波动方程藏奥秘，多解之中映真谛

【摘要】机械波是高中物理的重要内容，蕴含着独特的物理之美.多解问题在机械波问题中尤为突出，因为其传播方向、传播距离和波长的关系、振动周期等不确定因素，从而造成了求解的复杂性.本文结合实例探究机械波多解问题的常见类型，并提出相应的解题策略，以供读者参考.

【关键词】 机械波；高中物理；解题技巧

1 传播方向不确定导致多解

波总是由波源发出并由近及远向前传播，波在介质中传播时，质点的振动情况可以根据波的传播方向确定.因此，当无法确定波的传播方向时，就会出现多解问题.

例1 如图1所示为一列简谐横波，其中实线为t1=1s时的波形，虚线为t2=2.5s时的波形，且（t2－t1）小于一个周期，则下列说法正确的是（ ）

（A）波长为40cm.

（B）波沿着x轴正方向传播.

（C）振幅为10cm.

（D）振动周期可能为2s，也可能为6s

解 由图象可得λ=40cm，A=5cm，因为（t2－t1）小于一个周期，则波在这段时间内传播的路程小于一个波长，但是因为波的传播方向不确定，所以具有多解的可能.

当波的传播方向向x轴正方向传播时，Δx1=0.1m，

波速v=ΔxΔt=0.11.5m/s=λT，

解得T=6s.

当波的传播方向向x轴负方向传播时，Δx2=0.3m，

波速v=ΔxΔt=0.31.5m/s=λT，

解得T=2s.

综上所述，本题的正确答案为（A）（D）选项.

评注 题中未给出传播方向，所以就要分为两类情况进行讨论.对于不同的传播方向，相应的波长、波速、振动周期等计算值会有所不同，要根据实际情况代入公式进行计算.

2 传播距离和波长关系不确定导致多解

在波的传播过程中，每相隔一个波长的质点振动情况相同，若题目中并没有明确指出波长和波的传播距离之间的关系，就会产生多解的情况.

例2 一列横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，如图2所示是t=0时的波形图.质点P，Q是在x轴上的两点，它们的平衡位置坐标分别为0.4m和0.7m.

（1）若质点P连续两次经过x轴的时间差Δt=0.4s，求波的传播速度大小；

（2）若在0.1s时质点Q运动到波谷处，求波的周期.

解 （1）波的周期T=2Δt=0.8s，波长λ=0.8m，由v=λT得v=1m/s.

（2）由题意得在t时间内，波的传播距离Δx1=0.1m+nλ（n=0，1，2，3…），

波的传播速度v1=Δx1t=（8n+1）m/s（n=0，1，2，3，…），

周期T1=λv1=440n+5s（n=0，1，2，3，…）.

评注 采用由特殊到一般的物理思维方法，找到一个周期内传播距离和波长的关系即可分类解答多解问题.

3 振动周期不确定导致多解

当题目已知条件中并没有说明传播时间和周期的关系时，与第二类问题类似也会出现多解的情4b75d63a55d78dff44a97e7ea460ef57858512965548f73b12033e435923b33b况.对于传播时间Δt<T的类型，容易造成特解代替通解的漏解情况，要注意区分.

例3 如图3所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线和虚线分别是t1=0时刻和t2时刻的波形图，P，Q两点分别是平衡位置为x1=1m和x2=4m的两质点.如图4所示即为质点Q的振动图象，则下列说法中正确的是（ ）

（A）简谐波沿x轴负方向传播.

（B）简谐波的传播速度为20m/s.

（C）质点P从t1=0时刻到t2时刻经过的路程可能为50cm.

（D）质点P的振动方程为y=10sin10πt+

3π4cm.

解 由图3可得，t1=0时刻质点Q向上振动，由同侧法可知，简谐波是沿着x轴正方向传播的，选项（A）错误.

由图3可知，波长为8m，从图4中可得T=0.2s，则波的传播速度v=λT=40m/s，选项（B）错误.

质点P从t1=0时刻到t2时刻经过的路程s=4A·n+14=（4n+1）A（n=0，1，2，3，…），

当n=1时，s=50cm，由于质点P不在平衡位置，从t1=0时刻到t2时刻经过的路程不可能为50cm，所以选项（C）错误.

质点Q的振动方程为y=Asin2πTtcm=10sin（10πt）cm，质点P和质点Q的相位差恒定，故φ=34π，则质点P的振动方程为y=Asin2πTt+φcm=10sin10πt+3π4cm.所以选项（D）正确.

评注 根据每一个周期中波形出现的次数和出现的具体情况，利用画图补齐图形的方法可以研究出传播事件和周期之间的关系.

4 结语

总的来说，解答机械波的多解问题要先找出一个周期内满足题目条件的时间或者位移关系，之后再根据题设条件和公式综合判断即可得到答案.教师在习题教学的过程中要让学生感受波动方程的美，体会问题的本质，让学生在“波”和“多解”两方面形成思想上的联系，问题也就迎刃而解了.