基于“数学理解层级”的教学设计策略思考

【摘要】数学的学习离不开数学理解，所谓“数学理解层级”是指学生在学习数学过程中，从表面理解到深入掌握的六个不同层次，这六个层次包括：记忆理解、概念理解、程序理解、方法理解、问题解决理解和探究理解，层层递进，从记忆理解到探究理解，学生的数学理解能力也逐级加深.文章将以初中数学教学为例，对基于“数学理解层级”的教学设计策略展开探讨.

【关键词】“数学理解层级”；教学设计；策略；初中数学

【基金项目】本文系江苏省中小学教学研究第十五期课题《意义建构：追求理解的初中“数学+”教学设计研究》（2023JY15-L117）的阶段研究成果

“数学理解层级”是一个有层次、有规律可循的概念，是对已有知识经验进行归纳、整理、概括而形成的层次结构（具体划分如图1）.在初中数学教学中，如何有效地运用已学知识帮助学生理解数学层次，增进中学阶段学生的数学文化水平，成为所有数学教育工作者必须深入考虑的课题.

一、基于学生认识基础，确定教学目标

在教学设计时，教师要理清“数学理解层级”，明确“数学理解层级”下的教学目标.数学教学过程始于目标且终于目标，同时，数学教学的评估过程也是如此，要坚守用数学的眼光观察现实世界，发现其特征和联系，进行数与形的描述这一目标，积极引导学生观察现实世界中的数学问题，发现数学问题与现实世界之间的联系，帮助学生观察现实生活中的几何、代数、数量关系和空间形式等问题，找到其数学特征和规律.

案例一：如图2，一座立体的铁制框架呈现立方体状，四条棱的中点为I，J，K，L四点，并通过铁质线材串联起来.

问题一：假设有蚂蚁意图顺着这些铁质连接从A点移动至G点，求出蚂蚁抵达G点的最短路径有哪些，同时利用字母标记出实际经过的节点序列（例如蚂蚁从A起步，途经I，L，H点，终至G点，以字母序列AILHG形式来描述此路径）.

问题二：蚂蚁是否有可能从A点起始，沿着铁丝经过每个连接点恰好一次，最后到达G点？假如可行，请展示一种符合条件的路径.反之，若无法达成，请解释不可能的原因.

拿到这个题目后教师需要引导学生树立解题思路和解题目标，比如有的学生的目标是第一问路线绝不遗漏等.

解析：第一问中因为是正方体，所以，求所走的距离最小可以先以某一条边做开头以免漏数；第二问中先假设如果可能怎么走，最后发现不可能到达G点.

解：（1）一共有12条：ABCKG，ABJKG，ABJFG，ADCKG，ADLKG，ADLHG，AIJKG，AIJFG，AILKG，AILHG，AIEFG，AIEHG；

（2）不可能.

用反证法证明.假设可能，将所有连接点染上黑白两色，凡与黑点相连的都是白点，再通过黑白点的数量进一步得出与假设矛盾.若A是黑点，则黑白点的分布如下表：

由于A与G全部由黑色点标记，因此当蚂蚁由A点起步，依序通过其他各位置，抵达G点时，其所经过的路径顺序应呈现黑色→白色→黑色→白色→…→白色→黑色.其中黑点应有奇数个，这与图中共有6个黑点矛盾.

∴蚂蚁无法从A位置起步，沿着铁丝经过每个连接点恰好一次，最后到达G点.

二、基于学生知识理解，确定教学方法

课堂教学是实施数学理解的主阵地，教师在设计教学方案时要依据学生的不同程度和认知水平，选择合适的教学方法，采用多种评价方式，促进学生的学习发展.在教学中，教师可运用以下几种方法：

（一）情境设置法

在数学教学中，营造合适的情境，激发学生的认知矛盾，从而使学生与数学知识产生共鸣，例如，在“丰富的图形世界”单元中，可以结合本单元“三视图”这一内容设计如下问题情境：画出多边形的三视图，要求学生找到生活中的多边形并画出三视图，像粉笔盒、衣柜等，通过这个情境设计可以引导学生进行观察、思考和探究，从而激发学生学习的兴趣.

（二）小组合作法

小组合作是一种常见的学习方式.在数学教学中，可将小组合作学习分为四个阶段：讨论阶段、预习阶段、尝试阶段和巩固阶段.在自主学习之后进行小组讨论，形成初步观点；然后分组尝试并进行初步解答；最后将讨论结果以书面形式呈现，以帮助学生理解和掌握知识.这种教学方法能够有效地促进学生的合作与交流.

案例二：如图3，将图（1）长方形草地里中间宽度为1米的直道调整为图（2）中宽度同为1米的弯曲小径.这两条小道的面积相等吗？

在做这道题之前，教师可以先让学生自由讨论一下两条小路的面积，讨论完后教师进行讲解.

解析：将图（2）的草坪连接到一起（如图4），该长方形草坪长度为（a-1）m，面积为h（a-1）m2.

解：曲径草坪中曲径的面积为：ah-h（a-1）=ah-ah+h=h（m2），

直道的面积为：1×h=h（m2），

所以两条小道的面积相等.

（三）活动体验法

在初中数学教学中可通过课堂活动来提升学生的“数学理解层级”，例如在学习“勾股定理”时，让学生在动手实践中体验数学知识的运用：先让学生画出直角三角形或是含有直角的图形，随后要求学生通过小组互换图案，将直角在图上标出来，逐渐形成自己的数学思维方式和解决问题的能力.同时，教师也可以通过观察学生的活动状态，了解学生的掌握情况，及时调整教学策略，促进学生的数学理解层次的提升.

案例三：如图5，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，AB=3，则BC的长是多少？

拿到题目后，教师可以先让学生按照题目条件自己亲手画出图形，接着进行题目讲解.

解析：已知AD，CD，根据∠ACD=90°可以求出AC；已知AB即可求出BC.

三、基于理解水平的教学设计，落实教学过程

数学理解是建构数学认知结构的基础，也是检验认知结构的主要指标.教师需要根据学生的理解层级，设计相应的教学活动，让学生在学习新知识时可以顺利完成任务.因此，教师在设计教学活动时要注意以下几点：

（一）基于生活情境设计教学过程

学习者在数学学习的过程中会相继经历经验性理解、形式化理解、结构化理解和文化性理解四个发展阶段，其中生活性教学设计就是经验性理解.在初中数学教学中，教师要从生活实际出发，将抽象的数学知识应用到具体情境中去，使学生能够主动参与学习过程.例如，在教学“图形的相似”这部分内容时，教师可以先让学生找到生活中的相似图形，有的学生会说：国旗上的五角星、人民币外形，还有的学生会拿三轮电动车的车轮举例子.

案例四：图6中直角三角形中含有一个30°角，设斜边AB长度为8cm.△DEF位于△ABC内部，其三条边与△ABC各自相应的边保持着平行状态，三条边与对应边之间的间隔均为1cm.基于上述条件，求得△DEF的边长总和即周长为（ ）.

解题前学生可以用手中的直角三角板这个生活化物品做参照.

解析：△ABC与△DEF相似.

生活是数学的来源和土壤，数学源于生活又服务于生活.为此，在中学的数学教育过程中，教师需侧重于将数学概念与学生的日常生活相结合，站在学生的立场，构建与真实生活紧密相关的学习情境，让学生在解决实际问题中获得体验、感悟和发展.

（二）基于教学理论融入教学实践落实教学过程

在初中数学教学实践中，教师要注重将“数学理解层级”的理念融入教学过程中，引导学生对数学知识进行深入的理解，并在理解的基础上掌握知识.教师应当把学生放在教学的核心位置，密切关注学生对所学知识的理解和掌握程度，及时地给予指导和帮助，从而让学生能更好地理解和掌握知识.教师在课堂上要充分运用情境教学法、小组合作学习法、问题教学法等多种教学方法，让学生在愉悦的氛围中进行学习.另外，教师在课堂上还要关注学生的实践过程，及时对学生的学习情况和学习态度进行反馈，并根据反馈结果对学生进行指导和帮助.例如，在教学“统计和概率的简单应用”时，教师需要先将理论知识描述清楚，像概率的计算过程、统计的生活应用等，熟练掌握公式法和树状图画法，学会利用简单直观的方式判断概率问题，接着教师可以向学生提问生活中有哪些问题可以利用概率知识进行解决，像视力表、工资表、小球概率、抛硬币等都可以用概率知识来解决.

案例五：投掷一个质地均匀的六面体骰子，每个面上分别写有1～6这6个数字，朝上一面的数字是1有多少可能性？2呢？3呢？4呢？5呢？6呢？

四、基于理解水平的评价过程，形成学习成果

在评价环节，教师首先要知道初中数学学习不是一个简单的线性过程，而是一个复杂、烦琐的非线性过程.在初中阶段，学生的数学理解水平是随着做题数量的积累和知识的堆积不断发展和提高的，学生学习的成效也是时刻变化的.因此，教师要基于学生的学习情况进行真实的教学评价，以评价结果为依据对教学活动进行调整.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，在初中数学教学中利用评价机制培养和发展学生的数学理解能力是义务教育阶段的重要目标.在数学教学中，评价机制的建立是至关重要的，它不仅能够及时反映学生的学习状况，还能为教师的教学设计提供有利的参考.教师在设计教学方案时，需要考虑学生的学习成果，以促进学生全面发展，基于“数学理解层级”设计评价策略：一方面，教师要组织学生进行讨论，使学生在自主思考、主动探究的过程中查漏补缺；另一方面，教师要鼓励学生大胆质疑，并努力提出有价值的问题，针对这些问题教师要做出进一步指导，对于指导效果好的学生，教师需要给予优秀评级.

结 语

综上，基于“数学理解层级”的教学设计策略，旨在帮助学生逐步深入地理解数学知识，提高数学素养.在初中数学教学中，教师应根据学生的实际情况和需求，有针对性地设计教学策略，引导学生逐步达到更高的理解层次，为学生未来的发展打下根基.

【参考文献】

[1]陆泉萍.求联驱动：催化数学理解的自然进阶[J].数学学习与研究，2021（8）：120-122.

[2]荀步章.数学理解：发展学生核心素养的教学策略[J].中小学教师培训，2022（12）：53-57.

[3]张鹤.初中数学理解性教学实验研究[D].无锡：江南大学，2013.