巧用数学方程求解动态平衡中的最值问题

【摘要】本文旨在探讨如何巧妙运用数学方程解决高中物理中动态平衡的最值问题.通过对相关物理规律和数学方法的深入研究，结合具体实例进行分析，阐述了数学方程在解决这类问题中的重要作用，并总结了相应的解题策略和技巧，以帮助学生提高解决物理问题的能力.

【关键词】高中物理；动态平衡；物理规律

高中物理中的动态平衡问题涉及力的平衡和物体的运动状态变化，对于学生来说往往具有一定的难度.而通过巧妙运用数学方程，可以将复杂的物理情景转化为数学模型，从而更有效地求解最值问题.

1 晾衣绳的动态平衡问题

例1 如图1所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动.先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（ ）

（A）由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变.

（B）由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置升高.

（C）由b→c的过程，F减小，θ变小，衣服的位置下降.

（D）由b→c的过程，F的最小值为12mg.

解析 根据几何关系可知，两段绳子间的夹角为2θ，由平衡条件可知2Fcosθ=mg，所以F=mg2cosθ，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sinθ+L2sinθ=s，得sinθ=sL1+L2=sL，由a→b的过程，L、s都不变，θ不变，绳子张力F也不变，由几何关系可知衣服的位置升高，故（B）正确，（A）错误；由b→c的过程，s变小，θ变小，cosθ变大（但cosθ<1），F变小，但F>12mg，由几何关系可知衣服的位置下降，故（C）正确，（D）错误.

点评 运用平衡条件将绳子张力F表示成关于θ的表达式，再根据θ的变化情况分析F的变化，在变化的过程中寻找F的最小值.

2 连接体中的动态平衡问题

例2 如图2所示，质量M=5kg的物体P静止在地面上，用轻绳通过光滑、轻质定滑轮1、2（滑轮大小相等，轴心在同一水平线上）与质量m=1.5kg的小球Q连接在一起，初始时刻滑轮2与P间的轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球Q与滑轮1间的轻绳刚好位于竖直方向，现用一水平向左的力F缓慢拉动小球Q，直到物块P刚要在地面上滑动.已知P与地面的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列说法中正确的是（ ）

（A）初始时P受到地面的摩擦力为12N.

（B）此过程中绳子拉力的最大值为30N.

（C）小球Q与滑轮1间的轻绳与竖直方向的夹角最大为53°.

（D）轴对滑轮1的最大作用力大小为152N.

解析 初始时轻绳拉力为T，对小球Q进行受力分析有T=mg=15N，对物体P进行受力分析有Ff=Tsin37°=9N，故（A）错误；设此过程中小球Q与滑轮1间的轻绳与竖直方向的夹角为θ，有Tcosθ=mg，在小球Q缓GvMnwVnNl1qDeDZgsG0rKQ==慢移动的过程中θ逐渐增大，cosθ逐渐减小，所以绳子拉力T逐渐增大，当小球Q与滑轮1间的轻绳与竖直方向的夹角最大时轻绳拉力最大，对物块P进行受力分析有FN+Tmcos37°=Mg，Tmsin37°=Ff，Ff=μFN，解得Tm=25N，此时对Q进行受力分析有cosθ=mgTm，解得θ=53°，故（B）错误，（C）正确；对滑轮1进行受力分析可知，轴对滑轮1的作用力大小为F轮=T·cosθ2+T－T·sinθ2，又因为T=mgcosθ，联立可得F轮=mg21+sinθ，故θ=0时，轴对滑轮1的作用力最大，此时F轮m=2mg=152N，故（D）正确.

点评 本题（D）选项中，解出了轴对滑轮1的作用力大小F轮=mg21+sinθ，根据此表达式可很快分析出其最值.

3 力方向发生变化引起的动态平衡问题

例3 如图3所示，某同学拉着拉杆箱沿水平地面匀速运动，其施加的拉力F沿拉杆的方向，且与地面的夹角为θ.当改变θ角时，为了维持匀速运动需改变拉力F的大小.已知地面对箱子的阻力是箱子对地面压力的k倍，则下列说法正确的是（ ）

（A）拉力F是维持箱子运动的原因.

（B）箱子受到5个力的作用.

（C）θ角大一些时，k值更小.

（D）tanθ=k时，拉力F最小.

解析 力是改变物体运动状态的原因，力不是维持物体运动的原因，故（A）错误；箱子受到重力、拉力、地面的支持力与摩擦力，即箱子受到4个力的作用，故（B）错误；由于摩擦力是滑动摩擦力，则有f=μN=kN，即k等于动摩擦因数，可知，k的大小与θ角无关，故（C）错误；对箱子进行受力分析有Fcosθ=f=kN，mg=Fsinθ+N，解得F=kmgcosθ+ksinθ=kmg1+k211+k2cosθ+k1+k2sinθ=

kmg1+k2sinα+θ，当sinα+θ=1时有Fmin=kmg1+k2，此时α+θ=90°，则有tanθ=1tanα=k，故（D）正确.

点评 本题（C）选项中，写出摩擦力的表达式后，发现摩擦力与θ角无关，可得（C）错误；（D）选项中，根据物理规律，写出F关于θ的表达式后，根据三角函数最值的求解方法解得拉力F的最值.

4 结语

通过以上分析和实例研究，可以看出数学方程在解决高中物理动态平衡中的最值问题时具有重要作用.学生在学习过程中，应注重将物理知识与数学方法相结合，提高综合运用知识的能力，从而更轻松地应对这类具有挑战性的问题.总之，巧妙运用数学方程求解高中物理动态平衡中的最值问题，不仅有助于加深对物理概念的理解，还能培养学生的逻辑思维和创新能力，为进一步学习物理和其他学科知识奠定基础.

参考文献：

［1］陈梅宗.高中物理力学中动态平衡问题的解法探析［J］.数理化解题研究，2024（12）：107-109.

［2］柯佼.高中生应用数学知识解决物理问题的研究［D］.华中师范大学，2020.

［3］蒋沛辰.数学技巧在高中物理解题中的应用——以两道三角函数习题为例［J］.数理天地（高中版），2024（14）：129-130.