微元法求旋转体体积与侧面积的微元同一取法

摘要：本文以微分“以直代曲”的几何意义为基础，利用切线段代替曲线段的思想，给出了微元法求旋转体体积与侧面积的微分元素同一取法，阐明了两者微分元素本质上均应是圆台所对应的微分元素。本文利用定积分的基本计算公式验证了取圆台微分元素的正确性，利用初等几何知识的结论说明了微元法求旋转体侧面积不能取圆柱面为微分元素的错误原因。

关键词：旋转体；微元法；微分

中图分类号：O13文献标识码：A

AUnifiedMethodforSelectingMicro-elementsinCalculationsoftheVolume

andLateralAreaofaRotatingBodyUsingtheDifferentialElementMethod

ZhangJiehuaHanMinghua

Schoolofscience，KailiUniversityGuizhouKaili556011

Abstract：Thisarticleisbasedonthegeometricmeaningof"replacingcurveswithstraightlines"indifferentiation，andusestheideaoftangentlinesegmentsinsteadofcurvedlinesegmentstoprovideaunifiedmethodfordeterminingthedifferentialelementsofthevolumeandlateralareaofarotatingbodyusingthedifferentialelementmethod.Itisclarifiedthatbothdifferentialelementsshouldessentiallybethecorrespondingdifferentialelementsofacirculartruncatedcone.Thisarticleusesthebasiccalculationformulaofdefiniteintegraltoverifythecorrectnessoftakingthedifferentialelementofacirculartruncatedcon，andusestheconclusionofelementarygeometricknowledgetoexplaintheerrorreasonwhythedifferentialelementmethodcannottakethecylindricalsurfaceasthedifferentialelementwhencalculatingthelateralareaofarotatingbody.

Keywords：rotatingbody；differentialelementmethod；differentiation

众所周知，利用微元法求由一连续曲线绕轴旋转一周所得到的曲面的面积时，需将狭带的微量面积近似表示为一圆台的侧面积；而用微元法求由其旋转体的体积时，需将狭带的微量体积近似表示为一圆柱的体积。简言之，微元法求旋转体侧面积时微量元素近似为圆台面，微元法求旋转体体积时微量元素近似为圆柱体。现有的文献［1］—［5］及其被引用的参考文献均阐述了以上结论，但未给出两种不同微分元素之间的联系。本文将基于微分的几何意义推导出两种微分元素之间的关系。在文献［6］—［8］中，利用推导近似可求量（圆台面）与圆柱面微分元素之差是否为自变量增量的高阶无穷小量，证明了微元法求旋转体侧面积不能取圆柱面为微分元素。其原因是近似可求量与微分元素之差不是自变量增量的高阶无穷小，即不满足微元法的重要先决基础条件。

本文利用切线段来近似代替曲线段的方法给出旋转体微分元素的统一取法，即无论是求旋转体的体积或是侧面积，其微分元素均为圆台所对应的微元。反之，微元法求旋转体侧面积时，若近似可求量取为圆柱面侧面积，微分元素取为圆柱面微元，虽然可推导出此时的近似可求量与微分元素之差为自变量增量的高阶无穷小量，满足微元法的所谓重要先决基础条件，从而得到旋转体侧面积的微分元素为圆柱微元。而本文结合初等几何知识的结论，得出上述的结论（微元法求旋转体侧面积时取微分元素为圆柱面微元）是不正确的，其本质原因就是微元法的近似可求量与微分元素均未选取正确。

本文为了避免出现知识点结构的死锁现象（利用欲证的结论推导所需的条件），文中假设长方形或直角梯形的面积计算表达式为已知，即长与宽的某种代数积。从而利用以直角梯形为微小增量的定积分的定义，可以得到圆的面积计算表达式。再利用初等几何知识，由圆的面积公式可以得到圆锥及圆台的侧面积计算表达式。如圆锥侧面积可表示为底面圆的半径长度、母线长度及圆周率三者之积。同时，文中假设圆台体积的计算表达式为已知，实际上，利用定积分的定义，可得出截面面积函数为已知的求立体几何体体积的定积分计算公式，从而可以得到规则正圆锥体积的计算表达式，再利用大圆锥切去顶端的小圆锥的方法，即可得到剩余部分的圆台体积的计算表达式。

1微元法

微元法思想在定积分的应用中起着重要的作用。如何正确地选取微分元素是问题的关键，因此了解微元法中微分元素的本质和理论基础对于正确选择微分元素至关重要，是准确写出积分表达式的关键。

微元法实质上是对定积分定义中的“分割、近似求和、取极限”三个步骤的简化总结与抽象归纳，其方法具有很强的实用性。微元法的本质思想是先将所求量细化为无数个微小增量，再将每个微小增量近似为一个具有规则形状的可求量。比如求曲边梯形的面积时，可以将微小增量近似为矩形或直角梯形；求旋转几何体的体积时，可以将微小增量近似为一个圆柱体或圆台体。然后对此近似可求量进行微分分解与定积分运算，则计算结果为所求量的值。简单地说，利用“微元法”处理复杂的几何问题时，需利用“化整为零，以常代变”的思想，求出微分元素对应的几何微分近似表达式，再利用“积零为整，无限累加”，求出整体的积分表达式，从而得到所求结果。

下面给出微元法的具体数学刻画。设Φ是一个与变量x的变化区间［a，b］相关的所求量，在任意的小区间［x，x+Δx］［a，b］上，设Φ的微小增量的近似可求量为ΔΦ。当变量增量Δx→0时，若近似可求量ΔΦ可表示为关于Δx的微分形式ΔΦ－φ（x）Δx=o（Δx），其中φ（x）为关于变量x的某一连续函数，则记dΦ=φ（x）Δx=φ（x）dx，并称dΦ=φ（x）dx为所求量Φ的微分元素。此时，在区间［a，b］上，对微分元素两端同时取积分，即得所求量Φ=∫baφ（x）dx。

众所周知，在采用微元法求解时，不仅要正确给出所求量Φ的近似可求量ΔΦ外，还需正确给出所求量Φ的微分元素dΦ=φ（x）Δx=φ（x）dx，也就是需确保所求量Φ的近似可求量ΔΦ与其微分元素dΦ之差是变量增量Δx（当Δx→0时）的高阶无穷小，即：

limΔx→0ΔΦ－dΦΔx=0（1）

式（1）为应用微元法解决几何、物理问题的一个重要先决条件。如果式（1）结论不成立，则说明给出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ与微分元素dΦ至少有一个是不正确的。不过，即使式（1）结论成立，给出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ与微分元素dΦ也不一定是正确的。本文中的反例将说明这一点。

2求旋转体体积与侧面积的微元取法

众所周知，微（积）分的几何意义的核心思想是“以直代曲”，即在局部可用切线段近似代替曲线段［1-3］。具体地，当自变量的增量非常小时，曲线段可用此曲线段上某点处的切线段来近似代替此段曲线。现有的微元法均是利用连接曲线段两端点的直线段来近似代替微量曲线段［4-8］。本文则不同于现有的研究方法，是以微分“以直代曲”的思想为依据，利用切线段来近似代替曲线段的方法给出旋转体的微分元素取法，无论是求旋转体的体积或是侧面积，其微元均可统一取为圆台所对应的微分元素。

设平面光滑曲线C的方程为y=f（x），x∈［a，b］。不妨设f（x）0且递增下凸（其余情况可类似处理），如下图所示。此曲线段绕x轴旋转一周可得到一个曲面旋转体。在点x0的小区间［x0，x0+Δx］［a，b］上，过x0所对应曲线上的点P作切线段PQ′。根据微分的几何意义，曲线段PQ可用切线段PQ′近似代替。易知，切线段的长度为：

PQ′=（Δx）2+（dy）2=（Δx）2+（f′（x0）Δx）2

因此，可将所求旋转体的微小增量近似为一个圆台。即，若求旋转体的体积时，所求体积的微小增量可近似为一个可求量的圆台体积；若求旋转体的侧面积时，所求面积的微小增量可近似为一个可求量的圆台侧面积。

微分元素示意图

下面分别给出旋转体的体积与侧面积的微分元素，先考虑体积的微分元素。由初等几何中的圆台体积公式可知，旋转体体积微小增量的近似圆台体积为：

ΔV=13π［f2（x）+（f（x）+f′（x）Δx）2+f（x）（f（x）+f′（x）Δx）］Δx

记Δy=f（x+Δx）－f（x）。

由于曲线光滑，所以有limΔx→0Δy=0，即limΔx→0f（x+Δx）=f（x）。因此，limΔx→0ΔVΔx=limΔx→013π［f2（x）+（f（x）+f′（x）Δx）2+f（x）（f（x）+f′（x）Δx）］=πf2（x）。

由于πf2（x）为关于变量x的连续函数，从而取圆台体积微分元素为dV=πf2（x）dx，即原函数为φ（x）=πf2（x）。不难验证所求量V的近似可求量ΔV与微分元素dV满足条件式（1）。从而由微元法可知，旋转体体积为：

V=∫baπf2（x）dx（2）

显然，圆台体积微分元素与圆柱体积微分元素是相同的。这正是在求旋转体体积时可以把所求量Φ的微小增量近似为可求量ΔΦ的圆柱体积的本质原因。事实上，由于旋转体的截面面积函数为A（x）=πf（x）2，x∈［a，b］，从而由定积分的定义［1-3］可推出此旋转体的体积计算公式即为式（2）。从而验证了微元法求旋转体体积时，其体积微元可取圆台所对应的微分元素dV=πf2（x）dx。

接下来考虑侧面积的微分元素。由初等几何中的圆台侧面积公式可知，旋转体侧面积微小增量的近似圆台侧面积为：

ΔS=π［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］（Δx）2+（f′（x）Δx）2

由于曲线光滑，因此有：

limΔx→0ΔSΔx=limΔx→0π［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］1+（f′（x））2

=2πf（x）1+f′2（x）

由于2πf（x）1+f′2（x）为关于变量x的连续函数，从而可取圆台侧面积的微分元素为dS=2πf（x）1+f′2（x）dx，即原函数为φ（x）=2πf（x）1+f′2（x）。不难验证所求量S的近似可求量ΔS与微分元素dS满足条件式（1）。从而由微元法可知，旋转体侧面积为：

S=∫ba2πf（x）1+f′2（x）dx（3）

下面利用重积分的知识来验证式（3）的正确性。首先，由解析几何的知识可知，曲线y=f（x）绕x轴旋转一周得到的旋转体侧面的曲面方程为：y2+z2=f2（x），x∈［a，b］，即z=±f2（x）－y2，（x，y）∈D，此处D={（x，y）|y=±f（x），x∈［a，b］}为旋转体在平面xOy上的投影。利用重积分计算曲面的面积计算公式［1-3］，可知此旋转体侧面积为：

S=2D1+z2x（x，y）+z2y（x，y）dxdy

=2∫ba∫f（x）－f（x）1+f2（x）f′2（x）+y2f2（x）－y2dxdy

=2∫badx∫f（x）－f（x）f（x）1+f′2（x）f2（x）－y2dy

=2∫baf（x）1+f′2（x）arcsinf（x）yy=f（x）y=－f（x）dx

=2π∫baf（x）1+f′2（x）dx。

显然上式即为（3）式。从而验证了微元法求旋转体侧面积时，其面积微元应取圆台所对应的微分元素：

dS=2πf（x）1+f′2（x）dx

本文中的“以直代曲”是用切线段近似曲线段，是以微分的几何意义为理论依据，而并非常规经验下的利用连接曲线段两端点所得到的直线段来近似曲线段的方法。利用本文的思想与技巧，同样可以得到曲边梯形的面积微元。事实上，曲边梯形面积微小增量的近似可求量的切线直角梯形面积为：ΔS=12［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］Δx。由于曲线光滑，则有：

limΔx→0ΔSΔx=limΔx→012［f（x）+（f（x）+f′（x）Δx）］=f（x）

由于f（x）为关于变量x的连续函数，取曲边梯形的面积微分元素：dS=f（x）dx，不难验证所求量S的近似可求量ΔS与微分元素dS满足条件式（1）。显然，此切线梯形的面积微分元素实际上就是矩形的面积微元。因此，若已知直角梯形面积公式，利用微元法，即可得出圆的面积计算表达式。从而可知，在长方形或直角梯形的面积计算公式与圆台的体积计算公式为已知的条件下，利用初等几何知识与微元法，即可求出旋转体的体积与侧面积，同时又不会出现知识点结构的死锁现象。

3求旋转体侧面积的微元错误取法

本节考虑当求旋转体侧面积时，将旋转体侧面积的微小增量近似为圆柱体的侧面积，对应的微分元素取为圆柱面微元，利用初等几何知识验证上述微元法求旋转体侧面积是错误的。

利用初等几何知识中的圆柱侧面积计算公式可知，旋转体侧面积微小增量的近似圆柱侧面积为：

ΔS～=2πf（x）Δx

此时有limΔx→0ΔS～Δx=2πf（x），并取旋转体侧面积微分元素为dS～=2πf（x）dx，即原函数为φ（x）=2πf（x）。不难验证所求量S～的近似可求量ΔS～与微分元素dS～满足条件式（1）。从而由微元法可知，此时的旋转体侧面积为：

S～=2π∫baf（x）dx（4）

下面利用初等几何知识来验证式（4）的正确性。特别地，取平面直线y=kx，k＞0，x∈［a，b］，此直段绕x轴旋转一周得到一个圆台旋转体。由式（4）可知此旋转体侧面积为S～=kπ（b2－a2）。而利用初等几何知识中的圆台侧面积计算公式可知，此旋转体侧面积为：

S0=πkb1+k2b－πka1+k2a=πk1+k2（b2－a2）

显然S～≠S0，从而可知式（4）错误。此例告诉我们，给出的所求量Φ的近似可求量ΔΦ与微分元素dΦ即使满足式（1），其微元法的微分元素的选取也不一定是正确的。这是因为近似可求量ΔΦ与微分元素dΦ的选取均是错误的。实际上，对比式（3）与式（4）不难发现，当且仅当f′（x）=0时，即连续函数f（x）恒为常数时，才有S0=S～成立。从而可知，式（4）只是式（3）的一种特殊情形。一般地，平面光滑曲线C：y=f（x）并非恒为平行于x轴的直线，因此旋转体的侧面积微小增量应该近似为圆台侧面积，且微分元素应为圆台微元dS=πf（x）1+f′2（x）dx，而不是圆柱侧面积与相应的圆柱微元，否则将会出现上述的错误结果。

结语

由上可知，在求旋转体的体积与侧面积时，它们的微分元素原本都应取为圆台微元。只不过，由于微分元素取法的先决条件中的极限运算，使得圆台体积微元等价于圆柱体积微元。但圆台侧面积微元一般情况下不等于圆柱侧面积微元。实际上，圆柱侧面积微元只是圆台侧面积微元的一种特殊情况。总之，用微元法求旋转体的体积时，所求量的微小增量与微分元素应为圆台体积及其对应的微元；用微元法求旋转体的侧面积时，所求量的微小增量与微分元素应为圆台侧面积及其对应的微元。

参考文献：

［1］同济大学数学系.高等数学（上）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2012.

［2］华东师大数学科学学院.数学分析（上）［M］.5版.北京：高等教育出版社，2021.

［3］章联生，任正民.积分应用中元素法的一个注记［J］.高等数学研究，2022，25（06）：9-11.

［4］李兴东，张睿.关于微元法及其原理的探讨［J］.高等数学研究，2021，24（01）：80-83.

［5］张鹏飞，李振之，樊东坡，等.关于旋转体侧面积的研究［J］.高等数学研究，2013，16（03）：53-55.

［6］王荣乾，余小飞.正确使用微元法解决旋转体的侧面积问题［J］.数学学习与研究（教研版），2009（02）：105.

［7］张锐，詹紫浪.浅析定积分微元法中微元的选取［J］.甘肃高师学报，2022，27（02）：4-6

［8］许新忠，李勇.用微元法求旋转体侧面积的一个注记［J］.高等数学研究，2005（06）：11+15+24.

作者简介：张杰华（1981—），男，湖南怀化人，研究生，研究方向：计算数学及数学教育。