例析三类落点有约束的平抛运动问题

【摘要】平抛运动问题是运动类问题中的一类典型问题，近几年对于平抛运动问题的考查形式也越来越多样化，这就需要学生不仅掌握平抛运动的基本规律，还要能够具体问题具体分析.其中落点有约束的平抛运动问题是难度较大的一类题型，本文结合例题谈三类问题，归纳总结技巧，以供读者参考.

【关键词】平抛运动；高中物理；解题技巧

类型1 落点在斜面上的平抛运动

例1 如图1所示，跳台上的运动员以一定的初速度从点O水平飞出，3s后落到斜坡上的A点.已知斜坡与水平面的夹角为θ=37°，运动员的质量为m=50kg，不计空气阻力（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）.求：

（1）点A与点O之间的距离L；

（2）运动员离开点O时的速度大小；

（3）运动员从点O飞出到离斜面距离最远所用的时间.

图1

解 （1）运动员下降的高度h=12gt2=45m，

因为斜坡和水平面的夹角为θ=37°，

所以AO=hsin37°=75m.

（2）水平位移：x=Lcos37°=60m.

因为是平抛运动，所以水平方向的速度不变，

则运动员离开点O的速度大小为v0=xt=20m/s.

（3）当运动员从点O飞出到离斜面距离最远时，速度的方向与斜面平行.

vy=gt，vx=v0=20m/s，

tanθ=vyvx=sinθcosθ=34，则vy=15m/s.

所以t=1.5s.

评析 对于落在斜面上的平抛运动问题，抓住水平方向上和竖直方向上的运动距离与斜面的倾角之间的关系就能够解决问题.此外，还要了解一些最值存在的情况，利用相关的几何条件来列出方程.

类型2 落点在竖直面上的平抛运动

例2 如图2所示，从A点处沿AO方向以不同的初速度水平发射三个飞镖a，b，c，最后分别停留在图2中相应的位置.已知Oa=ab=bc，则关于a，b，c下列选项正确的是（不计空气阻力）（ ）

图2

（A）初速度之比为3∶2∶1.

（B）初速度之比为1∶2∶3.

（C）整个过程中速度的变化量之比是1∶2∶3.

（D）整个过程中速度的变化量之比是6∶3∶2.

解 因为Oa=ab=bc，

则Oa∶Ob∶Oc=1∶2∶3.

由h=12gt2，

可知ta∶tb∶tc=1∶2∶3，

由x=v0t，

可得va∶vb∶vc=1∶12∶13=6∶3∶2.

所以选项（A）（B）错误；

因为飞镖做平抛运动，所以水平方向上的速度不变，只有竖直方向上的速度有变化.

则Δv=gt，可知a，b，c过程中速度的变化量之比是1∶2∶3，

所以（C）正确，（D）错误.

评析 对于落在竖直面上的平抛运动问题，则要抓住平抛运动水平方向速度不变的特点，这样就可以知道飞镖到达不同落点所需的时间是相同的，则只需要考虑竖直方向上的运动情况，结合自由落体公式即可解得答案.

类型3 落在圆弧面上的平抛运动

例3 如图3所示，一个质量为m的小球从点A以水平速度v0抛出，竖直光滑圆弧的半径为R，B为其左端点，B和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α，若小球恰好以点B的切线方向进入圆弧轨道，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）

图3

（A）AB连线与水平方向的夹角为α.

（B）小球从点A运动到点B的时间t=v0tanαg.

（C）当小球到达点B时，重力的瞬时功率P=mgv0cosθ.

（D）在圆弧轨道的最低点，小球处于失重状态.

解 小球恰好沿B的切线方向进入圆弧轨道，说明小球在点B时速度方向沿着圆轨道的切线方向.

将合速度正交分解，由几何关系可得tanα=gtv0，解得t=v0tanαg，

此时AB位移的连线与水平方向的夹角不等于α，所以（A）选项错误，（B）选项正确；

小球到B点时，重力的瞬时功率P=mgvy=mgv0tanα，则（C）选项错误.

在圆弧轨道的最低点，小球有向上的加速度，所以是超重状态，（D）选项错误.

评析 对于落到圆弧上的平抛运动问题，则是要抓住圆弧的切线来进行研究.切线的方向与速度的方向有着密切的关系，通过几何关系求得切线的斜率和速度在某一时刻的方向，联立方程即可解得答案.

结语

上述三种类型的问题其核心都是一样的，就是抓住平抛运动水平速度不变，竖直方向上做自由落体运动.关键是要能在不同的情况下，将复杂的情形简单化，转化为熟悉的形式，这样难题就会迎刃而解.