基于PBL教学法的线性代数教学实践研究

摘要：在我国目前线性代数教学中，传统讲授法仍为主要教学模式，这种模式有其明显的优势但也有不足之处。PBL教学是以构建主义和认知主义为理论基础，以“学生为中心”的教学理念，能够弥补传统教学模式的不足。本文以线性代数课堂为例，让学生设计加密矩阵，探索PBL教学法的实践应用。将PBL教学法与传统教学模式相结合，提高教师的跨学科科研能力，尊重学生的发言权和选择权，对提高线性代数教学质量具有积极意义。

关键词：PBL教学法；线性代数教学；实践研究

Researchontheteachingpracticeof

linearalgebrabasedonPBLteachingmethod

ChenShanshanMaRunnianDuYongguang

Xi’anEurasiaUniversityShaanxiXi’an710065

Abstract：InthecurrentlinearalgebrateachinginChina，thetraditionalteachingmethodisstillthemainteachingmode，which ;hasitsobviousadvantagesbutalsoitsshortcomings.PBLteachingisbasedonconstructiondoctrineandcognitivism，andtakesthe"studentcentered"teachingconcept，whichcanmakeupforthedeficiencyofthetraditionalteachingmode.Inthispaper，takinglinearalgebraclassasanexample，letstudentsdesignencryptionmatrixandexplorethepracticalapplicationofPBLteachingmethod.CombiningPBLteachingmethodwithtraditionalteachingmodetoimproveteachers'interdisciplinaryscientificresearchabilityandrespectstudents'voiceandchoiceisofpositivesignificancetoimprovetheteachingqualityoflinearalgebra.

Keywords：PBLteachingmethod;Linearalgebrateaching；practicalresearch

一、线性代数教学现状

线性代数是大部分学生在本科教育阶段的数学类必修课之一，对学生学好后续专业课以及未来发展至关重要。学生们普遍认可大学数学对个人发展的积极作用，有学好数学的动机。但是，现实情况是学生想要在数学课上取得好的成绩存在诸多困难。比如课堂上跟不上教师讲课的节奏，课后自学效率低下，从而丧失学习信心，甚至产生负面影响，最终导致期末考试挂科。从教与学的角度来看，目前现状和存在的问题如下。

第一，线性代数是一门基础数学课程，不仅具有数学课共有的抽象性和逻辑性的特点，而且相比于高等数学来说，线性代数更加抽象化和公理化，其中逻辑推导较多［1］。由于学生在日常生活和社会实践鲜有数学思维训练的机会，因此对这种公理化知识体系感到陌生，知识运用技巧较为生涩，学习方法不得要领。

第二，由于线性代数具有公理化的特点，传统授课式的教学方法有其优势，因此教师在课堂上普遍采用讲授法。当讲授法广泛应用于课堂教学时，它的缺点就凸显出来。一方面，学生听起来感觉单调枯燥，没有兴趣，难以集中注意力，低头现象经常发生。另一方面，知识理论和实际应用是割裂的，学生对该知识有什么用感到非常困惑，也就难以激发学习的动力。

第三，线性代数一般是大一新生的必修课，大一是高中阶段到大学阶段的过渡期。大一学生刚经过高考前的备考冲刺，以应试教育为主是客观情况。教师会在课堂上讲解习题、总结题目类型和传授解题技巧等。然而，高等教育具有高深的知识和学术自由的属性，这就对学生独立自主学习能力提出了更高要求。在高中和大学的衔接过程中，大部分学生需要有一个磨合适应的过程。事实上，第二学期的线性代数课程成绩比第一学期的高等数学课程成绩好，这种情况较为普遍。

基于以上教学中存在的实际问题，大学数学课程的教学改革探索势在必行。

二、PBL教学法

PBL是“ProjectBasedLearning”的简写。在国内，也被称为“项目式教学法”。PBL教学法是由美国神经病学教授Barrow首次提出来的。1969年，Barrow教授在临床医学的教学中应用PBL教学法大获成功。1993年，在世界医学教育高峰会议上，PBL教学法在全世界范围内被广泛推荐。PBL教学法是基于“以学生为中心”的教学理念，以解决现实世界中真实的问题为导向，学生们采用小组讨论的形式围绕问题收集资料、发现问题和解决问题的一种教学模式［2］。教师在教学过程中仅仅起到引导和支架的作用。

PBL教学法的教学理论基础是认知主义和构建主义。认知主义认为学习是内发的、主动的和整体性的，最具代表性的是布鲁纳的发现学习理论和加涅的信息加工理论。构建主义强调学习的主动构建性、意义性、情境性和内隐性，最具代表性的是维果斯基的“最近发展区”理论。因此PBL教学法继承了认知主义和构建主义的优势和劣势。

PBL教学法的优点主要体现在：以学生为中心，强调学生是教学活动的核心，重视学生的主观能动性；为当今的教育教学改革实践注入了新的活力，为指导教育实践具有十分积极的作用。

PBL教学法的不足主要体现在：夸大了学生的能力，对学生已有的经验期望过高，适用于低年级和应用型知识的教学；过分强调知识学习的相对性、情景性以及认知灵活性，否认学习的共同性、客观性和系统性；还没有被高等教育实践证明是有效的科学方法［3］。

本文以线性代数课程的一次教学实践为例，探讨如何在高等数学这类理论性较强的课程中应用PBL教学法提高教学效果。

三、PBL教学法教学实践

本文选取线性代数课程中的“矩阵的初等变换”这一节，参考教材是高等教育出版社同济版《工程数学线性代数》，采用讲授法和PBL教学法相结合的授课方式。对“初等变换求解逆矩阵”的教学内容采用PBL教学法，其余内容采用讲授法。PBL项目以某场战役为背景，要求学生设计密钥，实现一次完整的信息加密和解密的过程。在完成项目的过程中，学生将需要运用初等矩阵和逆矩阵相关的知识设计一个独有的可逆矩阵，再应用矩阵乘法对信息加密，最后运用求解逆矩阵的方法完成对信息的解密过程。学生将综合运用初等矩阵相关的知识，并对知识是如何解决现实世界的真实问题有直接感受。教学过程按照“创设情境、提出问题、创新合作、成果展示”四个环节组织实施。

第一步，创设情景。教师在课堂上引入项目设定的背景。古今中外，信息安全一直扮演着非常重要的角色。从中国古代的虎符，到今天的区块链技术，以及未来的量子信息，都与信息安全息息相关。让同学们观看与信息安全内容相关的影片，在某场战役中信息加密起到了至关重要的作用。把同学们带入预设的场景中，提高学生参与项目的兴趣。在这个情景设定下，学生们需要角色扮演对战的双方，设计加密矩阵，以加密的方式完成一次信息传递的全过程。教师组织学生进行分组，每组六个人，其中三个同学扮演信息的发送方，另外三个同学扮演信息的接收方。

第二步，提出问题。信息加密的方法有很多种，其中一种加密方法称为希尔密码，用到了逆矩阵相关的知识。希尔密码中的同余相关的知识点超出了线性代数的教学内容范围，删除这部分内容以控制项目实施的难度。发送方完成信息加密，基本步骤为：（1）设定信息：确定需要发送的信息，比如“Iloveyou”“attackistonight”等；（2）信息编码：将文字转化为数字，称为明文；（3）设计密钥：设计一个可逆矩阵，称为密钥，并把密钥只能告诉信息的接收方；（4）信息加密：用密钥对明文进行加密，利用矩阵乘法计算得到密文；（5）发送信息：将密文发送给接受方。接受方完成信息解密，基本步骤为：（1）获取密钥：从信息的发送方那里获得密钥，这是破解密文的关键，不能泄漏给对方。（2）接收信息：接收到的信息是接受方加密过的信息；（3）计算密钥：计算密钥的逆矩阵。（4）信息解密：利用矩阵乘法运算将密文破解为明文。（5）信息解码：明文是数字，要看懂信息还需要将数字解码成文字。在这个过程中，学生需要决定发送信息的内容、查找相关资料、选择编码方式、研究逆矩阵和初等矩阵的关系、设计逆矩阵、掌握矩阵求逆的方法，锻炼团队合作和沟通能力等。

例：假设要发送的信息是“you”。可以设计编码方式为26个英文字母依次对应到数字：

将数字对应到字母表，所发送信息为you。

第三步，创新合作。在学生实施的过程中，教师观察每组学生的情况，及时给予支持和指导。需要教师重点关注的有：提醒学生希尔加密中不考虑同余；编码设计中数字和字母能够一一对应；密钥设计中描述如何利用初等矩阵得到一个可逆矩阵；可逆矩阵的维数不要太高，矩阵元素尽量是整数，否则在解密过程中计算量太大，建议发送者和接受者一起设计密钥等。

第四步，成果展示。学生以论文的形式提交项目成果，并在班级内部进行分享。学生们在论文中展示了丰富的创造性和个性化的内容。第一类创新点是项目背景，学生们喜欢对项目背景进行改编以抒发自己的情感。有的将项目背景改为表达自己的爱国情怀的内容，体现了课程思政的元素；有的将项目背景设定为纪念同学们的从不认识到成为彼此信任的同伴的友情；还有一个团队创作了一个关于同学之间互相鼓励学习的感人故事。第二类创新点是加密矩阵的阶数。有的学生对信息进行分组，每3个字母一组，那么只需要一个三阶矩阵，从而达到对矩阵降阶的目的。有的学生将信息编码成矩阵，加密时两个矩阵相乘，大大提高计算效率，体现了矩阵乘法的效用。还有学生设计四阶分块矩阵，降低了求解逆矩阵的难度，灵活运用了课本上的知识。

四、总结

目前PBL教学法已经引起广大教师的关注，越来越多的大学数学教师尝试将PBL教学法应用于教学实践。PBL教学法以解决实际问题为目标，以学生为中心的教学理念，强调学生团队合作的重要作用。这种全新的教学模式恰好能够弥补传统授课式课堂的不足之处。通过完成项目，学生能够理解理论知识是如何在现实生活中应用的。在教师的引导下，学生有机会锻炼独立思考和自主学习的能力。通过团队合作和同辈交流，学生更容易进入专注学习的状态中。同时，满足了大一新生的社交需求，帮助他们更快融入大学生活，有利于培养积极的心理和人格。本文通过一次教学实践总结了在线性代数课堂中使用PBL教学法时应注意的问题，供广大同行参考。

（一）PBL教学中应尊重学生的发言权和选择权［4］

PBL教学法是以“学生为中心”的教学理论，因此教师设计项目时应尽量设计开放性问题，给学生留有创造性发挥的空间，充分尊重学生的发言权和选择权。有利于激发学生的兴趣，鼓励学生参与投入项目中。最终通过开放性问题，学生可以充分展示自我，有利于培养学生的创造性思维和批判性思维。这也是符合目前高等教育注重培养学生核心素质的价值观。

（二）教师应注重提高跨学科研究的能力

项目设计是PBL教学法的灵魂，一个好的项目设计，能够激发学生的兴趣，引发学生沉浸式学习，培养学生综合运用学科知识解决现实问题的意识。教师在设计项目时，需要有意识地将学科知识和真实问题有机融合为一个整体。要把数学理论和有趣的真实问题结合起来，设计出能吸引学生的兴趣，又能紧密结合教学目标的PBL项目，对教师的科研能力和教学能力都提出了较高的要求。线性代数教师应提高跨学科研究能力，不断学习前沿科学，了解线性代数知识在其中的应用，能够进一步对问题进行简化或转变，这样才能设计出吸引学生的真实场景的问题。

（三）PBL教学法应同传统教学模式相结合

PBL教学法虽然能弥补传统讲授式课堂的不足，但是PBL教学法完全替代讲授法是不可能的。PBL教学法虽然在世界范围内的基础教育阶段大获成功，但是在高等教育阶段，尤其是数学类课程中的教学效果还没有得到实践的验证。基于我国目前高等本科教学的现实情况，教师需要按照教学计划在一学期内完成规定的教学任务，完全采用PBL教学法是不现实的。因此，教师可以选择一部分教学内容采用PBL教学法。如果遇到学生第一次接触PBL项目，不知道如何进行时，教师可以设计全班步调一致的项目，帮助学生尽快投入项目中。

参考文献：

［1］叶薇薇，储亚伟.“新工科”建设背景下基于PBL的高等数学教学实践——以“洛必达法则”为例［J］.洛阳师范学院学报，2023，42（05）：8689.

［2］张俊，马明溪.PBL教学法在线性代数教学中的应用问题研究［J］.现代职业教育，2020（40）：1415.

［3］段海军，蔺素琴.教育心理学［M］.西安：西北大学出版社，2021.

［4］王峥嵘.教师项目式教学能力发展研究［M］.西安：陕西师范大学出版总社，2022.

基金项目：陕西省教育科学“十四五”规划2023年度一般课题项目：“以学生为中心”的应用型人才数理思维培育研究（项目编号：SGH23Y2803）

作者简介：陈姗姗（1985—），女，汉族，陕西渭南人，硕士，助教，研究方向：高等数学教育。