函数法在求解电源输出功率最大问题中的应用

【摘要】本文通过对电源输出功率的表达式进行推导和分析，构建函数模型，利用数学方法求解极值，详细阐述函数法的原理、变式和应用实例.函数法为解决此类问题提供了准确且有效的途径，有助于深入理解电路中的能量转换和优化问题.

【关键词】函数法；电源输出功率；高中物理

在电学中，电源输出功率的计算和优化是一个重要的课题.电源输出功率的大小直接关系到电路的性能和效率，因此，如何准确地求解电源输出功率的最大值具有重要的理论和实际意义.函数法作为一种强大的数学工具，在解决这类问题中发挥着关键作用.

1 应用案例

例1 如图1所示，R为变阻箱，电压表为理想电压表，电源电动势E=6V，当变阻箱阻值为R=4Ω时，闭合电键后，电压表的读数为4V.求：

（1）电路中的电流I和电源内阻r；

（2）电源的输出功率P和效率η；

（3）当变阻箱R为多大时，电源的输出功率最大？最大值Pm为多少？

解析 （1）电路中的电流为I=UR=44A=1A，

根据闭合电路欧姆定律可得E=U+Ir，

可得电源内阻为r=E－UI=6－41Ω=2Ω.

（2）电源的输出功率为P=UI=4×1W=4W，

电源的效率为η=P出P总×100%=UIEI×100%=UE×100%=46×100%≈66.7%.

（3）电源的输出功率为P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，

可知当R=r=2Ω时，电源的输出功率最大，

最大值为Pm=E24r=624×2W=4.5W.

点评 本例第（3）问中，将电源输出功率P表示为关于R的函数，经过配方处理后得到其最值和取得最值的条件（内外电阻相等），从而解出电源的最大输出功率.

2 变式分析

例2 如图2所示电路，电源电动势E=6V、内阻r=3Ω，定值电阻R0=10Ω，滑动变阻器R的电阻在0到10Ω之间变化.起初开关S断开，调节变阻器R的阻值，试求：

（1）变阻器R的阻值为多大时理想电流表示数为0.5A；

（2）变阻器R可获得的最大功率；

（3）闭合开关S，变阻器R可获得的最大功率.

解析 （1）由闭合电路的欧姆定律有I=ER+r，

解得R=9Ω.

（2）变阻器的功率P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，

可知当变阻器阻值等于电源内阻时，电源输出功率最大，即R=r=3Ω，

所以回路电流I=ER+r=1A，

因此变阻器可获得的最大功率P=I2R=3W.

（3）闭合开关S后，将R0吸收到电源内部，其等效电阻为r′内=rR0r+R0=3013Ω，

当R=3013Ω时，其获得的功率最大，最大为Pm=E24r′内=3.9Ω.

点评 本例第（3）问中，将开关S闭合，相当于电源内部并联了一个电阻R0，形成等效电源后，再根据例1的结论进行计算.

3 结论的应用

例3 如图3所示，电源的电动势为E，内阻为r.图4为电源的输出功率P与电阻箱读数R的关系图象，电源输出功率最大值为6W，电阻箱读数分别为4Ω、9Ω时电源输出功率相等为P0，下列说法中正确的是（ ）

（A）电源的电动势为12V．

（B）电源的内阻为6.5Ω．

（C）当电阻箱阻值为6Ω时，电源输出功率最大．

（D）电阻箱阻值为4Ω时电源输出功率大于5Ω时电源输出功率．

解析 根据题意可知，电源的输出功率为P=I2R=ER+r2R=E2R－r2R+4r，由数学知识可知，当R=r时，电源输出功率最大，最大功率为Pm=E24r，当R=4Ω时，有P0=4E24+r2，当R=9Ω时，有P0=9E29+r2，解得r=6Ω，则当电阻箱阻值为6Ω时，电源输出功率最大，则有6W=E24×6Ω，解得E=12V，故（A）（C）正确，（B）错误；根据图象可知，当电阻箱阻值为6Ω时，电源输出功率最大，故（D）错误.

点评 根据函数规律绘制图4所示的图象，由图象可以看出，电源输出功率有最大值，当外电阻的变化范围内的所有值取不到电源内阻值时，外电阻与内电阻越接近，电源输出功率越大.

4 结语

函数法在求解电源输出功率最大问题中具有重要的应用价值.通过准确的推导和数学分析，能够有效地确定使电源输出功率达到最大值的条件.在实际应用中，应结合具体的电路情况，合理选择求解方法，以实现对电路性能的优化和能量的高效利用.同时，不断探索和创新，将函数法与其他方法相结合，以应对更复杂的电学问题.通过以上对函数法在求解电源输出功率最大问题中的应用的研究，不仅掌握了一种有效的解题方法，更深入理解了电学中的能量转换和优化原理，为今后在相关领域的学习和研究奠定了坚实的基础.

参考文献：

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