侧重教材热点 洞察高考本质

集合间的基本关系是高中数学的重点内容，也是每年高考的必考内容，高考常以选择题的形式进行考查。下面就这部分常见的解题技巧与方法进行剖析。

一、判断两个集合的包含关系

两个集合之间的包含关系是指集合A中的所有元素都在集合B 中，也就是说“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”，这种关系类似于代数中的“小于或等于”。

例1 （1）已知集合M ={x|x=1+a2，a∈N* }，P={x|x=a2-4a+5，a∈N* }，则M 与P 的关系为（ ）。

A.M =P B.M ⊆P

C.P⊆M D.M ⫋P

（2）已知集合P ={x|x=m2 +1，m ∈N* }，Q={y|y=n2-6n+10，n∈N* }，则集合P 与Q 的关系为（ ）。

A.P=Q B.P⫋Q

C.Q⫋P D.P⊆Q 且Q⊆P

解：（1）①对于任意的x∈M ，则x=1+a2=（a+2）2-4（a+2）+5。因为a∈N* ，所以a+2∈N* ，所以x ∈P。由子集定义知M ⊆P。②当1∈P 时，由a2-4a+5=1，可得a=2，而1+a2=1在a∈N* 上无解，所以1∉M 。由①②可得，M ⫋P。应选D。

（2）由题意可知集合P = {2，5，10，17，26，37，50，65，82，101，122，145，…}，Q ={1，2，5，10，17，26，37，50，65，82，101，122，145，…}，所以∀x∈P，都有x∈Q。而1∈Q，1∉P，所以P⫋Q。应选B。

评注：集合之间的包含关系是根据集合中元素的关系来判断的。

二、确定集合的子集与真子集

子集和真子集是集合中两个非常重要的概念，子集强调包含关系，而真子集相对于子集来说，强调包含关系和不相等关系，真子集是子集的一种特殊情况。

例2 （1）满足条件{1，2}⊆M ⫋{1，2，3，4，5，6，7}的所有集合M 的个数是____。

（2）已知集合M ={x∈N|2x-3<2}，则集合M 的非空子集的个数是____。

解：（1）由集合M 满足条件{1，2}⊆M ⫋{1，2，3，4，5，6，7}，可得集合M 至少含元素1，2，将1，2看成一个整体用a 来表示，则上述集合关系即为{a}⊆M ⫋{a，3，4，5，6，7}，则此时集合M 为集合{3，4，5，6，7}的真子集。所求问题可转化为求集合{3，4，5，6，7}的真子集的个数。因为25-1=31，所以满足题意的集合M 的个数是31。

（2）因为集合M ={x∈N|2x-3＜2}={x∈N x＜5/2} ={0，1，2}，即集合M 中有3个元素，所以集合M 的非空子集的个数是23-1=7。

评注：子集实际上比真子集的范围要大一些，子集中允许包含全集这种情况，而真子集不包含全集这种情况，要注意两者之间的内在联系。

三、利用集合相等求参数

利用集合相等求参数时，要理解题设中两个集合不同的语言表达方式，要注意两个集合元素的有关性质，关键是集合相等的性质的灵活应用。

例3 （1）已知集合A ={1，a，b}，B ={-1，a2，b2}，若A=B，则a·b=（ ）。

A.1 B.0

C.-1 D.无法确定

（2）已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}，若A=B，则c 的值为。