用类比法分析最速降线与倾斜直轨道的运动时间

摘   要：最速降线问题跟生活联系十分紧密，在屋顶排水、逃生通道等设计中都有应用，但有关最速降线的证明对数学要求较高，大多数中学生难以很好地理解，通过类比正交电磁场中的配速法来分析几种不同情况下最速降线与倾斜直轨道的运动时间，不涉及高等代数知识，学生也容易理解和接受。

关键词：最速降线；旋轮线；倾斜直轨道；配速法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2024）6-0066-2

最速降线是一个十分有趣的物理现象，很多人第一次听说都十分惊讶，笔者就曾数次接受非物理学科的同事和朋友的咨询，足以说明这个问题在激发人求知欲上的巨大作用。众所周知，最速降线是一条旋轮线，但它真的能“比两点之间直线最短”的光滑倾斜直轨道运动得快吗？很多人对此十分疑惑。这个问题的证明导致了微积分变分法的诞生［１］，现在已经十分明确，无需赘述。但大多数中学生的数学能力达不到相关水平，随着近两年新高考的推动，大多数高中生对配速法处理带电粒子在磁场和电场构成的正交复合场中的运动已经比较熟悉，我们不妨用类比正交复合场的思想解决最速降线问题，不用高等代数知识，学生也能理解接受。

如图１所示，假设光滑物块自起点Ａ由静止开始沿旋轮线下滑，终点为Ｂ，以下分为两种情况进行讨论。

１    Ｂ点恰好位于旋轮线最低点

１．１    配速法求解带电粒子在正交复合场中的运动时间

用类比法分析最速降线的时间，不仅有效降低了数学门槛，让中学生能够够得着，更可以训练学生类比迁移和物理建模能力，无论是改编成习题拓展学生知识面，还是作为研究性学习内容启发学生思考，对学生的发展都大有裨益。

参考文献：

［１］杨亦逸．最速降线问题的历史与一种巧解［Ｊ］．物理通报，２０２１（８）：１５１－１５５.

［２］涂德新．关于圆摆线的初步研究［Ｊ］．物理教师，２０１６，37（７）：６０－６１.

［３］胡宗仁．“配速法”及其应用［Ｊ］．中学物理（高中版），２０１１，２９（１）：５７.

（栏目编辑    蒋小平）

收稿日期：2024-03-22

基金项目：２０２２年江苏省教育科学规划立项课题“利用传感和 ＡＲ 软件技术优化高中物理实验的区域实践研究”（Ｂ／２０２２／０３／０６）。

作者简介：唐保东（１９８４－），男，中学一级教师，主要从事中学物理教学工作。