例析克拉珀龙方程在气体问题中的应用

【摘要】理想气体状态方程p1V1T1=p2V2T2只适用于一定质量的某种理想气体，对于质量改变的气体问题，并不能直接运用，若要将变质量问题转化为恒质量问题来解决，思维难度大，学生难以掌握.所以克拉珀龙就是解答气体问题的重要方法，能够在一定程度上简化解题的难度.本文结合几道例题谈谈克拉珀龙方程在解决气体问题中的应用.

【关键词】克拉珀龙方程；气体问题；高中物理

1 克拉珀龙方程的表述及物理意义

克拉珀龙方程：pVT=mMR，其物理意义是任何质量的理想气体处于平衡状态时，它的三个状态参量压强、体积、温度和气体质量之间的定量关系.由此可见理想气体状态方程p1V1T1=p2V2T2是克拉珀龙方程的一个特例.

2 应用展示

2.1 气体状态的转化问题

例1 有一热气球停在地面，下端开口使球内外的空气能够流通，从而保持内外的气体压强相等.设气球的容积V1=400m3，忽略气球内的空气，热气球的总质量M=160kg.已知地面附近的大气温度T1=300K，空气密度ρ=1.2kg·m-3，空气可近似地认为是理想气体.求：

（1）当气球内剩余气体质量为m2=360kg时，气球中空气的温度T2；

（2）气球刚好从地面飘起来时气球内的气体温度T3.

解 （1）因为气球内外的气压相同且气球内空气的体积不变，

所以由pVT=mMR可得气球内空气的质量和热力学温度成反比，

即m1T1=m2T2.

气球未加热时m1=ρV1，

代入数据可得T2=400K.

（2）气球刚好从地面飘起时，由力的平衡条件可知，竖直方向上气球所受到的浮力等于气球和内部空气的总重力，

即m1g=m3g+Mg.

同理由pVT=mMR可得气球内空气的质量和热力学温度成反比，

即m1T1=m3T3，

代入数据可F0d4GmKQkQOX58Kw1p3g/w==得T3=450K.

评析 第（1）问中依据克拉珀龙方程并结合题意中压强和体积为不变量，可得到质量和温度之间的等量关系，代入即可解得.对于第（2）问，“刚好”二字代表着力学平衡，同样利用第（1）问的方法即可解得.对于状态转化问题，只需要将状态参量的变化情况与克拉珀龙方程中的量一一对应即可.

2.2 气体分装问题

例2 甲、乙两个储气瓶中储存着同种气体（可视为是理想气体）.甲瓶的容积V1=8L，瓶中气体压强为7p0；乙瓶的容积V2=4L，瓶中气体压强为p0.现通过细管将甲、乙两瓶连通，让甲给乙充气，直到两瓶中气体的压强相等，过程中两瓶中的气体温度不变且保持相等，细管中气体的体积忽略不计.试求在稳定后：

（1）乙瓶中气体的压强p；

（2）甲瓶中气体的质量与甲瓶中原有气体的质量的比值.

解 （1）由pVT=mMR可得m=pVMRT.

根据质量守恒定律，一定质量的理想气体（状态为p1，V1，T1）分离为两部分气体（状态分别为p2，V2，T2和p3，V3，T3），

则有p1V1T1=p2V2T2+p3V3T3.

过程中两瓶中的气体温度不变且保持相等，

代入数据可得：7p0V1+p0V2=p（V1+V2），

解得p=5p0.

（2）若稳定后甲瓶中的气体又被压缩到原来的压强7p0，体积为V3，

则由玻意尔定律可得pV1=7p0V3，

设稳定后甲瓶中气体的质量和原有气体质量的比值为k，

结合密度的定义公式可得k=ρV3ρV1=57.

评析 此题涉及一个重要方程，即理想气体分态方程p1V1T1=p2V2T2+p3V3T3，对于气体分装问题，气体的质量是不变的，因此在质量守恒定律的基础上即可得到此方程.

2.3 漏气（充气）问题

例3 一瓶子中装有一定量的空气（可视为理想气体），瓶身上有小孔和外界空气相通.初始状态时瓶内气体的温度为7℃，若将其加热到47℃，逸出瓶外的气体质量为1g，求瓶里原来气体的质量.

解 以瓶内气体为研究对象，由pVT=mMR，

可得m=pVMRT.

漏气前后气体的压强、体积、摩尔质量均不变，

所以m∝1T.

设原气体质量和漏气后气体质量分别为m和m′，

漏气前后的温度分别为T1，T2，

则有mm′=T1T2，

代入数据可得m=8g.

评析 漏气问题和充气问题本质上是一样的，因为质量有所变化，所以可以将质量单独提出来，分析其如何受到其他状态参量影响，代入数据即可得到质量变化情况.

3 结语

灵活运用克拉珀龙方程和其在某些限定条件下的推论式，可以帮助攻破气体问题的难关.一般来说，问题中都是同种理想气体，若遇到不同种的理想气体，克拉珀龙方程仍可用，但是需要注意气体摩尔质量的值的大小.