利用定积分定义求极限的方法小结

摘要：定积分是用和式的极限定义的，反过来这类和式的极限也可以用定积分定义来计算.而用定积分定义求极限也是数学竞赛和考研的高频考点，并且近几年的题型求解难度大，结构复杂.用定积分定义求极限，关键是如何从极限表达式中确定积分上下限和被积函数.本文根据极限表达式的三种常见类型，总结了极限的计算步骤以及快速确定积分上下限和被积函数的公式，并举出近几年的数学竞赛和考研的真题介绍如何应用这些方法技巧，使得计算简单化.

关键词：定积分；极限；被积函数

定积分定义是高等数学的重点也是难点，用定积分定义求极限也是数学竞赛和考研的重要考点，而且近几年的题型求解难度大，结构复杂.本文总结了定积分定义求极限的常见类型，并给出了求解步骤及公式，方便快速确定被积函数和积分上下限，从而更易求出和式极限.

一、定积分定义求极限的常见类型

定积分是用极限定义的：∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi［1］.（不妨设a<b，本文下同.）而当f（x）在［a，b］上可积时，∫baf（x）dx与区间的分法和ξi的取法无关，故由定义计算定积分时，为了计算简便，通常将［a，b］n等分，小区间长度Δxi=b-an，而ξi常取为小区间右端点a+in（b-a）（1in），∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an.

反过来，也可以用定积分来求上式右端这类和式的极限.而在竞赛或考研试题中，这类极限常见的表达式一般有三种类型，以下以n等分为例给出三种类型能直接用定积分求解的标准表达式：

（1）limn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an

相当于ξi=a+in（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小区间的右端点的情况；

（2）limn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an

相当于ξi=a+i-1n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小区间的左端点的情况；

（3）limn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an

相当于ξi=a+2i-12n（b-a），Δxi=b-an，即ξi取小区间的中点的情况.

上述三种极限最终都等于∫baf（x）dx.

一般能用定积分定义求解的常见类型基本都可以通过恒等变形转化为上述标准类型之一.

二、定积分定义求极限的步骤及公式

用定积分定义求极限，关键是如何从极限表达式中确定积分上下限和被积函数.本文根据极限表达式的常见类型，总结了如下极限计算的步骤及确定积分限和被积函数的公式：

（1）根据极限表达式的特征，先将其整理成如下三种形式之一：

形式一：（1）limn→∞∑ni=1f（C1+inC2）C3n（含in）；

形式二：（2）limn→∞∑ni=1f（C1+i-1nC2）C3n（含i-1n）；

形式三：（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n（含2i-12n）；

其中C1、C3均为常数，C2是某个正数.

注：无论整理成上述哪种形式，和式的每一项都是两项乘积，一个与in有关的表达式；一个是1n的常数倍，且与i无关.

（2）确定积分上下限：

形式一中fC1+inC2对应标准类型（1）中的fa+in（b-a），即有a+in（b-a）=C1+inC2，从而推出积分上限a=C1，积分下限b=C1+C2；

同理，形式二中fC1+i-1nC2对应标准类型（2）中的fa+i-1n（b-a），形式三中fC1+2i-12nC2对应标准类型（3）中的fa+2i-12n（b-a），由此均可确定积分上下限的值；

（3）确定被积函数：

根据fC1+inC2或fC1+i-1nC2、fC1+2i-12nC2的表达式确定被积函数f（x）；

（4）确定Δxi：

Δxi=b-an，故C3n=C3b-a·b-an.

（5）确定定积分表达式：

（1）limn→∞∑ni=1fC1+inC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+in（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（2）limn→∞∑ni=1fC1+i-1nC2C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+i-1n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx；

（3）limn→∞∑ni=1f（C1+2i-12nC2）C3n=C3b-alimn→∞∑ni=1fa+2i-12n（b-a）b-an=C3b-a∫baf（x）dx.

（6）计算定积分.

三、定积分定义求极限实例分析

以下以ξi分别取小区间右端点、左端点、中点三种情况举例分析.

（一）ξi取小区间右端点

这种情况最常见，也最容易求解.

例1：limn→∞∑nk=1kn2sin2（1+kn）［2021年第十二届全国大学生数学竞赛决赛（非数学类）试题一、（1）］

解：①limn→∞∑nk=1kn2sin21+kn=limn→∞∑nk=1knsin21+kn1n；

②此处knsin21+kn=fkn，含kn，故此题属于ξk取小区间右端点的类型，即有a+kn（b-a）=kn，从而推出a=0，b-a=1，即a=0，b=1；

③fa+kn（b-a）=fkn=knsin21+knf（x）=xsin2（1+x）；

④Δxi=b-an=1n；

故原式=limn→∞∑nk=1knsin2（1+kn）1n

=limn→∞∑nk=1fa+kn（b-a）b-an=∫baf（x）dx

=∫10xsin2（1+x）dx

=∫10x1-cos2（1+x）2dx

=14-14∫10xd［sin2（1+x）］

=14-14xsin2（1+x）10+14∫10sin2（1+x）dx

=18（2-2sin4-cos4+cos2）.

（二）ξi取小区间左端点

例2：limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

解1：①这里加项只有n-1项，需要适当添加成n项.

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsin0πn+sinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n；

②此处sini-1nπ=f（i-1nπ），含有i-1n，故此题属于ξi取小区间左端点的类型.即有a+i-1n（b-a）=i-1nπ，从而推出a=0，b=π；

③fa+i-1n（b-a）=fi-1nπ=sini-1nπf（x）=sinx；

④Δxi=b-an=πn；

故原式=limn→∞∑ni=1sini-1nπ1n

=1πlimn→∞∑ni=1sini-1nππn

=1π∫π0sinxdx=2π.

解2：也可以整理成关于i-1n的表达式.

解3：也可添加sinnπn，看作ξi取小区间右端点的情况.

limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn

=limn→∞1nsinπn+sin2πn+…+sin（n-1）πn+sinnπn

=limn→∞∑ni=1sininπ1n

=1π∫π0sinxdx=2π，或者=∫10sinπxdx=2π.

（三）ξi取小区间中点

这是近几年的数学竞赛和考研试题中常出现的类型，有难度，但是利用本文的方法能快速确定积分区间和被积函数.

例3：limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2［2023年第十四届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试题一、（1）］

解1：①limn→∞1n312+32+…+（2n-1）2=limn→∞∑ni=12i-1n21n；

②此处2i-1n2=f2i-1n，看到有奇数2i-1出现，可考虑ξi取小区间中点的类型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-1n，从而推出a=0，b-a2=1，即a=0，b=2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-1n=2i-1n2f（x）=x2；

④Δxi=b-an=2n；

故原式=limn→∞∑ni=12i-1n21n

=12limn→∞∑ni=12i-1n22n

=12∫baf（x）dx

=12∫20x2dx=43.

解2：也可以整理成关于2i-12n的表达式.

例4［2］：limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n

解1：①limn→∞1ncosπ4n+cos3π4n+…+cos（2n-1）π4n=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n；

②此处cos（2i-1）π4n=f2i-14nπ，看到有奇数2i-1出现，可考虑ξi取小区间中点的类型，即有a+2i-12n（b-a）=2i-14nπ，从而推出a=0，b-a=π2，即a=0，b=π2；

③fa+2i-12n（b-a）=f2i-14nπ

=cos（2i-1）π4nf（x）

=cosx；

④Δxi=b-an=π2n；

故原式=limn→∞∑ni=1cos（2i-1）π4n1n

=limn→∞2π∑ni=1cos（2i-1）π4nπ2n

=2π∫π20cosxdx

=2π.

解2：也可以整理成关于2i-12n的表达式.

在参考文献［2］中，此题是利用三角函数的积化和差公式求解，不易想到，而利用定积分定义会非常简单.

注：以上方法可直接推广到其他等分的情况.

结语

本文总结了利用定积分定义求极限的常见类型，并给出了求解步骤以及确定积分上下限和被积函数的公式，思路清晰，计算过程简捷.不仅能帮助学生快速准确地计算这类和式极限，还有利于培养学生对解题方法进行归纳、总结和分析的能力.

参考文献：

［1］同济大学应用数学系.微积分（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2021：199200.

［2］蒲和平.大学生数学竞赛教程［M］.北京：电子工业出版社，2014：56.

基金项目：河北省自然科学基金面上项目：图的匹配书嵌入研究（A2021202013）；河北省研究生示范课程立项建设项目：拓扑学基础（KCJSX2024018）；河北工业大学教育教学改革研究项目：基于BOPPPS模型的新工科数学分析混合式教学改革研究与实践（202102001）；河北工业大学教育教学改革研究项目：基于混合式教学的高等数学课程思政教学改革探索与实践（202302016）

作者简介：李慧云（1978—），女，汉族，河北高阳人，硕士，讲师，研究方向：随机分析、最优化算法。