基于数形结合的高中数学解题思维培养路径研究

【摘要】数学是高中阶段的重要学科，数学教师应当在教学过程中引导学生掌握一定的解题技巧，提高学生的解题思维能力.然而，在实际教学过程中，高中数学教师对学生解题思维的培养并不重视.这就使得高中数学教学效果大打折扣.数形结合是高中数学学习过程中重要的一种解题思维，将数形结合应用于高中数学解题思维的培养过程中，可以有效解决传统数学教学中存在的问题.基于此，文章对数形结合应用于高中数学解题思维培养过程进行分析，并提出完善策略，最终促进学生在数学学习中形成良好的解题思维，提升学生的解题能力.

【关键词】数形结合；高中数学；解题思维；培养路径

随着新课改的不断推进，数学教学的难度也在不断提高，尤其是在高中阶段，数学知识具有较强的抽象性，这对学生的思维能力提出了更高的要求.数形结合思想在数学教学中具有很强的应用价值，不仅能够有效地降低学生解题时遇到的困难，而且可以提升学生的解题效率，促使学生养成良好的解题思维.因此教师要积极地利用数形结合思想开展教学活动，引导学生在思考中建立起数学模型，借助数与形之间的相互关系解决问题.

一、基于数形结合的高中数学解题思维培养价值

（一）有利于拓宽解题思路

将数形结合的思维模式应用于解决高中数学问题，需要深化学生对数学的认识.学生在学习中面临诸多困难，主要源于对数学理解的不足.多数学生仅将数学视为提升计算技巧的学科，未能从情感、态度和价值观角度理解课程.数形结合能促进学生的数学理解，使他们从宏观角度认识到数学在教育中的重要性，进而有效提升教育效果.

一方面，数学与日常生活相连，既源于生活，又服务于生活.许多看似棘手的生活问题，都可借助数学方法解决.在数学知识应用于实际生活的过程中，数形结合的观念起到了关键的中介作用.在生活中运用数学方法解决问题，教师将问题抽象为数学表达形式，数形结合的思想是实现这一形式的重要途径.例如，函数、方程、不等式为学生运用所学数学知识解决实际问题奠定基础.因此，在高中数学教学中引入数形结合思想，能够促进学生解题过程中的数学知识迁移.

另一方面，创造性思维是解题思维中的重要组成部分.数形结合的思想在这方面具有明显效果.它不仅能引导学生在遇到问题时从数形结合的角度思考解决方案，还能帮助学生根据问题的实际需求选择最适合的解决方法，体现解题的多样性和差异性.

（二）有利于降低解题难度

在高中数学教学中，数学被视为最具挑战性的学科，并且在难度层级上的划分显著.所以从数形结合的视角出发，教师能够运用该理念提升学生的解题能力，降低解题难度.以函数为例，函数图像具备五大基本特性：其一，单调性.在独立变量取值范围内，任意选取两点x1，x2（x1f（x2），则表明函数在此区间内单调递增或递减.其二，奇偶性.涉及奇函数与偶函数的概念，若函数f（x）满足f（-x）=-f（x），称其为奇函数；若满足f（-x）=f（x），则为偶函数.利用函数的奇偶性进行问题转化，是解题的关键策略，能有效提升解题效率.其三，周期性.如果f（x）的定义域为D，存在正数T，使得对所有x∈D，有f（x+T）=f（x），f（x）为周期函数.其四，“凹凸性”.作为描述函数在相邻区间内整体形态的特性，无论凸或凹，均可通过特定不等式来刻画.这个特性能够应用于数学问题及不等式求解中.其五，可导性.函数在某点可导的条件是该点两侧导数存在且相等，进而确定函数在该区域的可导性.这些特性间存在共通之处，对学生在解题中举一反三具有重要辅助作用.

（三）有利于强化数学观念

数学观念作为对数学事实与理论归纳后形成的总结性理解，不仅是提升学生数学学习成效的有力保障，也是促进其思维发展的主要载体.数学观念具有多元性.第一，高中数学问题呈现综合性，涉及函数与不等式、函数与方程等多个方面.单纯从量的角度解决这类问题既耗时又易出错.数形结合能够实现以形化数，通过形象表达难以理解的数字关系.对于某些图形题目，数量关系表达可能含糊不清，数字解形将图形问题代数化，使学生从运算角度解答.将两大内容相联系，能够深化学生的数学认识，强化数学观念.

第二，分类讨论是一种具有代表性的应用数学思维.在进行分类论述时，其思路具有强烈的逻辑性.这种思路更适用于知识点多、要求学生具备较高分析和归类技能的试题.他们在进行归类探讨时能够具备更高的逻辑思维能力.第三，培养学生的类推思维.在高中数学中，分析几何是数形结合思想的重要应用方向.通过运用数形思维，学生能够围绕定义、图形、标准方程、区间、顶点坐标等进行类推，强化在解题中的理解.

（四）有利于深化核心素养

教师以核心素养为指导，引导学生运用数形结合的思维方式解决问题，对于提升学生解决问题的能力，深化核心素养具有重要意义.在数学核心素养形成中，数学模型起着桥梁作用.教师可以将数学模型划分为以下类型：一是建立函数关系.函数是高中数学的主要内容，从一次函数、二次函数到指数函数、对数函数、三角函数等.函数通过研究数量关系，帮助学生解决涉及自变量和因变量的数学问题.二是构建公式.公式是运用数学知识的有效方法，在许多问题中，利用公式进行解答可以提高解题速度和准确率.三是运用统计学知识.由于统计学应用广泛，采用统计方法建立数学模型已成为一种普遍方法.因此，数形结合的思想与数学模型关联度较高，教师借助模型构建解题思路，促进学生深层核心素养的形成.

二、基于数形结合的高中数学解题思维培养路径研究

数学是高中教育中的重点内容，需要教师在教学过程中以学生的能力提升为根本出发点，不断创新教学方法，提高学生对数学知识的理解能力.而数形结合作为一种有效的数学解题方法，不仅能够帮助学生更好地理解所学知识，还能培养学生的解题思维.本部分探究数形结合背景下高中数学解题思维培养的路径：

（一）建立知识体系，奠定解题基础

拥有扎实的数学理论基础，能使学生在解决问题时条理清晰.因此，在运用数形结合方法培养解题思维，提升解题能力之前，教师应当确保学生建立自身知识体系.

首先，高中数学中的概念、定理等知识较为抽象，学生要深刻理解，必须探索适合自身的学习方法.在学习新知识时，面对难题，学生应该树立自信，敢于直面并克服挑战.一方面，对各类题型进行归纳总结，加强实践练习；另一方面，积极向同学和老师求教，力求深入理解，精益求精.

其次，教师针对各章节难点组织教学，促进学生掌握新知识.教师在学生学习过程中扮演引导角色，有序组织课堂教学，并根据学生特点进行个性化培养.针对不同水平的学生，教师采用多样化的教学方法，促进其数学思维的发展.在设计辅助练习时，应由浅入深，题型全面，合理控制同类题目频率，使学生能够融会贯通，举一反三.

最后，教师指导学生构建完整的知识体系.在此阶段，学生循序渐进，每完成一个章节后，绘制思维导图，以本章核心内容为“树根”，以各重点要点为“枝叶”，层层延伸，逐步构建起每个章节的知识框架.最终将所有内容串联起来，即可形成一个完整的高中数学知识体系，为解题时提取知识奠定基础.

（二）渗透数形观念，形成解题认知

新课改对师生提出了更高层次的要求，倡导突破传统形式，共同探索新的教学路径.教师单纯的知识灌输已不符合时代要求.教师在授课时，不应局限于让学生记忆公式和理论，而应结合具体题目，引导学生深入理解.教师将数学思想融入教学，揭示知识点背后的代数与几何意义，为学生提供更多实践与作图机会，使他们体验数学之美，全面认识数学知识.

数形结合作为数学思想的重要组成部分，对解决问题具有帮助.教师应当在教学过程中渗透数形结合思想方法.例如，在讲解椭圆标准公式时，教师给出概念，先阐述其几何背景.随后，教师让学生参与实践，亲身体验“数”与“形”的结合，激发其求知欲.通过自主练习，学生用细绳和笔绘制椭圆，体会数形结合的优势，并理解数与形的等价性.教师将公式与图像上的点相联系，使学生知其然更知其所以然，掌握数学知识，享受学习乐趣.教师也应持续提升自身能力，深入挖掘教材，逐步培养学生数形结合的思维习惯.

（三）提升转化能力，完成解题训练

在现实教学中，不乏一些学生，他们听讲时似乎理解迅速，但实际解题时却显得力不从心.这往往源于教师在课堂上分配给学生的练习时间有限，导致课堂成了教师的“独角戏”舞台，而学生的实践能力无从锻炼.现代教育理念倡导的是“授人以渔，而非授人以鱼”，强调的是能力培养而非知识灌输.相较于死记硬背，更注重的是学生自身能力的提升.这既需要教师在课堂上有意识地进行引导，也要求学生具备自主探索的能力，并在提升自我素养的同时，关注数与形之间的转换技巧.在培养学生数形转换能力的过程中，教师可以选取学生已学过且能体现数形结合思想的知识点作为教学主题进行深入讲解.在教学过程中，首先要阐明数学思想方法的重要性，围绕数形结合思想在实际问题中的应用展开主题，详细解释“数形结合”的概念，并设置相关问题引导学生思考.当然，单一的主题课程难以充分提升学生的数形转换能力，教师在日常教学中还需进行针对性的训练.遇到新知识时，应从浅显入手，逐步深入，同时展现其几何与代数的双重意义.

在讲解习题时，强调以形助数、以数辅形的教学策略.如此，可以在学生心中牢固树立“数与形可相互转换”的观念，促使他们在解题时自然而然地将数与形结合思考.学生将题目中的文字信息转化为图表进行分析，这一过程考验着学生的绘图能力，因此，绘图技能的训练同样重要.教师在遇到需要作图的题目时，不应轻易跳过，在黑板上进行规范作图，为学生树立良好示范.

（四）技术赋能情境，丰富解题体验

教育信息化2.0背景下，教育领域积极采用“几何图板”等多样化的技术创设教学情境.在传授新知识时，教师结合动画示范，有助于学生更好地理解和吸收知识.特别是在学习三维几何的过程中，对于某些复杂的几何问题，借助多媒体手段可以增强学生的空间思考能力，带来良好的学习体验.教师在教学过程中运用这些辅助方法，使数字和形状直观呈现，对学生运用数形结合方法解决问题大有裨益.

第一，正方体巧拆分的模型.探讨正方体的拆分问题时，其巧妙分解作为一大难点，对学生的空间思维能力提出了高要求.如果教师仅依赖口头描述，要求学生自行想象，难度较大.多媒体演示的引入，既能激发学生的学习兴趣，又能加深其印象.例如，将正方体分割为等体积的两个正四棱柱时，其截面为正方形；若分割成三个部分，截面则为长方形.高考题中出现的将一定量水倒入封闭正方体内，水体积占正方体体积一半.正方体可任意摆放，其表面形态可变为正方形、矩形、菱形、正六边形的情况，便是此类问题的具体应用.

第二，椭圆和双曲线离心率教学的几何画板应用.与现代教育方式相结合，多媒体教学展现出相较于传统教育的独特优势.在训练学生运用数形结合思维解决问题的能力时，多媒体将动画、声音和视频有机结合，能最大程度激发学生的学习热情.在讲解椭圆和双曲线离心率对形状的影响时，如果教师简单告诉学生椭圆的扁平程度与其离心率密切相关，随离心率的增大，椭圆变得更扁；或随离心率的减小，椭圆变得更圆等硬性知识，可能产生反效果.当教师引入现代化教学方法，使用“几何图板”工具，能够将枯燥内容转化为动画形式进行教学，更能激发学生的兴趣.

结 语

在当前高中数学教学中，数形结合思想作为一种重要的数学思维方式，能够通过将抽象的数学语言与直观的几何图形相结合，帮助学生更好地理解数学概念，提高解题效率.文章通过分析数形结合思想的价值，结合高中数学教学内容，提出具体的解题思维培养策略，并通过教学案例分析验证其有效性.希望通过本文的研究，为高中数学教育提供新的思路和方法，促进学生数学解题能力和数学思维的全面发展.

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