无电源有外力存在的导轨滑杆模型

【摘要】随着深入学习电磁学，导轨滑杆模型作为一个能够直观展示电磁感应与力、能量关系的实验模型，在物理教学中占据了重要位置.这类习题是涉及电磁感应、力与运动、能量转化等多个物理概念的综合性习题.本文详细解析无电源有外力存在的导轨滑杆模型，通过应用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、焦耳定律、功能关系和能量守恒定律等基本物理定律，同时展示如何从力与运动的角度和功与能的角度来分析和解决该模型中的问题.

【关键词】高中物理;电磁感应;滑杆模型

1 引言

在电磁感应现象的研究中，无电源有外力存在的导轨滑杆模型是一类经典的习题模型.该模型通过设定特定的条件，如导体棒在导轨上滑动、外部施加的力以及磁场的存在，考查学生对电磁感应、力与运动、能量转化等物理概念的理解和应用.该类题型的解决不仅需要学生对电磁感应现象有深入的认识，还需要他们能够灵活运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、焦耳定律、功能关系和能量守恒定律等基本物理定律.本文将以一道典型例题，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决复杂物理问题的能力.

2 试题呈现

如图1所示，MP，NQ为两个竖直面内平行放置的四分之一光滑圆形导体轨道，半径为r，相距为L.两轨道在最高点P、Q处，分别与两根足够长的光滑平行导轨平滑相连，构成水平轨道PC、QD，C、D端接有阻值为R的定值电阻，所有轨道的电阻均不计，整个装置置于方向坚直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.一根质量为m、长为L、阻值为R0的导体棒紧贴轨道，在外力F作用下从MN处开始，做角速度为ω的匀速圆周运动，到达圆形轨道与水平轨道的连接处PQ时撤去外力，整个过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好.重力加速度为g，对于导体棒的整个运动过程，下列判断正确的是（ ）

（A）整个过程中外力F做的功为mgr+πωB2L2r24R+R0.

（B）导体棒从MN运动到PQ的过程中，流过定值电阻R的电荷量为BLrR+R02.

（C）导体棒从MN运动到PQ的过程中，定值电阻R上产生的焦耳热为πωRB2L2r22R+R02.

（D）导体棒最终静止的位置离PQ的距离为x=mωrR+R0B2L2.

3 思路分析

首先，根据法拉第电磁感应定律，当导体在磁场中运动或磁场发生变化时，会在导体中产生感应电动势.由闭合电路欧姆定律可知，当电路闭合时，感应电动势将驱动电流流动.结合这两个定律，可以求解出在给定条件下产生的感应电流的大小.

其次，焦耳定律阐述了电流通过导体时会产生热量的关系，而功能关系和能量守恒定律则可以帮助理解在电磁感应过程中能量的转换和守恒.通过这些原理，可以更深入地分析电磁感应现象中的能量转换和损耗.

再者，电荷量的推导经验公式，如库仑定律，提供了计算电荷之间作用力的方法.对于理解电磁感应中电荷的移动和分布至关重要.

最后，动量定理可以用来分析导体棒在电磁场中受到的力以及由此产生的运动.通过将动量定理与电磁感应相结合，可以推导出导体棒在磁场中运动的位移.

4 解法探究

导体棒从MN运动到PQ的过程中，对瞬时速度进行正交分解如图2所示.

t时刻导体棒沿弧形轨道转动的偏转角度为ωt，垂直磁场方向的分速度为ωr·sinωt，则t时刻感应电动势的瞬时值为：e=BLωr·sinωt，可得此过程产生的感应电流为14周期（周期T=2πω）的正弦式交变电流.其感应电流的有效值为：I=BLωr2R+R0，对此过程由功能关系可得外力做的功为：W=mgr+I2R+R014·2πω=mgr+πωB2L2r24R+R0，故（A）正确.

根据q=IΔt，I=ER+R0，E=ΔΦΔt，推导可得此过程流过定值电阻R的电荷量为：q=ΔΦR+R0=BLrR+R0，故（B）错误.

此过程定值电阻R上产生的焦耳热为：Q=I2Rt=I2R14·2πω=πωRB2L2r24R+R02，故（C）错误.

导体棒在水平轨道上从PQ处以初速度v=ωr，在安培力作用下做减速运动直至停下.以向右为正方向，此过程中对导体棒由动量定理可得：－BI′L·Δt′=0－mv，同理可得：I′Δt′=q′=ΔΦ ′R+R0=BLxR+R0，联立可得导体棒在水平轨道上的位移为：x=mωrR+R0B2L2，故（D）正确.

5 结语

在解决电磁感应现象中的动生电动势问题时，通常可以从两个不同的角度来处理.首先，从力与运动的角度出发，可以利用牛顿第二定律或动量定理来求解导体棒在磁场中受到的安培力，从而得出其加速度和运动轨迹.这种方法侧重于分析磁场力对导体棒运动状态的影响，通过力的作用来推断运动的变化.其次，从功与能的角度出发，关注的是电磁感应过程中能量的转化.根据动能定理，导体棒由于受到安培力的作用而产生的动能变化，可以与电磁场中的能量变化相关联.通过功能关系，可以建立电磁场能量与导体棒动能之间的定量关系，从而列出方程求解.在实际应用中，这两个角度往往是相互补充的.从力与运动的角度可以揭示导体棒的运动规律，而从功与能的角度则可以揭示能量转化的本质.通过将这两个角度结合起来，学生能够更全面地理解和解决电磁感应中的问题，不仅知道导体棒如何运动，还知道为什么会发生这样的运动，以及能量在这个过程中是如何转化的.综上所述，解决电磁感应现象中的问题，既要考虑到力与运动的关系，也要考虑到功与能的关系.这种综合分析方法能够帮助我们更深入地理解电磁感应现象，并在实际问题中找到有效的解决策略.

参考文献：

［1］李启国.对电磁感应中“滑杆”模型的定量计算［J］.数理化解题研究，2022（16）：100-102.

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