指向核心素养发展的初中数学结构化教学

一、教学内容

“反比例函数”是人教版九年级下册数学教材中的第26章，属于“数与代数”领域。以实际问题为切入点，自然而然引出“反比例函数”的基本概念，借此激发学生对函数模型思想的深刻体会。教材重点放在了对反比例函数图象与性质的掌握上，通过绘制具体的反比例函数图象，引导学生从特殊到一般归纳总结，掌握反比例函数的一般图象特征及性质。本章内容的另一大亮点在于数形结合的教学思想的运用，即通过函数图象直观展示函数变化规律，同时借助解析式深入探究函数性质。

二、学情分析

反比例函数的独特之处，如变量间乘积的恒定性，对学生而言是一个全新的探索领域。虽然学生对函数的基本类型有所了解，但反比例函数的特性与学过的一次函数、二次函数明显不同，尤其在自变量取值范围上的特殊性，为其学习带来了新的挑战。因此，面对本节课程内容的抽象性，教学的核心之一便是如何有效链接新旧知识，降低学生接受新概念的难度。

三、教学目标

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出以“三会”为主要内容的学科核心素养，集中体现了数学8b1ecb54aa00e3677e88a17f9278c436教学的育人价值，为指定如下教学目标提供了方向指引。

1.掌握反比例函数的基本定义，能够借其特征—两变量乘积为常数—辨识各类函数中哪些属于反比例函数。

2.在面对具体情境时，能够依据已知条件，确定反比例函数的解析式及变量的取值范围。

3.在探索实际问题的过程中，能够运用数学语言和符号，建立与表达两个变量之间的反比例关系。

四、教学设计思路

结构化教学法作为一种精细化的教育策略，旨在通过有序组织的教学活动，引导学生逐步掌握复杂知识，侧重于教学内容与学生学习过程的结构安排，将知识点按照递进次序与逻辑层次组织，实现知识的迁移。基于新课程标准强调“设计体现结构化特征的课程内容”，本课例在深入分析核心素养目标的基础上，通过知识、方法、能力、经验结构化的教学设计，帮助学生逐步建立起系统的数学知识体系，实现核心素养的有效培育。

五、教学过程

（一）温故知新，调动记忆

师：我们先来回顾一下之前学过的知识。大家还记得在变化的过程中，如果有两个变量x与y，它们之间是如何相互关联的吗？

生：如果对于x的每个不等于零的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

师：谁能告诉我一次函数的一般形式是什么？

生：一次函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数，且a不等于零。

师：非常好。a代表斜率，决定了直线的倾斜程度；b为截距，表示直线与y轴的交点。（展示一次函数的标准形式：一次函数，也称为线性函数，其图象是一条直线，表示变量y与x之间存在线性关系。） 我们之前学习了一次函数的哪些内容？

生：我们研究了一次函数的定义、图象、性质以及它在解决实际问题中的应用。

师：正确。我提个问题：“钓鱼时怎样握杆更省力？”这个问题能用我们学过的函数知识来解释吗？

生：可以用力的作用点和力的大小关系来解释，这与杠杆原理有关，可以通过函数关系来表示。

师：很好。杠杆原理可以用力的作用效果（力矩）与力的作用点距离的关系来表示，形成一种函数关系，看来大家对之前学的知识掌握得很好，现在让我们基于这些认识学习今天的课程。

（二）情境引思，自主探究

师：我们今天将一起探索几个有趣的现实生活情境，通过这些情境来理解一种特殊的函数关系。首先，我们考虑一个问题：如果一辆汽车要从A地到B地，总距离是1200千米，那么汽车的速度和所需时间之间是怎样的关系呢？

生：如果汽车速度快，所需时间应该短些；速度慢，时间就长些。

师：对。在给定的总距离下，速度和时间的关系可表示为vt=1200，这里v代表速度，t代表时间。 基于这个关系式，大家认为这里的变量间具有什么样的函数关系？

生：这不像是我们学过的正比例函数或一次函数。

师：是的，这实际上引入了我们要学习的反比例函数。我有三个不同的问题，请大家思考其中的变量关系。

1.对于一个面积为48平方米的长方形，如果一边的长度是x米，另一边的长度是y米，则y=。

2.一个底边长为a厘米、面积为75平方厘米的三角形，它的高是h厘米，可以表示为h=。

3.一辆汽车以v千米/小时的速度行驶，行驶629千米所需的时间是t小时，可以表示为t=。

生：看起来，这些问题中的变量关系都有一个共同点，那就是一个变量的增加会导致另一个变量的减少。

师：大家回忆一下所学的物理知识，考虑电流I和电阻R的关系，当电压U固定时，I和R之间是怎样的关系呢？

生：根据公式U=IR，如果R变大，I会变小；如果R变小，I会变大。

师：很好，大家观察到了反比例关系。这里U（电压）是常数，I（电流）和R（电阻）之间的关系式可以重写为？

生：I=。

师：通过这些情境，我们可以发现虽然这些问题看似不同，但它们的变量之间都存在反比例关系。

（三）概念学习，图象感知

师：现在，我们已经探讨了几个反比例关系的例子，但是这些情况能否用一个统一的函数表达式来表示呢？思考一下，如果两个变量x和y之间的对应关系可以表示为y=的形式，我们应该怎样称呼这种关系？

生：这听起来像是两个变量之间的某种特殊关系，是不是我们之前讨论的反比例关系？

师：正是，如果变量x和y满足y=（其中k为常数，且k≠0），我们称y是x的反比例函数。其中x是自变量，y是函数值。自变量x的取值范围是除了0以外的所有实数。这里的k是什么呢？

生：k应该是两个变量乘积的常数值。

师：很好。k是一个非零常数，它决定了反比例函数的特性。让我们回到之前的问题，尝试将它们用反比例函数的形式表示，并填写表1。

师：请大家思考当k为正值时，函数图象会怎样？

生：图象应该在第一和第三象限。

师：非常好。让我们来验证一下。（绘制图象，强调当k＞0时，图象位于第一和第三象限，两条曲线逐渐接近但不会触及x轴和y轴）这表明反比例函数图象的特性为双曲线。随着x的增加，y的值趋向于0但永远不等于0；同样，随着x趋向于0，y的值增大，趋向于无穷大。现在，如果k为负值呢？图象会有什么变化？

生：如果k是负值，我认为图象会在第二和第四象限。

师：非常正确。

教师绘制图象（见表2），总结反比例函数图象的特点。

生：无论k是正是负，反比例函数的图象都是双曲线，只是位置不同。并且，无论哪种情况，图象都不会触及x轴和y轴。

（四）特点探讨，练习深化

师：根据讨论结果总结反比例函数还有哪些表示方式？

生：根据定义，反比例函数还可以表示为xy=k，因为两边同时乘以x就得到了k。

师：正确。还有一种表示形式是y=kx-1。（板书：反比例函数可表示为y=，xy=k或y=kx-1都揭示了一个共同的特点：变量x和y的乘积为一个恒定的常数k）我给大家出示几个函数表达式，大家判断一下它们是否为反比例函数。

【习题演练】

①y=3x ②y=x2 ③xy=21 ④y=x+25

⑤y= ⑥y=

（学生判断）

师：请举出日常生活中反比例关系的例子。

生：百米赛跑中，速度与完成时间是反比例关系；如果圆柱体的体积固定，那么底面积与高是反比例关系；长方形的面积固定时，长与宽也是反比例关系。

师：在阿姆斯特丹，几乎每个人都骑自行车。（呈现资料：在2018年，阿姆斯特丹市政府发布了一项统计数据，显示城市内自行车的平均速度为15千米/小时，而城市规划师利用这些数据来优化城市自行车道的设计，确保市民能够高效、安全地骑行。）我们可以用反比例函数来描述自行车速度与到达目的地所需时间的关系。例如，如果一个人要从阿姆斯特丹的市中心骑自行车，在1个小时内到达10千米外的郊区，那他的速度是多少？半小时呢，速度是多少？

生：我们可以将已知的值代入公式中，即1v=10，v=。他的速度必须至少为10千米/小时。如果他希望半小时到达，那速度就需要提升到20千米/小时。

师：大家在这里用了待定系数法。待定系数法是求解反比例函数解析式的一种常用方法。首先设出函数解析式；然后，将已知的一对x和y值代入，求出比例系数k。

六、总结

在本次教学活动中，通过精心设计的结构化教学方法，学生得以逐步深入探讨了反比例函数的核心概念，从基本定义到图象的认识，再到特性的探索和实际问题的应用，实现对反比例函数深层次的掌握。整体教学过程充分体现了结构化教学的优势，即由浅入深、循序渐进地引导学生建立完整的数学知识体系，为其综合素质提升奠定坚实的基础。

（作者单位：甘肃省平凉市第九中学）

编辑：赵文静