集合中的新定义问题题型聚焦

集合中的新定义问题通常将“问题”作为探究的核心，通过“发现”的过程深化理解，并以“探究”活动促进知识的掌握。这类问题以集合的基本概念为依托，主要考查同学们对问题的分析与处理能力，考查内容主要是对新概念、新法则和新运算的理解与应用。

聚焦1：集合中的“新定义”，抓住代表元素的属性进行推理与判断

例1 （1）设P，Q 是两个非空集合，定义P×Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，若P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，则P ×Q 中元素的个数是____。

（2）对于集合M ，N ，定义M -N ={x|x∈M 且x∉N }，M ⊕N =（M -N ）∪（N -M ），设集合A ={x| x>-9/4，x∈R}，B ={x|x≤0，x∈R}，则A⊕B=（ ）。

A.{x| -94≤x<0，x∈R}

B.{x| -94≤x≤0，x∈R}

C.{x |x<-94或x≥0，x∈R}

D.{x| x≤-94或x>0，x∈R}

解：（1）因为定义P ×Q ={（a，b）|a∈P，b∈Q}，且P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，所以P×Q ={（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（4，4），（4，5），（4，6），（4，7），（5，4），（5，5），（5，6），（5，7）}，所以P ×Q 中元素的个数是12。

（2）对于集合M ，N ，定义M -N ={x|x∈M 且x∉N }，M ⊕N =（M -N ）∪（N -M ），由集合A ={x|x>-9/4，x∈R}，B ={x|x≤0，x∈R}，可得A-B={x|x>0}，B-A={x| x≤-9/4}。所以A ⊕B ={x|x>0}∪{x |x≤-9/4}={x| x≤-9/4或x>0，x∈R}。应选D。

反思：在处理与集合有关的新定义问题时，要注意集合中元素的确定性与互异性的应用。解题时，要深刻理解集合新定义所揭示的问题本质，并将其恰当地运用到解题实践中，这是解决新定义集合问题的核心策略。

聚焦2：集合中的“新运算”，依据运算法则进行推理或赋值

例2 （1）定义集合M ，N 的新运算如下：M ☉N ={x|x∈M 或x∈N ，且x∉M ∩N }，若集合M ={0，2，4，6，8，10}，N ={0，3，6，9，12，15}，则（M ☉N ）☉M 等于（ ）。

A.M

B.N

C.{2，3，4，8，9，10，15}

D.{0，6，12}

（2）定义集合的商集运算为A/B ={x| x=m/n ，m∈A，n∈B}，已知集合A={2，4，6}，B={x |x=k/2-1，k∈A}，则集合B/A ∪B 中的元素的个数为（ ）。

A.6 B.7

C.8 D.9

解：（1）由M ☉N ={x|x∈M 或x∈N ，且x∉M ∩N }，M ={0，2，4，6，8，10}，N ={0，3，6，9，12，15}，M ∩N = {0，6}，可得M ☉N ={2，3，4，8，9，10，12，15}，（M ☉N ）∩M ={2，4，8，10}，所以（M ☉N ）☉M ={0，3，6，9，12，15}。应选B。

（2）依据给定的集合新运算，先求集合B，再求B/A ，最后利用集合的并集运算求解。已知集合A = {2，4，6}，因为集合B ={x |x=k/2-1，k∈A}，所以B={0，1，2}，所以B/A ={0，1/2，1/4，1/6，1，1/3}，所以B/A ∪B ={0，1/2，1/4，1/6，1，1/3，2}，所以集合B/A ∪B 中共有7个元素。应选B。

反思：涉及集合的新运算问题，要遵循特定的数学运算规则，通过分析其代表元素的特性进行逻辑推理和数学运算，以实现问题的解决。

聚焦3：集合的新性质问题，利用集合的属性进行推理与判断

例3 （1）（多选题）在整数集Z 中，被6除余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={6n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，5。则下列结论中正确的是（ ）。

A.2024∈[2]

B.-1∈[3]

C.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]

D.整数a，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”

（2）（多选题）给定数集M ，若对于任意a，b∈M ，有a+b∈M ，且a-b∈M ，则称集合M 为闭集合，下列说法中不正确的是（ ）

A.集合M ={-2，-1，0，1，2}为闭集合

B.整数集是闭集合

C.集合M ={n|n=2k，k∈Z}为闭集合

D.若集合A1，A2 为闭集合，则A1∪A2为闭集合

解：（1）2024÷6=337余2，A 正确。因为-1=-1×6+5，所以-1∈[5]，B 错误。任意整数被6 除必余0，1，2，3，4，5 其中之一，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]，C正确。若整数a，b 属于同一“类”，则a=6n+k，b=6m +k，所以a -b=6n -6m =6（n-m），故a-b∈[0]，反之也成立，D正确。应选ACD。

（2）对于A，-2，-1∈M ，但（-2）+（-1）=-3∉M ，即集合M ={-2，-1，0，1，2}不是闭集合，A 错误。对于B，因为整数加上整数或减去整数，所得结果仍是整数，所以整数集是闭集合，B 正确。对于C，任取n1，n2∈M ，则n1 =2k1，n2 =2k2，k1，k2 ∈Z，则（k1+k2）∈Z，（k1-k2）∈Z，（k2-k1）∈Z，所以n1+n2=2（k1+k2）∈M ，n1-n2=2（k1-k2）∈M ，n2-n1=2（k2-k1）∈M ，所以集合M ={n|n=2k，k∈Z}为闭集合，C 正确。对于D，由选项C得A1={n|n=2k，k∈Z}为闭集合，同理A2={n|n=3k，k∈Z}为闭集合，所以A1∪A2={n|n=3k 或n=2k，k∈Z}，则2，3∈A1∪A2，但2+3=5∉A1∪A2，所以A1 ∪A2 不是闭集合，D 错误。应选AD。

反思：解决集合中的新性质问题，关键是利用这些性质及相关的数学知识进行逻辑推理和验证。

聚焦4：集合新定义中用类似反证法进行逻辑推理

例4 已知两个正整数集合A={a1，a2，a3，a4}，B ={a21，a22，a23，a24}，其中a1

解：依据元素的大小关系和交集及并集的意义，类似反证法推理确定集合A，B。由题意得1≤a1

由A ∩B ={a1，a4}，只可能得a1=a21，解得a1=1。由a1+a4=10，可得a4=9。

若a22=9，则a2=3，这时（1+3+a3+9）+（a23+81）=124，解得a3=5或a3=-6（舍去），所以A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}。若a23=9，则a3=3，此时只能有a2=2，则A∪B 中所有元素之和为1+2+3+9+4+81≠124，不符合题意。

综上可得，集合A ={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}。

反思：在处理集合的新定义问题时，关键是认真阅读题目，准确捕捉有效信息。要透过新概念的表象，把未知转化为已知，通过合理假设和类似于反证法的逻辑推理进行分析与判断。

作者单位：东莞市长安中学

（责任编辑 郭正华）