数学知识在解决高中物理问题中的妙用

【摘要】随着教育的不断发展，学科间的交叉融合越来越受到重视.本文旨在引导学生深入理解数学与物理之间的联系，激发他们对学科交叉应用的兴趣，培养他们的创新思维和解决问题的能力，并以一道多过程运动习题为例，探讨数列知识和极限思想在解决高中物理问题中的妙用.通过分析运动问题、构建数学模型、运用数学公式和求解，使学生更好地理解物理现象，提高解题效率和准确性.

【关键词】高中物理；多过程运动；解题技巧

1 引言

在高中物理学习中，数学知识的巧妙运用能够使复杂的问题变得简单化，特别是在解决多过程运动问题时.本文将以一道经典的多过程运动学习题为例，探讨等比数列求解和极限思想在解决高中物理问题中的妙用.通过分析问题、构建数学模型、运用数学公式和求解，学生将发现数学知识不仅能够帮助我们更好地理解物理现象，还能够提高解题效率和准确性.

2 试题呈现

例1 如图1所示，两段斜面AB和BC连接成V字形，连接点B处可以视作一段极短的光滑圆弧，两段斜面长度均为L=1m，倾角α=37°，一定质量的小物块从AB段斜面顶端由静止开始运动，小物块与AB段动摩擦因数为μ1、与BC段动摩擦因数为μ2，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.

图1

（1）若μ1=μ2=0.5，求小物块在两段斜面上运动的总路程；

（2）若μ1=0.5，μ2=0.25，求小物块体第一次沿斜面AB向上运动的最远距离；

（3）求第（2）问中小物块在AB，BC斜面上运动的总路程.

3 思路分析

（1）小物块在斜面AB和BC上往复运动，最终静止在B处，全程可由能量守恒和功能关系求解小物块在两段斜面上运动的总路程；（2）根据牛顿第二定律与运动学公式分段求解运动在斜面上运动的最大距离，最终得到故小物块体第一次沿斜面AB向上运动的最远距离；（3）根据（2）的分析过程，总结归纳物块在斜面AB和BC上每次上滑的最大距离的规律，应用数学知识求解.

4 解法探究

（1）小物块在两段斜面上运动的总路程为s总，小物块在斜面AB和BC上往复运动，最终静止在B处，全程由能量守恒和功能关系可得：mgLsinα=μ1mgcosα·s总，解得：s总=1.5m.

（2）根据牛顿第二定律：

对物块沿斜面AB下滑有：a1=gsinα－μ1gcosα，解得：a1=2m/s2.

对物块沿斜面BC上滑有：a2=gsinα+μ2gcosα，解得：a2=8m/s2.

设第一次达到B点的速度大小为vB，第一次沿斜面BC向上运动的最远距离为x1，

则有：v2B=2a1L；v2B=2a2x1，

可得：x1=a1a2L=14L，

解得：x1=0.25m；

同理，对物块沿斜面BC下滑有：a3=gsinα－μ2gcosα，解得：a3=4m/s2.

对物块沿斜面AB上滑有：a4=gsinα+DpAU6kYbmjoDoTnJWNVDQQ==μ1gcosα，解得：a4=10m/s2.

设第二次达到B点的速度大小为v′B，第一次沿斜面AB向上运动的最远距离为x2，

则有：v′2B=2a3x1；v′2B=2a4x2，

可得：x2=a3a4x1=a1a3a2a4L=110L，

解得：x2=0.1m.

故小物块体第一次沿斜面AB向上运动的最远距离为0.1m.

（3）接（2）的分析结果：

x1=a1a2L，x2=a3a4x1=a1a3a2a4L；

继续类推可得：

第二次沿斜面BC向上运动的最远距离为x3=a1a2x2=a1a2·a3a4·a1a2L；

第二次沿斜面AB向上运动的最远距离为x4=a3a4x3=a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面BC向上运动的最远距离为x5=a1a2x4=a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

第三次沿斜面AB向上运动的最远距离为x6=a3a4x5=a3a4·a1a2·a3a4·a1a2·a1a3a2a4L；

总结归纳得：x2n－1=a1a2n·a3a4n－1·L

=14n·25n－1m，

x2n=a1a2n·a3a4n·L=14n·25nm.

在斜面BC上运动的总路程为sBC=2x1+x3+x5+……+x2n－1（此数列首项为14m，等比为110）；

在斜面AB上运动的总路程为sAB=L+2x2+x4+x6+……+x2n（数列部分的首项为110m，等比为110）；

应用等比数列求和，当n→∞解得：sBC=59m；sAB=119m.

故小物块在AB，BC斜面上运动的总路程为s=sBC+sAB=59m+119m=169m.

5 结语

本题考查了数理结合的能力，考查了功能关系与牛顿第二定律得应用.此题运动过程并不复杂，难点在于归纳总结运动规律，本题最后总结出两个不同的数列，难度较大.通过本题的探讨，学生深刻体会到了数学知识在解决高中物理问题中的重要作用.数学不仅是一种工具，更是一种思维方式，它能够帮助学生更好地理解物理现象，提高解题效率和准确性.在解决多过程运动问题时，通过构建数学模型、运用数学公式和求解，将复杂的问题变得简单化.这种数学与物理的交叉应用，不仅有助于学生解决具体的物理问题，还能够培养他们的创新思维和解决问题的能力.

参考文献：

［1］罗恒，姚光桥.数学在高中物理中的应用研究——以“耐克”函数与“飘带”函数为例［J］.物理教学，2023，45（12）：13-15+6.

［2］杨继虾.数学定理在高中物理解题中的应用［J］.数理化解题研究，2023（28）：118-120.

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