探讨线性方程组求解问题

摘要：对于线性方程组，只有在方程的个数等于未知量的个数，系数行列式不等于零的情况下，才可以使用克莱姆法则求得，也可以使用逆矩阵法求得。而对于一般的线性方程组，如何判定它是否有解、解是否唯一，以及在解不唯一的情况下，又该如何求出它的解。这个问题的解决，对理论和实际都具有十分重要的意义。以下以矩阵为工具，探求一般线性方程组解的情况和解的问题。

关键词：线性方程组 系数矩阵 基础解析 通解

中图分类号：G642

Exploring the Problem of Solving Systems of Linear Equations

LIN Qinghua

Minjiang Normal College of Higher Education Fuzhou， Fujian Proivince 350000， China

Abstract： A system of linear equations can be solved by using Clem's rule only if the number of equations is equal to the number of unknowns and the determinant of the coefficients is not equal to zero， and it can also be solved by using the inverse matrix method. And for a general system of linear EMnbu06w7nuS6AeKDjKMJg==equations， how to determine whether it has a solution， whether the solution is unique， and how to find its solution if the solution is not unique. The solution of this problem is of great importance for both theory and practice. In the following， we use matrices as a tool to explore the case and solution of a general system of linear equations with solutions.

Key Words： System of linear equations; Coefficient matrices; Augmentation matrices; Basic solution system; Generalized solution

线性方程组是线性代数的主要内容之一，它的理论和实际应用都非常重要，同时在线性方程组中，线性方程解的情况和怎样解的问题也是非常重要的[1]。

1 利用克莱姆法则和逆矩阵求解线性方程组

1.1用克莱姆法则求解线性方程组

对于个未知量个方程的线性方程组：

它的系数构成的行列式：

行列式称为线性方程组（1）的系数行列式。

当系数行列式 在方程组（1）中不等于零时，方程组（1）有唯一的解。

其中 （j=1，2，…，n）是系数行列式 中第 列元素用方程组的常数项替换。

当≠0时，有且仅有唯一解为[2]

很明显，对于线性方程组的导出组（又称方程组（1）所对应的齐次线性方程组）

可以表示为

当系数行列式 ≠ 0 时，方程组（2）只有零解。

可以证明，=0方程组（2）有非零解。

1.2逆矩阵解线性方程组

线性方程组（1）可以写成矩阵方程，其中

若可逆，则，因此通过求就可以求出，即该线性方程组的解。

实际上，利用逆矩阵解线性方程组时，一般都是采用初等行变换直接求出结果。

求的方法：若可逆，可以构造分块矩阵，对其做初等行变换，当左边的子块变成时，右边的子块就变成了，则线性方程组的解就为。

2 以矩阵为工具，用高斯消元方法解线性方程组

在解线性方程组时，使用克莱姆法则或逆矩阵法求解是有条件的，只有方程的个数等于未知量个数，

且系数行列式不是零，满足这两个条件，才可以使用[3]。对于一般线性方程组的解的情况及求解问题，

下面将进行论述。

对于一般的线性方程组（也就是 个未知数、个方程）来说，

系数矩阵

n元未知量矩阵

增广矩阵

常数项矩阵

线性方程组（3）可写成矩阵方程

2.1 线性方程组（3）的解的判定

定理：元线性方程组有解，且当时，方程组有唯一解；

当时，方程组有无穷多解。

由此可知：当，线性方程组（3）无解。

2.2 高斯消元法解一般线性方程的组

线性方程组（3）可采用高斯消元法进行求解，其步骤如下：

其中，当时无解；当时继续回代求出唯一解，

若为阶方阵时，也可考虑使用克莱姆法则或逆矩阵求出唯一解；当时，

简化为阶梯形矩阵，首非零元所在列对应非自由变量（基本元），其余的为自由变量，

用自由变量将非自由变量表示出来，就得到方程的一般解。

例1：解方程组

解：

与原方程组同解的方程组为

即

其中为自由未知量。

于是得方程组的一般解为

，

其中是任意常数。

2.3 齐次方程组解的判定及解法

线性方程组（3）即所对应的齐次线性方程组为。则至少有一个零解。

定理：元齐次线性方程组有非零解。

方程组方程组只有零解。

若，则方程组必有非零解。

若，则方程组有非零解。

例2： 解其次线性方程组

解：

对应的方程组为

于是得方程组的一般解为

令，得方程组的通解为

3 借助矩阵，建立向量空间，求解线性方程组

线性方程组（3）的向量表示为：

其中，

线性方程组（3）所对应的齐次线性方程组的向量表示为：，

上面已探讨过它们解的判定，接下来探讨在向量空间中一般线性方程组的解法。

3.1齐次线性方程组的基及其通解

求齐次线性方程组 的所有解，只需找到解空间的一组基（即基本解系）即可求得[4]。

若是齐次线性方程组的任意一组基，则该齐次线性方程组的全部解为

其中，是任意常数。

因此，求齐次线性方程组的解的一般步骤[5]：（1）利用初等行变，将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵；（2）写出齐次线性方程组的一般解（3）求一组基（4）求齐次线性方程组的通解。

例3：

即方程组有无穷多解，其基础解系中有3个线性无关的解向量，令

代入依次得

所以原方程组的一个基础解系为

故原方程组的通解为，其中为任意常数。

3.2 非齐次线性方程组的解

定理：如果是非齐次线性方程组（3）的一个解，是其导出组的一个基础解系，则是其导出组的全部解接。非齐次线性方程组（3）的全部接可表示为，其中是任意常数。

称为非齐次线性方程组（3）的一个特解。

该定理表明：非齐次线性方程组的一个特解加上相应的齐次线性方程组的通解即为该非齐次

线性方程组的通解[6]。

例4：求非齐次线性方程组 的一般解。

解：

由R （A）=R （），知方程有解。又R （A）=2，n-r=3，所以方程组由无穷多解。

且原方程组等价于方程组

以下求基础解析和特解

令自由量

带入导出组的同解方程中

导出组的基础解析为

令自由未知量带入原方程组同解方程中

得到方程组的特解

则方程组的一般解为

其中c1、c2、c3为任意常数。

4 结语

本文探讨了线性方程组的解的判定及线性方程组的解法。对于一般的线性方程组，线性方程组解的情况可以用增广矩阵的秩、系数矩阵的秩和未知元个数 的关系来判定。特别地，对一般线性方程组的导出组，可以根据系数矩阵的秩与未知元个数 之间的关系，进行判断。求解线性方程组，可以根据“高斯消元法”的步骤进行求解，也可以在向量空间中，通过先求出的导出组的基础解系，然后依据相关定理求出的通解。特别地，对于线性方程组A 为n阶方阵且时，克莱姆法和逆矩阵求解线性方程组的方法也可以考虑使用。

参考文献

[1] 吴金元.方程组与不等式在应用题中的应用[J].数理化学习（初中版）， 2023（2）：6-8.

[2] 王丽莎，陈媛，徐运阁.线性代数中的线性方程组方法[J].高等数学研究，2024，27（1）：62-65，84.

[3] 林丽芳，曾月迪，陈梅香.“线性代数”课程思政元素的挖掘：线性方程组与高斯消元法为例[J].科学咨询，2023（9）：71-73.

[4] 周楚祥.基于数值优化算法的太阳能电池参数提取研究[D]. 南京：南京邮电大学， 2023.

[5] 于鑫鹏.矩阵逆的逼近及其在线性方程组预处理技术中的应用[D].大连：大连理工大学，2020.

[6] 夏远梅.关于利用初等变换法求解线性方程组的教学研究与探讨[J].数理化解题研究，2021（21）：10-11.

构成的行列式：替换。，其中时无解；当时继续回代求出唯一解，为阶方阵时，也可考虑使用克莱姆法则或逆矩阵求出唯一解；当时，简化为阶梯形矩阵，首非零元所在列对应非自由变量（基本元），其余的为自由变量，的解的一般步骤[5]：（1）利用初等行变，将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵；（2）写出齐次线性方程组的一般解（3）求一组基（4）求齐次线性方程组的通解。，线性方程组解的情况可以用增广矩阵的秩、系数矩阵的秩时，克莱姆法和逆矩阵求解线性方程组的方法也可以考虑使用。