基于思维导图的高中数学教学设计

摘 要：随着教育理念的不断更新，传统的填鸭式教学模式已经无法满足现代教育的需求，而思维导图是一种直观的思考方式，它能帮助学生加深对所学知识的理解与记忆，从而提高教学效果。因此，本文简述思维导图应用于高中数学教学的必要性，从多个维度探究思维导图应用于高中数学教学的策略，以人教A版必修第一册“三角恒等变换”第1课时为例，展示基于思维导图的教学设计，促进学生创造性思维的发展，为高中数学教师教学提供参考。

关键词：思维导图;高中教学设计;三角恒等变换

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2024）09-0075-04

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下统称为《课标》）提出两条教学理念：一是优化课程结构，突出主线，精选内容;二是把握数学本质，启发思考，改进教学[1]。传统的教育是以传授知识和发展技能为主要目标，教学方式运用单一，不重视学生对知识的理解，从而抑制了学生创新思维能力的培养。运用思维导图的方式进行教学设计，不仅有利于学生建构知识网络，助力单元教学设计，理解教学重难点，调动学生学习的积极性和主动性;还有利于教师通过思维导图的方式将知识可视化，将分散的知识按照一定的逻辑、规律等联结起来，形成完整的知识结构体系，以便学生进行知识迁移。

本研究旨在提出一种更高效的教学方法，以促进学生创造性思维的发展，从而适应未来社会发展的需要。以核心素养为导向，运用思维导图的方式进行教学设计，可以使学生把心中所想的知识外化于纸张上，用线条把它们串联起来，以此对学生的形象思维、逻辑思维进行锻炼和发展，使其具有创新思维能力。

1 思维导图的内涵、功能和策略

思维导图最早由英国心理学家东尼·博赞（Tony Buzan）在20世纪60年代提出。思维导图是发散思考的一种图式思维工具，它用图示的形式，把各个层次的主题之间的联系用层次图表示出来[2]。思维导图的核心要素有中心主题、分支、层级、关键词、图像和颜色等内容，中心主题是思维导图的核心，通常位于中心位置;分支是从中心主题向外延伸的线条，层级是分支和子分支构成不同的层级，关键词是每个分支上通常有一个关键词或短语，绘制思维导图可以通过图像和颜色来更好地帮助记忆、理清思路和增强视觉效果。总之，思维导图的优势是可以让学生的左右脑互相配合，根据记忆、阅读和思维的规律，在科学和艺术、逻辑和想象力上得到均衡的发展，开发出大脑的潜力，让学生的创造力得到发展[3]。

常爱荣（2017）认为在应用思维导图教学的过程中促进了师生互动，使教学概念可视化，培养了学生的数学学习能力，体现出对学生个体的关怀[4]。李蕾（2018）指出以思维导图为基础的教学模式可以使学习过程最优化，用思维导图进行教学可以使学生的思考能力得到更大的提升，可显著提升高中数学学科素养[5]。崔海东（2019）提出教师在教学过程中应该以学生为主体，学生可以在学习计划制定、归纳数学解题方法、课后复习中运用思维导图[6]。董学全（2020）认为利用思维导图可以提高预习效果、发散解题思维、厘清复习脉络、梳理课堂板书，在高中数学教学中合理、智慧地运用思维导图，可事半功倍地提高教学效率[7]。王琳琳（2021）提出在高中数学教学中合理引入思维导图，有利于学生构建知识体系，促进逻辑思维能力的提高，促进学生数学解题能力的提高[8]。王健（2022）从思维导图在高中数学教学中的应用策略角度展开论述，认为可以借助思维导图，优化预习过程，通过思维导图，梳理教学内容，巧构思维导图，促进学生对知识的吸收，提升学生的学习效率和逻辑思维能力，同时也增强了课堂教学的生动性和趣味性[9]。张跃骜（2023）在教学中采用思维导图教学策略，将条件和结论纳入探究，以此突破学生在解决问题思维过程中无法分类和转化的困难，从而有效培养学生解决问题的能力和思维能力[10]。

已有研究探讨了思维导图在高中数学教学中的诸多应用策略，包括在互动探究中应用思维导图、在例题讲解中应用思维导图、在课堂小结中应用思维导图，这些策略为本文提供了研究思路。但是这些研究仅停留在理论层面，未进行实践操作。基于此，本文将以人教A版必修第一册“三角恒等变换”第1课时为例，运用思维导图进行教学设计与实践，以期为高中数学教师提供新的教学思路，提高课堂教学效率，提升学生的逻辑思维能力，提高学习效率，从而促进学生更好地把握数学本质。

2 基于思维导图的教学设计案例

2.1 课程标准分析

本节课以《课标》为基本依据，以发展学生创新思维能力为目标。《课标》主题二函数模块对本单元学业要求为知道数学运算和逻辑推理的关系，重点提升逻辑推理和数学运算核心素养。《课标》对本节教学内容要求为经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义[11]。

2.2 教材分析

本节课“三角恒等变换”第1课时“两角差的余弦公式”，出自人教A版（2019）《高一数学》必修第一册第五章“三角函数”，两角差的余弦公式是三角学中的重要内容，它不仅是三角函数恒等变换的基础，而且还在解决实际问题时具有广泛的应用[12]。通过学习这些内容，学生可以提高解决相关问题的能力，同时培养数学推导的技巧。

2.3 学情分析

在学习过程中，部分学生可能会对公式的记忆和运用感到困难，特别是对公式的使用条件和非常规角度的三角函数值计算方面，需要给予更多的关注和练习。学生在学习两角差的余弦公式时应注重理论与实践相结合，通过不断的练习来提高对三角函数的认识和应用。在教学过程中教师需要不断评估学生的学习进度和理解程度，通过作业、测验和课堂互动等方式，及时发现并解决学生的疑难问题。

2.4 教学目标

（1）推导两角差的余弦公式并进行应用，发展逻辑推理素养;

（2）运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等发展数学运算素养;

（3）体会一般与特殊、换元法等数学思想在三角恒等变换中的作用发展数学建模素养。

2.5 教学重点和难点

教学重点为两角差的余弦公式的推导;教学难点为求值过程中角的范围分析及角的变换。

2.6 以思维导图为工具的三环节教学设计

2.6.1 在互动探究中应用思维导图

（1）创设情境，设问导学。

某工厂的一条生产线需要安装一个坡度为15度的传送带运送产品来减少人工投资，传送带OA长为20米，请问该生产线基座至少得多宽？

生：独立思考，建立数学模型如图1所示，OB=20cos15°=？

师：cos15°等于多少呢？

生：cos15°=cos（45°-30°）。

师：那么cos（45°-30°）是否等于cos45°-cos30°？

思考：那么推到一般形式cos（α-β）等于多少？它的展开公式可能与哪些值有关？

生：通过对比之前六个诱导公式发现，cos（α-β）的展开式可能与α或β的正弦值或余弦值有关。

师：我们用到哪些知识探究cos（α-β）与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？

生：根据经验在推导诱导公式的时候，我们用到了三角函数的定义，单位圆的特殊对称性。

【设计意图】通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，激发学生的求知欲，引发学生思考，发现学习两角差余弦公式的必要性，从而顺利揭示课题。

（2）尝试分析，推导公式。

师：类比诱导公式的推导，利用三角函数定义，请动手作图。

生：以x轴非负半轴为始边，任取两角α、β，两角终边分别交单位圆于P1、A1，令α、β都在第一象限且α>β，令A1（cosβ，sinβ）、P1（cosα，sinα）。

思考：如何找到与cos（α-β）相关的点P？

生：用三角函数的定义，以x轴非负半轴为始边，作角α-β，交单位圆于一点P，此时P（cos（α-β），sin（α-β））。

思考：如何发现cos（α-β）与sinα、cosα、sinβ、cosβ间存在的等量关系？

生：在单位圆中找到与α-β相关的等量关系，由圆的旋转对称性得，AP=A1P1。根据以上探究，学生自主建构“数”与“形”关系的思维导图，如图2所示，理清知识脉络，指明知识的本质特征。

师：请你借助两点间的距离公式，结合以上“数”与“形”的探究，你能得到什么结论？

生：根据两点间距离公式，结合AP=A1P1，有：

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，（α≠2kπ+β，k∈Z）

思考：如果两个任意角终边重合α=2kπ+β，k∈Z，上述结论成立吗？

生：当α，β终边重合时，cosα=cosβ，sinα=sinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ此时等式左侧cos2kπ=1，右侧=sin2α+cos2α=1。

师：两侧的值相等，因此上述结论仍然成立，即得到两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ简记为C（α-β）。我们一起看PPT总结一下刚学的两角差的余弦公式，如图3所示。

【设计意图】引导学生通过几何方法来证明两角差的余弦公式，帮助学生理解公式的来源，加深对三角函数性质的认识。在课堂中引导学生YkdxzYl4i7FoekOK53t0wg==自行绘制思维导图，协助分析课程的知识脉络，建立完整的知识结构，从而提高课堂效率。

2.6.2 在例题讲解中应用思维导图

师：能不能用思维导图把你的解题过程画出来？

【设计意图】通过例题演示如何直接使用这些公式解题，在解题的过程中融入分析型思维导图，利用思维导图将解题的思路呈现出来，以培养学生运用思维导图搭建解题支架的能力，使学生掌握解题的过程，重视知识的应用过程，从而达到数学思维的提升。

2.6.3 在课堂小结中应用思维导图

师：请你从知识、思想和方法角度谈谈本课收获？

生：概括总结，个别回答。

【设计意图】学生借助思维导图组织、整理、总结知识，培养学生归纳概括及反思能力，提升学习境界，见图5。强调公式的重要性和应用的广泛性，以及它们在其他更复杂三角恒等式中的作用。

2.7 教学反思

弗赖登塔尔指出反思是数学化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力[13]。在运用思维导图教学的过程中，要准确理解数学本质，了解学生的现实情况，通过自主探究等方式发展学生创新思维能力。在具体的教学过程中，要注意把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，避免把教学看作是知识的传递，而要将其看成知识处理和转换的过程，也就是对原有知识的改组和重建。在教学的过程中，学生是学习的主体，教师起到良好的组织者的作用，学生在积极参与学习活动的过程中数学核心素养不断发展。

3 结论

本节课利用思维导图构建知识之间的联系，发展学生创新思维能力，提升数学核心素养。基于思维导图的教学激发了学生原有的相关知识经验，学生能够看清楚问题，根据已有的知识做出假设，建立知识间的关系，挖掘深藏知识形态下的核心素养，激发学生的学习兴趣。绘制思维导图的实质是呈现学生有序思考的过程，将抽象思维可视化，使学生主动构建数学知识体系。总之，思维导图在教学过程中的应用有助于促进教学互动，更新教学理念，提高教学质量，并促进学生创新思维能力的发展。

参考文献：

〔1〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

〔2〕黄芳.正本启思：小学数学教学的本然之道[J].江苏教育研究，2022，39（Z1）：17-23.

〔3〕陈斓.让板书“亮”起来——基于思维导图的地理板书设计[J].教育，2014，6（12）：56-57.

〔4〕常爱荣.高中数学教学中思维导图模式的实践与价值分析[J].数学教学研究，2017，36（03）：35-37.

〔5〕李蕾.利用思维导图提升学生核心素养的教学研究[J].教育现代化，2018，5（18）：234-235.

〔6〕崔海东.思维导图在高中数学教学中的应用探究[J].中学数学教学参考，2019，48（27）：71-72.

〔7〕董学全.对高中数学思维导图的应用探究[J].中学数学教学参考，2020，49（33）：11-12.

〔8〕王琳琳.高中数学教学中的思维导图分析[J].中学数学教学参考，2021，50（09）：3-4.

〔9〕王健.思维导图在高中数学教学中的应用[J].中学数学月刊，2022，45（03）：25-27+54.

〔10〕张跃骜.思维导图在高中数学解题中的应用实践与反思[J].数学教学通讯，2023，45（21）：53-55.

〔11〕谈杰.三角函数、三角恒等变换[J].数学教学通讯，2014，36（14）：35-43.

〔12〕章建跃，李增沪.数学（必修第一册）[M].普通高中教科书（A版）.北京：人民教育出版社，2019.

〔13〕顾继玲，章飞.初中数学单元复习课教学设计的特征分析[J].数学通报，2021，60（07）：31-36+41.