基于修正Gram睸chmidt法的双连通区域数值保角逆变换计算法

摘 要：研究基于模拟电荷法的双连通区域的数值保角逆变换问题。利用修正GramSchmidt法求解双连通区域数值保角逆变换中的约束方程组，解得模拟电荷量和逆变换半径，构造出近似保角逆变换函数。通过数值实验验证算法的有效性。

关键词：模拟电荷法；数值保角逆变换；修正GramSchmidt法；双连通区域

中图分类号：O241.85  文献标识码：A

The Modified GramSchmidt Method for

Numerical Inverse Conformal Mapping of Double Connected Domain

Wang Jian

Xingzhi College of Xi'an University of Finance and Economics Shaanxi Xi'an 710038

Abstract：The problem of numerical conformal inverse transformation in the doubly connected region based on the simulated charge method is studied.The modified GramSchmidt method is used to solve the constraint equations in the numerical conformal mapping inverse transformation in the doubly connected region.The simulated charge quantity and the radius of the inverse transformation are solved，and the approximate conformal mapping inverse transformation function is constructed.The effectiveness of the algorithm is verified by numerical experiments.

Keywords：Simulated charge method；Numerical conformal inverse transformation；Revised Gram Schmidt method；Double connected region

保角变换在物理学和工学领域［13］应用广泛。求解保角变换的方法分为解析法和数值法。解析法仅在一些特殊区域得到函数表达式。对于复杂区域的实际问题必须采用数值法求解函数。数值法主要有积分方程式法［4］、正交多项式法［5］和有限差分法等。模拟电荷法首次由德国人Steinbigler［6］提出。天野要等学者对模拟电荷法和数值保角变换等做了大量研究工作，提出了基于模拟电荷法的数值保角变换计算法（天野法）［712］。保角变换分为单连通区域保角变换［78］和多连通区域保角变换［12］，文中研究双连通区域数值保角逆变换问题［11］。

修正GramSchmidt法（MGS法）［13］是实现系数矩阵A的QR分解非常有效的算法之一。它是对古典GramSchmidt法（GS法）的改进，在数值上更加稳定。文中利用修正GramSchmidt法解双连通区域数值保角逆变换中的约束方程组，得到模拟电荷量和逆变换半径，构造近似保角逆变换函数，利用数值实验验证了所提算法的有效性。

1 双通区域数值保角逆变换计算法

本节给出基于模拟电荷法的双连通区域数值保角逆变换计算法。如图1，在w平面上，同心圆围成的区域μ＜w＜1，其中μ是小圆的半径，大圆是单位圆。约束点分布在边界上，模拟电荷点分布在同心圆围成的区域外部。通过数值保角逆变换将同心圆的边界及区域μ＜w＜1变换成z平面上两条封闭的Jordan曲线C1和C2所围成的区域D。其中，C1为外边界，C2为内边界。

+代表模拟电荷点；·代表约束点

图1 基于模拟电荷法的双连通区域数值保角逆变换

在不失一般性的情况下，假定映射函数f（0）=0，f（w）满足正规化条件f（∞）=∞，f′（∞）＞0时是正则的，即

f（w）=weg（w）+ih（w），μ＜w＜1（1）

g（w）是Dirichlet型势场问题

SymbolQC@

2g（w）=0，μ＜w＜1

g（w）=logz－logw，w=1

g（w）=logμ－logz－logw，w=μ（2）

的解。其中h（w）是g（w）的共轭调和函数。

根据模拟电荷法，g（w）可以用同心圆所围成的区域外部配置N个电荷点ζj作为极的对数势场的一次结合

G（w）=-∑Nj=1Qjlogw－ζj（3）

高度近似。这里h（w）可以用

H（w）=-∑Nj=1Qjarg（w－ζj）（4）

高度近似。另外，μ由M近似。

ζj（j=1，2，…，N）为电荷点，分布在给定的区域外部，即N/2个分布在单位圆的外部，另外N/2个分布在小圆的内部。因此双连通区域数值保角逆变换可以看成是单连通区域内部数值保角逆变换和单连通区域外部数值保角逆变换的组合。故边界条件也可以看作是单连通区域内部数值保角逆变换边界条件和单连通区域外部数值保角逆变换边界条件的组合。因此，未知电荷Qj可以通过满足下面的边界条件进行求解：

∑Nj=1Qjlogwi－ζj=logwi－logzi（5）

∑Nj=1Qjlogwi－ζj+logM=logwi－logzi（6）

又由条件g（∞）=0，h（∞）=0，可得：

∑Nj=1Qj=0（7）

其中，zi（i=1，2，…，N）是双连通区域数值正保角变换的约束点，wi是经过zi数值保角正变换得到的映射结果，即wi有N/2个分布在单位圆上，另外N/2个分布在小圆上。由式（5）到式（7）可得N+1维线性方程组如下：

a11…a1，N/2+1…a1，N0

aN/2+1，1…aN/2+1，N/2+1…aN/2+1，N1

aN1…aN，N/2+1…aNN1

01…10Q1

QN/2+1

QN

logM=logw1－logz1

logwN/2+1logzN/2+1

logwN－logzN

0（8）

其中，aij=logwi－ζj（9）

通过式（3）、式（4）和方程组（8）得到近似保角逆变换函数：

F（w）=weG（w）+iH（w）（10）

最后，利用G（w）、H（w）计算双连通区域数值保角逆变换。

2 基于修正GramSchmidt法的保角逆变换模拟电荷求解

将约束方程组（8）式写成标准线性方程组Ax=b的形式，其中Ax=b、x∈RN+1、b∈RN+1，约束方程的系数矩阵A是非对称的，修正GramSchmidt法（MGS法）是实现系数矩阵A的QR分解非常有效的算法之一。它是对古典GramSchmidt法（GS法）的改进。修正GramSchmidt法（MGS法）可用于求解大型非对称线性方程组，因为该方法在数值上更稳定且矩阵Q的逆由QT给出。根据参考文献［13］，可以得到修正GramSchmidt法求解约束方程组（8），其算法步骤如下：

Input A，b，x.

for k=1∶n

R（k，k）=‖A（1∶m，k）‖2；

Q（1∶m，k）=A（1∶m，k）/R（k，k）；

for j=k+1∶n

R（k，j）=Q（1∶m，k）TA（1∶m，j）；

A（1∶m，j）=A（1∶m，j）-Q（1∶m，k）R（k，j）；

end

end

y=Q（1∶m，k）＼b；

x=R（k，k）＼y；

Output x.

3 数值实验

为验证算法的有效性，在MATLAB13b环境下，以椭圆为边界的双连通区域为例，利用模拟电荷法对双方向的双连通区域数值保角变换进行数值实验。双连通区域数值保角逆变换的误差由error=max（maxC1f（w）－zi，maxC2f（w）－zi）确定［14］，其中zi是双连通区域数值保角正变换的约束点。为检验修正GramSchmidt法求解保角逆变换中约束方程组的有效性，双连通区域数值保角逆变换计算法的步骤如下：

Step1 通过双连通区域数值保角正变换得到约束点zi和映射点F（zi），将F（zi）的位置作为双连通数值保角逆变换的约束点wi的位置，即wi=F（zi）。

Step2 根据约束点wi设置保角逆变换模拟电荷点ζj及其他参数。

Step3 通过修正GramSchmidt法求解约束方程组（8）得到模拟电荷Qj。

Step4 对同心圆的边界及外部区域的每一个点通过式（3）和式（4）计算得到G（w）和H（w）后，代入近似保角逆变换函数（10）中计算对应的变换点。

例 椭圆为边界C1：x2a21+y2b21=1，C2：x2a22+y2b22=1，这里a1=7，b1=5，a2=5，b2=1。

图2—图5中粗实线表示边界，细实线表示等高线，约束点分布在边界上，黑色“+”表示模拟电荷点，约束点和模拟电荷点一一对应。图2表示双椭圆边界C1和C2围成的区域及其等高线和模拟电荷点位置。图3表示将双椭圆区域通过数值保角正变换后得到的同心圆区域及其等高线。从图2和图3可以看出对于C1和C2所围成的区域内的任意部分经过数值保角变换对应的仍然是变换后围成区域的内部，同时双椭圆边界经过保角变换对应变成了同心圆的边界。图5表示同心圆的边界及其等高线和模拟电荷点位置，图4是将图5通过F（w）映射成双椭圆区域。从图4和图5可以看出，通过数值保角逆变换又将同心圆边界及其围成的内部区域变换成了由C1和C2所围成的边界和内部区域。从而验证了修正GramSchmidt法的双连通区域数值保角逆变换计算法的有效性。图6给出的是双连通区域数值保角逆变换当N=95时边界及模拟电荷的分布情况。图7表示双连通区域数值保角逆变换的误差曲线，由图可看出，随着电荷点数的增加，保角逆变换误差减小，在N=95时，误差值为6.1×10－2。

4 结论

利用修正GramSchmidt法求解双连通区域数值保角逆变换模拟电荷法中的约束方程组，进而构造保角逆变换函数，提出了基于修正GramSchmidt法的双连通区域数值保角逆变换计算法。利用椭圆为边界进行了双连通区域数值保角逆变换数值实验，数值实验验证了所提计算法的有效性，并用等高线模拟了双连通区域数值保角逆变换的计算结果。

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［11］Amano K.Numerical conformal mappings of interior both directions domains based on the charge simulation method［J］.Trans Inform Process Soc Japan，1990，5：623632.

［12］王樱子，赖富明，吕毅斌，等.基于Padé迭代法的数值保角变换计算法［J］.数值计算与计算机应用，2016，37（4）：299306.

［13］G.H.戈卢布，C.F.范洛恩.矩阵计算［M］.北京：科学出版社，2001.

作者简介：王坚（1992— ），男，陕西西安人，硕士，助教，主要从事科学计算研究。