注重知识的产生过程：培养学生分析问题和解决问题的能力

摘要：本文以数列的极限为例，简单叙述了极限概念的产生过程，并借助数学家们探索极限理论的过程进行教学设计，结合人的认知规律，以问题驱动的方式再现知识产生的过程，来培养学生分析问题和解决问题的能力，体现课堂教学中融入知识产生过程的重要性.

关键词：数列极限；高等数学；知识产生过程

文献标识码：A

极限理论是高等数学的核心概念，广泛应用于高等数学及其他科学领域。注重极限理论的知识产生过程，能够帮助学生深入理解数学概念的演变与逻辑推理，促进批判性思维与发现问题、问题解决能力的培养［1］.

1极限理论发展过程

1.1我国古代极限思想萌芽

无线分割下的极限思想是微积分思想起源的关键［2］.我国有文献记载的最早的无限分割思想是公元前3世纪以前，《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.我国数学家刘徽，基于（庄子）的无限分割思想，在《九章算术》的注文中，提出了《割圆术》的方法.刘徽用割圆术求出了内接正3072边形的面积，导出圆周率为3.1416［3］.南北朝时期的天文学家、数学家祖冲之又用刘徽的割圆术计算出了圆内接正24576多边形的面积，把圆周率的计算精确到了小数点后7位［4］.祖冲之的儿子祖暅同样遵循刘徽的方法推导出了球体的体积［4］.

1.2西方极限理论发展进程

1.2.1 ;极限概念的萌芽

公元前5世纪，古希腊安提丰提出了一种与割圆术类似的方法，即通过不断加倍边数的方式，用圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积.公元前408—公元前355年欧多克斯提出了一种观点，即对于两个不同的量，如果从较大的量中减去大于其半的量，再从所余量中减去大于其半的量，并不断重复这一步骤，那么所剩下的量将会比原来较小的量要小，重大发展了安提丰用圆内接正多边形面积来逼近圆的面积这一方法.这种方法在17世纪时被人称为穷竭法，是近代极限理论的雏形，标志着极限概念的轮廓已在古希腊问世［3］.阿基米德在《圆的度量》中应用穷竭法证明了球的表面积和体积相关的重要结论，例如在《论球与圆柱》中记载了，阿基米德用极限思想推导出了球体积为半径立方和圆周率之积的34［4］.

1.2.2极限概念的发展

穷竭法在应用时计算十分烦琐，荷兰的西蒙斯杰文大胆舍弃了穷竭法的形式归谬法，断言“如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量，则二者必无差异”，这一做法使得算法变得简单易行，但逻辑上不够严密.随着解析几何这门崭新数学分支的发展，西方学者开始用算术的方法研究几何问题.基于算术法的基础，英国数学家瓦里斯首次引入了变量极限的概念，他认为，“变量的极限可以逐渐接近一个常数，以至于它们的差异小于任何给定的量”.

1.2.3极限概念的逐步形成

牛顿应用无穷小的增量来计算留数的过程体现了极限过程，但当时人们还没明确无穷小的本质，使得牛顿的做法产生了逻辑上的混乱，引发了数学的第二次危机.自从瓦里斯提出了使用变量的视角来定义极限后，学者们逐渐对无穷小的本质有了更明确的认识.莱昂哈德·欧拉（1707—1783）认为，“无限小”或者“消逝的量”仅仅是趋近于零的量；而法国达朗贝尔（1717—1783）指出，无限大和无限小分别表示无限制地增大和无限制地减小［3］.达朗贝尔还认为微分学的基础应建立在极限概念上.

1.2.4极限概念的确立

捷克斯洛伐克数学家波尔查诺，首次使用极限的概念来定义函数在某一区间上的连续性［3］.柯西在他的《分析教程》中，摆脱了几何图形和几何量的限制，并给出了极限的定义：“如果代表某个变量的一系列数值趋向于某个固定的数值，那么这个固定值就被称为这个数值系列的极限”［3］，即我们现在定义极限的描述性定义.在柯西、戴德金解决了实数理论之后，魏尔斯特拉斯意识到，柯西采用直观运动来描述极限概念，并以此作为微积分的基础，不是十分严谨。因此，他提出一种新的动态观点来定义极限，取代原有变量极限的静态观点.具体来说，他将柯西对极限的定性描述精确化为定量描述，以呈现极限的本质含义，即“εδ”语言，由此，极限概念的严格化最终完成［3］.

2高等数学教学中融入知识产生过程的案例

下面简单展示对于数列的描述性定义和精确定义教学过程中应用知识产生的过程设计的教学过程.

2.1数列极限的描述性定义

2.1.1问题引入，注重知识的产生过程

问题1：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，请从数量关系上来理解这句话？

设计意图：遵循直观性原则，让学生初步尝试从动态变化的角度来观察和分析问题，并认识到研究数列变化趋势的必要性，为后续讲解数列的描述性定义奠定基础.

问题2：在不借助于圆的面积公式的前提条件下，思考如何计算半径为1的圆的面积？

设计意图：极限思想方法是在探求某些实际问题的精确解答的过程中产生的［5］.通过采取问题重现的方式教学，可以让学生更准确地体会极限思想，同时在思考问题的过程中训练学生分析问题的能力和解决问题的能力，让学生体会数学的转化思想和极限这一新思想的产生过程.

问题3：若艾宾浩斯遗忘规律满足关系式y=et［0.0123·lnt］-0.0639，请问经过多长时间，人们会全部遗忘［6］？

设计意图：将高等数学和其他学科构建联系，激发学生的学习兴趣的同时，也让学生体会高等数学的重要性，引起学生对本节课学习的重视.

2.1.2基于认知，注重概念的形成过程

问题4：问题1和问题2在数量变化趋势上有什么共同的特征？

设计意图：采用“由具体到抽象，由特殊到一般”的教学方法，引入数列极限的描述性定义.

数列极限的描述性定义［7］：对于数列an，若当n无限增大时an能无限接近某一个常数a，则称此数列an为收敛数列，则称常数a称为数列an的极限，否则，称数列an是发散的.

2.2数列极限的精确定义

2.2.1实例分析，注重知识的产生过程

问题5：（1）当n无限增大时，数列（1+1n）n是不是无限接近于某个确定的常数呢？

（2）当n无限增大时，数列nn+1是不是无限接近于常数1.0001的呢［8］？

设计意图：（1）让学生明白，应用数列极限的描述性定义来确定复杂数列如（1+1n）n的极限是否存在是比较困难的，所以需要定义数列极限的精确定义.同时，学生主动思考这两个问题的过程中也同步训练了学生应用科学的思维方式来分析问题，有助于培养学生养成科学的思维方式和严密的逻辑思维，提高学生分析问题和解决问题的能力.

（2）学生通过观察数列nn+1可以观察出该数列的极限是1，通过让学生思考极限为什么不可以是1.0001，从而让学生体会到，虽然数列极限的描述性定义非常直白，易于理解，但是描述性定义中有些说辞是比较含糊的，比如“无限增大”“无限接近”，缺乏数学严密性，不能作为科学论证的逻辑基础［9］，我们需要用量化的方式来定义数列的极限.通过对具体问题的具体分析，让学生明确描述性定义中的模糊含义“无限增大”“无限趋近”如何来定量刻画，从而总结出数列的精确定义.

2.2.2通过分析，注重概念的形成过程

通过解决上面问题5提出的两个问题，逐步形成数列极限的精确性定义.第一个问题通过多媒体展示可以直观得到答案；第二个问题采用师生问答的形式，以数列nn+1为例，说明该数列的极限是1，而不是1.0001为例，来使学生逐渐明确“无限增大”和“无限趋近”的定量描述.

师：若1.0001为数列nn+1的极限，需要满足：当n无限增大时nn+1能无限接近常数1.0001，那如何刻画数列nn+1的第n项与常数1.0001的接近程度？

生：可以通过计算nn+1-1.0001的值来表示他们之间的接近程度.

师：好，那么怎么说明，它们之间是无限接近的呢？

生：nn+1-1.0001的值无限接近于0.

师：当nn+1-1.0001的值越小时，nn+1与1.0001是越来越接近，也就是说nn+1-1.0001的值越小，我们认为nn+1与1.0001的接近程度越高，所以nn+1与1.0001要实现无限接近，nn+1-1.0001的值需达到无限小才可以.那么大家思考一下无限小是不是比你能想象得到的任意非常小的正数都小呢？

生：是的.

师：那这样的话，大家认为多小的数才是非常小的正数呢？

生A：教师我觉得0.00001已经是很小的正数了.

师：好，A同学觉得0.00001是很小的数，那么nn+1-1.0001的值可以小于0.00001吗？

生：不可以，nn+1-1.0001的值总是大于0.00001的.

师：对，因为nn+1-1.0001的值总是大于0.00001，所以nn+1-1.0001的值不可能做到无限接近0，因而数列nn+1的极限不是1.0001.那接下来大家思考一下nn+1-1的值可以小于0.00001吗？

生：可以，只要就n>99999就可以得到nn+1-1<0.00001.

师：对，完全正确，那么有没有比0.00001更小的数呢？

生B：有，比如说0.000001.

师：好，那么nn+1-1的值可以小于0.000001吗？

生：可以，只要n>999999就可以实现.

师：对，那我们再想一下，有没有比0.000001还小的数呢？

生：有.

师：对，有，而且有很多.那么是不是任意给定一个很小的数，我们记为ε，nn+1-1的值可以小于这个任意给定的ε吗？

生：应该可以.

师：有一部分同学不确定是不是可以实现nn+1-1<ε，那么我们简单计算一下.

nn+1-1<ε1n+1<εn>1ε-1

所以我们只需要满足取的n是大于1ε-1的整数，就可以实现nn+1-1<ε了.

师：说明了任意给出一个很小的距离ε，我们可以找到某一项N，使得N项之后的任意一项都满足nn+1-1<ε，也就是说第N项之后的任意一项与1之间的接近程度可以小于我们任意取定的ε，所以1就是数列nn+1在n趋于无穷大时的极限.根据我们上面的分析过程，数列nn+1的极限是1，也可以描述为“对任意给定的正数ε，存在正整数N=1ε-1，只要n>N时，恒有nn+1-1<ε.”将这个定义一般化，我们就得到了数列极限的精确定义.

数列极限ε-N的定义［3］：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当时n>N，不等式xn-a<ε都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛于a，记为limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.

结语

高等数学这门课程在其他学科中的应用是十分广泛的，在授课过程中注重体现知识的产生过程，将有利于学生理解知识的本质和实际应用.本文以数列的极限为例，简单介绍了极限概念的发展过程，并结合认知规律，通过问题驱动的方式，重现极限概念的形成过程，在学生主动思考问题的过程中有利于培养学生分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

［1］魏连鑫.大学数学教学应重视学生四种能力的培养［J］.上海理工大学学报（社会科学版），2021，43（01）：8184.

［2］刘秀连.浅谈微积分学中的极限思想［J］.吕梁高等专科学校学报，2006（02）：4951.

［3］李经文.极限理论的发展及其历史评价［J］.邵阳师范高等专科学校学报，2001（05）：1518.

［4］龚升，林立军.简明微积分发展史［M］.湖南：湖南教育出版社，2001.

［5］同济大学数学科学学院.高等数学（第八版）上册［M］.北京：高等教育出版社，2023.

［6］温猛麟.艾宾浩斯遗忘曲线0～60分钟内的拟合曲线［J］.广东职业技术教育与研究，2021（02）：119121.

［7］华东师范大学数学系.数学分析（第四版）上册［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［8］吕志宏，李永明.为什么要用“ε-N”语言定义数列极限？［J］.高等数学研究，1998（03）：1719.

［9］黄民海.剖析数列极限的“ε-N”定义［J］.数学教学研究，2012，31（09）：6266.

项目基金：由河南省社科联批准的高校数学教师课程思政素养提升研究项目资助（SKL2023950）

*通讯作者：刘霄霄（1994—），女，河南焦作人，硕士，助教，研究方向：不动点理论。

作者简介：肖亚（1995—）男，河南驻马店人，硕士，助教，研究方向：博弈论。