巧用定比点差法解答圆锥曲线问题

点差法是解答圆锥曲线中点弦问题的常用方法.这一方法只能用来解答与中点弦相关的问题，对于一般的定比分点问题却无能为力，这就需要用到定比点差法.运用定比点差法解答圆锥曲线问题，需先在圆锥曲线上分别取两点 A、B ；然后将这两点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式相减，得到直线 AB 的斜率与 AB 中点的关系式；最后用定比分点公式解题.

当遇到共线的两组成比例线段时，如三点共线、相交弦、定点、定值、线段成比例等问题，使用定比点差法求解，能够有效地简化计算过程.

首先设出圆锥曲线上的两个点 A、B 的坐标，并将其代入椭圆的方程中，得到两个方程；再将其中一个方程的两边同时乘 λ 2 ，并将两式相减；最后再用定比分点公式求解.

可见，由上述两例运用定比点差法解答共线的两组成比例线段的圆锥曲线问题，非常便捷，且运算量较小.然而，定比点差法也有其局限性，例如，它无法应用于有关抛物线的问题，并且在求直线的斜率、弦长与面积时可能会使计算变得更加复杂.尽管如此，运用定比点差法求点的坐标，通常是比较简便的.

（作者单位：四川省内江市第六中学）