背头，永远会有一撮毛竖着，或者有一个发旋儿留着。

为了解释这个现象，我们需要把椰子抽象化，进入数学的世界。在数学中，向量指满足一系列法则的元素，它的集合构成向量空间。“在数学语言里，给椰子表面梳毛”意为定义一个连续函数，让球上每一点的函数值都是与球面在该点相切的向量。如果所有值都不为0，就能对应所有毛顺向一个方向。但通过证明发现，在球面上永远会存在一个让向量函数值为0的点，它对应的就是最后留下的“一撮毛”或者“发旋”。

因此，台风眼的存在就是毛球定理的具象化。地球表面被大气层覆盖，并且大气的垂直运动相对地球直径来说小到可以忽略不计。如果把地球表面水平运动的大气类比为球表面的毛，那么通过毛球定理可以确定，地球表面永远存在大气的“发旋”。