“分数”意义知多少

何怡 郜舒竹

【摘   要】分数是小学数学教学的重点和难点。分数是一个抽象概念，现行教材对分数意义的描述，偏向于“将单位‘1平均分成一份或若干份，表示这样的一份或几份就是几分之一或几分之几”这种理解。实际上，分数的意义不止于此。分数概念不是一个单一的结构，而是由多个子结构构成的。通过剖析分数概念的子结构，发现分数的意义并不是单一的，而是由多结构组成的多意义集合体。因此，分数在不同情境中蕴含的意义可能不同。

【关键词】分数的意义；过程—概念；分数子结构

分数在小学数学中之所以难教难学，与分数结构多元化带来的分数意义多样化有关。约翰·杜威（John Dewey）提出：“理解就是抓住意义。”［1］因此，理解分数的关键在于把握分数的意义。梳理分数的起源和发展历程，探究其生成过程和内在含义，剖析分数多元结构中的多样意义，有助于促进学生对分数的认识与理解。

一、分数意义的教学现状

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的学段目标中明确提出，要“理解分数、小数、百分数的意义”。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）在第三学段的学段目标中也强调了“理解分数和小数的意义”，并将描述目标的行为动词“理解”定义为：描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象间的区别和联系。然而，“理解分数的意义”具体指什么？分数的内涵又是什么？对于这些问题，许多教师仍存有一定程度的困惑。

为了探讨这些问题，笔者对以往的人教版教材进行了梳理，发现1962年出版的十年制学校小学课本《算术（第九册）》中将分数明确定义为：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数。而随着教材的不断迭代，人教版教材中不再明确出现分数的定义，仅强调“把单位‘1平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示”，并将这样的描述安排在“分数的意义”这一内容中进行教学。整理分析现行三个版本教材对分数意义的表述可以发现，它们均停留在对物体的部分—整体的理解上（如表1）。

表1 现行三个版本教材对分数的表述

[版本      对分数的表述       人教版教材

五年级下册    把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位。   苏教版教材

五年级下册    把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。表示其中一份的数，叫作分数单位。       北师大版教材五年级上册    把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。       ]

小学阶段的分数学习主要涉及分数的初步认识、分数的书写、分数大小比较以及简单的分数运算。如果学生在前期分数学习过程中没有充分理解分数的意义，那么他们后期在进行分数大小比较和分数运算时就容易产生误解。

分数大小比较有三种情况：同分母异分子、异分母异分子、异分母同分子。学生在进行分数大小比较时容易出现错误，如误认为[15 ]<[ 210]，原因是[15]表示占了1份，而[210]表示占了2份。实际上，[15 ]=[ 210]。学生如果仅知道分数部分—整体的意义，可能就会混淆平均分的份数和分数本身所处情境代表的意义。

在分数运算中，学生则容易出现直观性的误解。比如，将3个大饼平均分给10个人（如图1），正确的除法表达式应为3÷10=[310]，但部分学生可能会错误地列出“[ 110]+[110]+[110]=[330]”的算式。按照他们的理解，图1表示每个大饼被平均分成10份，每个人可以得到每个饼的1份，即每个人能从这30份大饼中得到3份。实际上，学生的这种思维偏差，是他们对分数意义中部分—整体的理解有误导致的。

分析上述情况可知，在分数学习中，有些错误源于学生对分数意义的把握不够准确。因此，教师需要明晰分数的意义，做到“知其然”更“知其所以然”。

二、分数意义的历史考察

深入探讨分数的意义可以发现，其历史背景与发展脉络具有丰富的内涵。英国华威大学教授大卫·托尔（David Tall）提出的“procept”过程—概念理论，将“process”与“concept”融合在一起，揭示了符号本质上是表示过程和概念的模糊性的混合体［2］。这种过程和概念的双重运用，凸显了过程—概念的二元性，如[14]既可以表示一个分数概念，也可以表示一个过程。进一步来说，分数符号的产生受到与之关联的过程的影响。因此，对分数意义的探究不应限于分数本身，还要包括伴随分数产生的过程。

历史资料显示，早在公元前600年到前300年间就存在分数。在古巴比伦，分数主要用于度量，不过只限于[12]、[13]之类的特殊分数。它们被视为度量意义上的具体量，而非用于表示单位“1”或“整体”的几分之几。与此同时，古埃及人则将较为复杂的分数写成多个单位分数相加的形式，如[25]=[13]+[115]。可见，古巴比伦人和古埃及人重视对单位分数的应用，每一个非单位分数都是由两个或两个以上的单位分数组合而成的。换言之，古巴比伦人和古埃及人将每个单位分数视为独立的整体或整体的一个组成部分。

我国历史上也有关于分数的记载。早在商代的甲骨文和西周时期的金文中，已经可以找到分数，主要用于度量和商业交易。随着历史的发展，春秋时期，古人就已拓展了分数的应用。比如，《左传》中记载：“先王之制：大都不过参国之一；中，五之一；小，九之一。”意思是：按照先王的制度，大的都城，不能超过国都的三分之一；中等的，不超过五分之一；小的，不超过九分之一。都城间面积大小的比较反映了我国古代对分数单位的运用。反观现行教材，对分数单位并未给予足够的重视，仅强调“整体被平均分后，其中的一份叫作分数单位”的单一解释。因此，为深化学生对分数的理解与应用，有必要明晰分数的生成和发展。

此外，众多学者对分数概念进行了深入研究，提出了不同的观点和理论。皮亚杰（Piaget）认为分数概念包括七个子概念：整体由可分离的元素组成、整体被分尽、划分时整体保持不变、所有部分相等、分数是一个确定数的部分、部分包含于整体中、被分的份数和每份的量之间存在联系［3］。他对分数概念的认识集中在对部分—整体的理解上。之后，克伦（Kieren）提出分数是由四个相互关联的子结构，即比、算子（Operator）、商和测量构成的，而部分—整体的认识渗透于这四种子结构中［4］。在此基础上，其他学者对分数概念的结构进行了深化、拓展。

贝尔（Behr）将分数概念的子结构细化为以下几个方面：将分数的测量子结构纳入部分—整体的理解、比表示两个量之间的关系、通过构造两个量之间的关系形成的新的量称为比率、商是表示运算过程的结果、算子子结构是数的变换等［5］。可见，分数概念在不断发展中衍生出不同的内在含义，且不同学者对分数概念的理解具有一定的关联性。因此，剖析这些子结构有助于挖掘分数的实质意义。

三、分数意义的拓展分析

分数的本质是数，数是对数量的抽象，用于描述量的变化。数的产生源于人们对量进行度量（Measurement）后，需要对度量结果加以描述［6］。学生在学习分数时，往往会受到先前所学的整数概念的影响。为此，教学时需明确整数和分数在表征物体数量方面的差异。如图2所示，一个立方体代表数字“1”，两个立方体代表数字“2”，以此类推。由此可以发现，整数是通过以“1”为单位不断累加获得更大的数的，即一个从单位到整体的过程。换言之，整数的获得是一个“以小变大”的过程。而分数的获得方式恰恰相反，它是先将整体按照特定需求“分”，再从整体中寻找单位。同一个整体，“分”的份数不同，所得到的分数单位也会有所不同，如[12]、[14]等。可见，分数的获得是一个“以大论小”的过程。总之，整数和分数虽然都是数，但二者在“整体”和“单位”之间的关系上却全然不同。因此，明确“整体”和“单位”之间的关系，能帮助学生更好地理解分数的意义。

图2 整数和分数代表物体示意图

在探究分数概念结构的过程中，部分—整体的概念频繁出现。现行教材对分数意义的认识也主要集中在部分—整体这一方面。不过，克伦并未将部分—整体视为分数概念的第五种子结构。贝尔则恰好相反。他主张部分—整体不仅应被视为分数概念的子结构，还应作为其他子结构的基础。实际上，对部分—整体概念的理解不仅是理解其他子结构的基础，还贯穿于理解其他子结构的过程中。

部分—整体概念的含义，即基于一个划分的情境，将一个连续量或是一组离散量划分为大小相等的几个部分，强调对连续量或离散量的“平均分”。如图3所示，[12]就是将一个连续量或是一组离散量划分为大小相等的两个部分。现行教材对分数的教学大多偏向对连续量的划分。

图3 部分—整体划分示意图

在探讨部分—整体的关系时，通常可分为三种理解方式：第一种理解为“一半”，这种理解在日常生活中比较常见，且与生活经验有密切联系，可用分数[12]表示。第二种理解是“交易”或“拿取”，这是教材中对分数的解释，即“将一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份”。第三种理解是“折叠或分裂”，多数学生对部分的认识大都是通过折叠的经验发展起来的［7］。如图4所示，通过某一对象的分裂或纸张的折叠可以得到若干大小相等的部分，且被划分的部分能组合成最初的整体，从而形成对部分—整体的理解。

对于分数的意义，除了从部分—整体的角度进行理解，还可以从测量、商、比、算子四个子结构出发进行深入分析。

首先是测量。有实验表明，学生学习分数时，对测量这一子结构的了解最少［8］。众所周知，在测量中，单位的重要性不言而喻，整数测量和分数测量存在区别。整数测量只需确定单位量并反复累加即可，分数测量则需在测量过程中确定最佳单位量。若单位量比被测量的量小，可以直接测量。若单位量比被测量的量大，则需要重新划分以获取更小的单位量，从而实现精确测量。

其次是商。商是除法运算的结果，用分数形式表述商，实现了除法运算结果的闭环。也就是说，当除法运算的结果为无理数时，采用分数表示更为准确。除表示数值外，分数还可以表示一个量。如图5所示，分数[34]既可以是一个数值，也可以是具体计算3÷4的结果。计算时，可以将3看作单位“1”并平均分成4份，或是将单位“1”中的单个量平均分成4份，取其中的1份，连续进行3次，然后将各部分取出的量累加，由此得到相应结果。简而言之，这是从整体中提取确定部分，在此基础上构造新的整体的过程。由此可见，商的子结构以部分—整体为基础，并在其中贯穿对部分—整体的理解。

图5 商的子结构示意图

再次是比。比的子结构是帮助学生理解“等值分数”的一条重要路径。比的子结构涉及两个量之间的比较，通过分数这一比较指标进行表述。如两杯糖水中糖和水的比较，第一杯中糖和水之比是[12]，第二杯中糖和水之比是[24]，此时两杯糖水中糖和水之间量的比值相等，也就是[12]=[24]。因此，分数中比的子结构具有协同性和不变性，同时融入了对部分—整体的理解。

最后是算子。算子的子结构可视为一个“放缩器”，初始时给定一个数，称为操作数（Operand），操作数通过乘除算子发生改变，因此算子在这个过程中充当变化量的角色。单个分数符号本身可视为一个算子。以[34]为例，扩大过程是确定对象后使其扩大3倍，缩小过程是确定对象后使其缩小[14]（如图6）。但无论是放大还是缩小，都是在原有对象上发生变化的。因此，理解算子这一子结构的意义有助于学生掌握分数乘除法运算。

数是对实物“量”的抽象表达。随着学生思维的发展，数逐渐从实物中抽离出来，以便进行复杂的数运算。因此，随着数学抽象程度的提高，仅依靠部分—整体的意义将无法满足学生对分数运用的需求。特别是在分数运算和大小比较方面，探索分数的多种子结构，可以揭示分数的多样意义，从而深化学生对分数的理解。

2022年版课标强调要培养学生的“三会”核心素养。首先，掌握分数概念的多种子结构，对把握分数概念的多样意义有不可替代的作用，它能够改变学生观察世界的眼光，使学生学会用数学的眼光观察现实世界，感受数学抽象之美。其次，要对分数概念产生多样的意义理解，学生需学会用数学的思维思考现实世界，运用数学思维应对不同情境。最后，分数概念的多种子结构为探索分数的丰富意义提供了一条路径，学生由此经历借助数学语言描述现实世界的过程，学会用数学的语言表达现实世界。

参考文献：

［1］DEWEY J. How we think［M］. Boston：D. C. Heath & Co，1933：137-138.

［2］GRAY E M，TALL D O. Duality，ambiguity，and flexibility：a “proceptual” view of simple arithmetic［J］. Journal for research in mathematics education，1994，25（2）：116-140.

［3］HIEBERT J，TONNESEN L H. Development of the fraction concept in two physical contexts：an exploratory investigation［J］. Journal for research in mathematics education，1978，9（5）：374-378.

［4］KIEREN T E. The rational number construct：its elements and mechanisms［M］//KIEREN T E Recent research on number learning. Columbus，OH：ERIC Clearinghouse for Science，Mathematics and Environmental Education，1980：125-149.

［5］BEHR M，LESH R，POST T，et al. Rational number concepts［M］//LESH R， LANDAV M. Acquisition of mathematics concepts and processes. New York：Academic Press，1983：91-125.

［6］蒋鑫源，郜舒竹.“数”与“量”的意义辨析［J］.教学月刊·小学版（数学），2021（9）：4-6，14.

［7］PITKETHLY A，HUNTING R. A review of recent research in the area of initial fraction concepts［J］. Educational studies in mathematics，1996，30（1）：5-38.

［8］CHARALAMBOUS C Y，PITTA-PANTAZI D. Drawing on a theoretical model to study students understandings of fractions［J］. Educational studies in mathematics，2007，64（3）：293-316．

（首都师范大学初等教育学院）