集合与常用逻辑用语常见典型考题赏析

2024-09-26 00:00欧阳亮张文伟
中学生数理化·高一版 2024年9期

题型1:判断元素与集合的关系

判断元素与集合关系的两种常用方法:直接法,如果集合中的元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可;推理法,对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可。

例1 下列四个关系中正确的个数是( )。

①1/2∈Q;② 根号2∉R;③0∈N* ;④π∈Z。

A.1 B.2 C.3 D.4

解:①1/2∈Q,正确。② 根号2∉R,不正确。③0∈N* ,不正确。④π∈Z,不正确。应选A。

跟踪训练1:设集合A ={2,3,5},B ={2,3,6},若x ∈A,且x ∉B,则x 的值为____。

提示:因为x∈{2,3,5},所以x =2 或x=3或x=5。因为x∉{2,3,6},所以x≠2且x≠3且x≠6。故x=5。

题型2:利用集合中元素的互异性求参数

集合问题的核心是研究集合中的元素,在解决集合问题时,要明确集合中的元素是什么。构成集合的元素必须是确定的(确定性),且是互不相同的(互异性),集合中的元素排列没有先后顺序(无序性)。利用集合元素的互异性求参数问题时,先利用确定性求出参数所有的可能值,再利用互异性对集合中的元素进行检验,同时注意分类讨论思想的应用。

例2 设集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,则a=____。

解:若1-a=4,则a= -3,所以a2 -a+2=14,这时A ={2,4,14}。若a2-a+2=4,则a=2或a=-1,当a=2时,由1-a=-1,可得a=2,这时A ={2,-1,4};当a=-1时,由1-a=2,可得a=-1(舍去)。综上得a=2或a=-3。

跟踪训练2:已知A 是由0,m ,m2 -3m +2这三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m 的值为____。

提示:因为2∈A,所以m =2 或m2 -3m +2=2。当m =2时,可得m2-3m +2=4-6+2=0,这时不符合题意,舍去;当m2-3m+2=2时,可得m =0或m =3,其中m =0不符合题意,舍去。综上可知,m =3。

题型3:集合中的新定义问题

对于这类问题,可根据题中所给集合的新定义,结合集合的相关知识,进行转化求解。

例3 设集合P ={3,4,5},Q ={6,7},定义P⊗Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P ⊗Q 中元素的个数为( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

解:由题意知P ⊗Q = {(a,b)|a∈P,b∈Q}={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)},所以P⊗Q 中共有6个元素。应选D。

跟踪训练3:设集合A ={-2,1},B ={-1,2},定义集合A ⊗B = {x|x =x1x2,x1∈A,x2∈B},则A ⊗B 中所有元素之积为____。

提示:已知集合A ={-2,1},B={-1,2},因为定义集合A ⊗B =XaagMoCh9epgQ/rjFbrHuw== {x|x =x1x2,x1∈A,x2∈B},所以A⊗B={2,-4,-1},所以A⊗B 中所有元素之积为2×(-4)×(-1)=8。

题型4:子集与真子集的概念

集合A 中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A 能推出x∈B,这是判断A⊆B 的常用方法。不能简单地把“A ⊆B”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”,若A=⌀,则A 中不含任何元素;若A =B,则A 中含有B 中的所有元素。对于A ⫋B,首先要满足A ⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A。

例4 已知集合A = {x|-1<x <3,x∈N},则A 的子集的个数为( )。

A.3 B.4

C.8 D.16

解:因为A ={x|-1<x<3,x∈N}={0,1,2},所以A 的子集的个数为23=8。应选C。

跟踪训练4:已知集合A ={x|x2 <3,x∈N},则A 的真子集的个数为____。

提示:因为A ={x|x2<3,x∈N}={0,1},所以A 有22-1个真子集,即A 的真子集的个数为3。

题型5:集合的相等与空集

解答这类问题的关键是理解集合相等的定义和空集的含义。

例5 下列集合与集合A={2022,1}相等的是( )。

A.(1,2022)

B.{(x,y)|x=2022,y=1}

C.{x|x2-2023x+2022=0}

D.{(2022,1)}

解:对于A,(1,2022)≠{2022,1},A 错误。对于B,{(x,y)|x =2022,y =1}≠{2022,1},B错误。对于C,{x|x2-2023x+2022=0}={2022,1},C 正确。对于D,{(2022,1)}≠{2022,1},D错误。应选C。

跟踪训练5:下列四个集合中,是空集的是( )。

A.{0}

B.{x|x>8,且x<5}

C.{x∈N|x2-1=0}

D.{x|x>4}

提示:空集是不含任何元素的集合,选项B是空集。应选B。

题型6:集合间关系的判断

判断集合间关系的三种方法:列举法,将两个集合表示出来,通过比较两个集合中的元素来判断两集合之间的关系;元素特征法,根据集合中元素满足的性质特征之间的关系,判断集合之间的关系;图示法,利用数轴或Venn图判断两集合之间的关系。

例6 已知集合M ={x|x=kπ/4+π/2,k∈Z}, 集合N ={x| x=kπ/2 +π/4,k∈Z},则( )。

A.N ⊆M B.M ⊆N

C.M =N D.M ∩N =⌀

解:集合M ={x| x=kπ/4 +π/2,k∈Z}={x| x=(k+2)π/4 ,k∈Z},集合 N ={x|x=(2k+1)π/4 ,k∈Z},当k∈Z 时,2k+1 是奇数,k+2是整数,所以N ⊆M 。应选A。

跟踪训练6:下面五个式子:①a⊆{a},②⌀ ⊆ {a},③ {a}∈ {a,b},④ {a}⊆ {a},⑤a∈{b,c,a},其中正确的序号是____。

提示:a 是集合{a}中的元素,应表示为a∈{a},①错误。⌀是不含任何元素的集合且是任意集合的子集,所以⌀⊆{a},②正确。“∈”用于元素与集合的关系,③错误。任意非空集合是其本身的子集,所以{a}⊆{a},④正确。a 是集合{b,c,a}中的元素,⑤ 正确。答案为②④⑤。

题型7:利用集合间的关系求参数

当集合为连续数集时,可借助数轴建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点;当集合为不连续数集时,可根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的应用。

例7 已知集合A = {-2,3,1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m 的取值集合为( )。

A.{1} B.{3}

C.{1,-1} D.{3,- 3}

解:已知A={-2,3,1},B={3,m2},若B⊆A,则m2 =1 或m2 = -2(舍去),所以m =1或m = -1,故实数m 的取值集合为{1,-1}。应选C。

跟踪训练7:设集合A = {x|0<x <2019},B ={x|x<a},若A ⊆B,则实数a的取值范围是____。

提示:已知集合A ={x|0<x<2019},B={x|x<a},因为A ⊆B,所以a≥2019。故a∈[2019,+∞)。

题型8:集合的运算

集合运算应关注三点:集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提;有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决;注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。

例8 (多选题)设集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},则满足A∩B=⌀的实数a 的取值范围是( )。

A.{a|0≤a≤6}

B.{a|a≤2或a≥4}

C.{a|a≤0}

D.{a|a≥8}

解:因为A ={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},满足A ∩B =⌀,所以a-1≥5或a+1≤1,解得a≥6或a≤0,所以实数a 的取值范围是{a|a≤0}或{a|a≥6}。应选CD。

跟踪训练8:(多选题)设全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={0,1,4},B ={0,1,3},则( )。

A.A∩B={0,1}

B.∁UB={4}

C.A∪B={0,1,3,4}

D.集合A 的真子集个数为8

提示:因为集合A ={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B ={0,1},A 正确。∁UB ={2,4},B错误。A∪B={0,1,3,4},C 正确。集合A 的真子集个数为23-1=7,D 错误。应选AC。

题型9:充分条件、必要条件及充要条件的判断

先分清条件和结论,然后判断p⇒q、q⇒p 和p⇔q 是否成立,最后得出结论。若p⇒q,则称p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p⇔q,则p 是q 的充要条件;若p⇒q,且q/⇒ p,则称p 是q 的充分不必要条件;若p/⇒ q,且q⇒p,则称p 是q 的必要不充分条件;若p/⇒ q,且q/⇒ p,则称p 是q 的既不充分也不必要条件。

例9 已知p:0<x<2,那么p 的一个充分不必要条件是( )。

A.1<x<3 B.-1<x<1

C.0<x<1 D.1<x<3

解:因为(0,1)⫋(0,2),所以p 的一个充分不必要条件是0<x<1。应选C。

跟踪训练9:已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是( )。

A.a+b≠0 B.a2+b2 ≠0

C.a3+b3 ≠0 D.1/ a+1/b≠0

提示:对于A,令a=1,b=-1,推不出a+b≠0,A 错误。对于B,由“ab≠0”,可得a≠0且b≠0,则a2 +b2 ≠0,反之,由a2 +b2 ≠0,推不出ab ≠0,如a=1,b=0,所以a2+b2 ≠0是ab≠0的必要不充分条件,B正确。对于C,令a=1,b= -1,推不出a3 +b3 ≠0,C错误。对于D,令a=1,b=-1,推不出1 /a+1/b≠0,D错误。应选B。

题型10:由充分条件、必要条件求参数的取值范围

根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将p,q 等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为两个集合之间的包含关系,最后建立关于参数的不等式(组)求解。

例10 若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是____。

解:因为“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要条件,所以{a≤1,a+4≥4,可得0≤a≤1,即实数a∈[0,1]。

跟踪训练10:已知条件p:-1<x<1,q:x>m ,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是( )。

A.[-1,+∞) B.(-∞,-1)

C.(-1,0) D.(-∞,-1]

提示:已知p:-1<x<1,q:x>m ,若p是q 的充分不必要条件,则{x|-1<x<1}⫋{x|x>m},所以m ≤-1。应选D。

题型11:全称量词命题与存在量词命题的真假

要判断一个全称量词命题为真命题,需要进行推理证明,或用已经学过的定义、定理进行证明,而要判断其为假命题,只需举出一个反例即可。判断存在量词命题“∃x∈M ,p(x)”的真假的关键是探究集合M 中x 的存在性,若找到一个元素x∈M ,使p(x)成立,则该命题是真命题;若不存在x∈M ,使p(x)成立,则该命题是假命题。

例11 下列结论中正确的是( )。

A.∀n∈N* ,2n2+5n+2能被2整除是真命题

B.∀n∈N* ,2n2+5n+2不能被2整除是真命题

C.∃n∈N* ,2n2+5n+2不能被2整除是真命题

D.∃n∈N* ,2n2+5n+2能被2整除是假命题

解:当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,当n=2 时,2n2 +5n +2 能被2 整除,ABD错误,C正确。应选C。

跟踪训练11:下列四个命题中的真命题为( )。

A.∃x0∈Z,1<4x0<3

B.∃x0∈Z,4x0+1=0

C.∀x∈R,x2-1=0

D.∀x∈R,x2-2x+2≥0

提示:由1<4x0<3,可得1/4<x0 <3/4,所以x0 ∉Z,A 错误。由4x0 +1=0,可得x0=-1/4,所以x0∉Z,B 错误。由x2-1=0,可得x=±1,C 错误。x2-2x+2=(x-1)2+1≥0恒成立,D正确。应选D。

题型12:根据命题的真假求参数

全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质,也可根据函数知识来解决。存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述。解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设。

例12 (1)若命题p:∃x0>0,x0+a-1=0为假命题,则实数a 的取值范围是____。

(2)已知命题p:∀a∈R,一元二次方程x2-ax+1=0有实根。若p 是真命题,则实数a 的取值范围是____。

解:(1)因为p 为假命题,所以﹁p 为真命题,即∀x>0,x+a-1≠0。由x ≠1-a在x>0上恒成立,可得1-a≤0,则a≥1。故实数a 的取值范围是[1,+∞)。

(2)命题p:∀a∈R,一元二次方程x2-ax+1=0有实根,若p 是真命题,则命题p 是假命题,所以一元二次方程x2 -ax +1=0没有实根,即Δ=a2-4<0,解得-2<a<2,所以实数a 的取值范围是(-2,2)。

跟踪训练12:(1)若“∃x ∈ [-1,m ](m >-1),|x|-1>0”是假命题,则实数m的取值范围是( )。

A.(-1,1) B.(-1,1]

C.[1,+∞) D.[0,1]

(2)若命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+1≤0”的否定是真命题,则实数a 的取值范围是____。

提示:(1)因为“∃x ∈ [-1,m ](m >-1),|x|-1>0”是假命题,所以“∀x ∈[-1,m ](m >-1),|x|-1≤0”是真命题。由|x|-1≤0得-1≤x≤1,所以-1<m ≤1。应选B。

(2)命题“∃x0∈R,x20+(a-1)x0+1≤0”的否定是真命题,所以“∀x∈R,x2+(a-1)x+1>0”是真命题,所以Δ =(a-1)2 -4<0,解得-1<a<3,则实数a 的取值范围是(-1,3)。

作者单位:1.河南大学附属中学

2.河南省开封高中

(责任编辑 郭正华)