融通与转化：在测与算中发展学生的量感

“周长”属于“图形与几何”的教学内容，涉及“量与计量”的相关知识，是培养学生量感的内容之一。那么，在实际教学中，如何帮助学生积累操作的经验、发展学生的量感？如何将图形认识与测量统一进行教学，用结构化的方式来促进学生对概念的理解与把握呢？笔者进行了一些尝试和探索，收到了较好的效果。

[一、融通情境，化物为形]

1.观与思融通，认识一周。

师：三（1）班打算用同学们的照片做一个笑脸墙，布置小组将照片制作成各种形状。为了让照片更加美观，大家建议在照片上围上彩带。同学们，你们知道彩带要围在照片的哪个位置吗？

生：我以长方形的照片为例，彩带要围在它的四条边上。

2.指与说融通，感知一周。

师：同学们伸出小手和老师一起指一指。从长方形左上方的顶点开始向下围第一条宽边，再向右围第一条长边，接着向上围第二条宽边，再向左围第二条长边，一直围到开始的地方。

（学生伸出小手跟着教师边指边说）

生：刚刚我们围着长方形照片正好转了一圈。

师：数学上把“一圈”称为一周。知道了长方形照片的一周，那其他照片的彩带要围在哪儿呢？

3.思与辨融通，理解一周。

课件出示错例（如图1），学生辨析。

生：围五角星形照片的彩带不完整有缺口，少了一条边。

生：围月牙形照片的彩带围到照片里了，心形的却围到外面了。

师：到底怎么围才是照片的一周呢？

生：一周要从开始的地方再回到开始的地方。

生：还要沿着照片的边线围，不能往里也不能往外。

师：如果把这些照片脱去生活的外衣，你看到了什么？

生：一个个几何图形。

生：从图形的起点开始沿着边线再回到起点，就是图形的一周。

师：知道了一周，猜猜看，什么是周长呢？

生：图形一周的长度就是周长。

【思考】借助学生熟悉的照片和真实的问题情境，将彩带的位置想出来、指出来、辨出来，让“心中所想”“手中所指”“口中所言”结合起来，使得抽象的“一周”看得见、摸得着、说得清；同时从照片实物中抽象出几何图形，让“物的一周”与“形的一周”对接起来，加深了学生对周长概念的感知。

[二、融通测算，化周为线]

师：知道了彩带的位置，围每张照片需要多长的彩带呢？你想怎么解决？拿出学具袋中的照片和测量工具，选择合适的方法进行研究，并把研究过程记录下来。

（学生自主探究，小组合作活动）

1.量与算融通，理解长度累加。

组1：我们研究的是长方形照片。先用尺子测量长方形的长和宽两条边，长度分别是20cm和15cm，然后把四条边加起来，结果是70cm。

师：测量了两条边，为什么要四条边都加起来呢？

（学生解释后，教师用课件动态演示，顺次取下每条边的彩带累加起来，学生跟着边指边数，四条边合成了一条长线段）

生：（齐）一个20cm、一个15cm、一个20cm、一个15cm，合起来正好是一周。

师：怎么得到这70cm？

生：先测量再计算，把这四条边加在一起，20＋15＋20＋15＝70（cm）。

生：70cm就是累加后这条线段的长度，也是这个长方形一周的长度，我们就说长方形的周长是70cm。

组2：我们小组研究的是三角形照片。先测量了三角形每条边的长度，然后加起来是55cm。

师：我们再顺次取下这三条边，感受一下这55cm到底多长。

（师生合作，顺次取下三角形每条边，依次拼接起来，形成一条长线段）

师：这两张照片形状不同，我们在研究需要多长的彩带时，都是先做什么，再做什么？

生：都是先量一量，再算一算。

师：我们不妨把这种方法叫“先量再算”，还有哪些照片也可以用这样的方法研究它的周长？

生：五角星形照片、六边形照片……

2.取与量融通，感悟长度累加。

师：同学们，在研究这些直边图形的周长时还可以借助圆规，该怎么研究呢？

生：根据刚才的经验，我们可以用圆规的两脚分别截取长方形的每条边，然后顺次连接起来，最后直接量一量累加后的长线段的长度就是长方形的周长。

（教师用课件动态演示，如图2）

师：闭上眼睛想象一下，如果用圆规研究三角形的周长，应该怎么做呢？

生：先依次截取每条边，然后把它们累加到一起。测量累加后的这条线段的长度就是三角形的周长。

师：刚才我们用圆规先截取再测量，也可以称为“先取再量”。

3.化与量融通，理解长度不变。

师：直边图形的周长可以先量再算或者先取再量，那不是直边的图形呢？

组3：我们组研究的是圆形照片，先用绳子绕一圈，然后量绳子的长度，测量的结果约是50cm。

师：其他同学是怎么围的圆形？

生：在圆形照片上选择一个点，用绳子沿着它的边线围到起点的位置，在线上做好记号拉直绳子，就能测量出它的周长了。

师：为什么要把线拉直？

生：用绳子围绕圆一圈时，绳子是弯曲的，没法用直尺直接测量，拉直绳子就变成了一条线段，可以直接测量了。

（教师动态演示，揭下圆形一周的边线并拉直，贴到黑板上）

组4：我们组测量的是心形照片，用了同样的方法测得它的周长是52cm。

师：想一想，在解决这两张照片需要多长彩带的问题时，有什么相同点？

生：我们都是一绕一拉，然后测量拉直后绳子的长度。

师：我们借助绳子这样一绕一拉，把弯曲的边线变成了直直的线段，数学上叫作“化曲为直”，化曲为直后再测量直线段的长度，就得到它们的周长，这种先转化再测量的方法也可以说是“先化再量”。

师：回到笑脸墙，根据刚才的测量经验，再让你研究其他照片需要多长的彩带时，你会用什么方法？

（学生先将图形分类，再说测量方法）

师：研究了这么多照片，它们形状不同、方法不同，我们研究它们的周长时，有什么相同之处？

生：我们都是把图形的一周转化成一条线段，用一个数来表示。

【思考】教学中，一方面将隐性的“周”剥离出来，“化周为线”，让学生直观地认识到周长就是线段的长；另一方面在不断累加的活动中，学生深刻理解了周长的本质，领悟其有限可加性的特点，学会用“数”来描述周长。

[三、融通图形，化线为周]

师：我们认识了周长，所有图形都有周长吗？

（教师用一根绳子围成了一个“角”形状的图形）

生：这个图形没有周长，因为它有缺口。

师：怎么改变一下，它就有周长呢？

生：将上边折下一段围成一个封闭的三角形。

师：这条绳子的长度是120cm，那么这个三角形的周长是多少？

生：120cm。

师：现在老师把这个三角形移动到黑板上，它的周长是多少？移到教室外面呢……

生：三角形的周长始终不变。

师：谁能继续创造出不同的图形？它们的周长又是多少？

（学生继续创造出四边形、五边形……如图3）

师：回顾研究过程，这样开着口的图形没有周长，我们把它封闭起来围成三角形、四边形、五边形……就有了周长。刚才创造的过程中，什么变了？什么没变？

生：形状变了，周长没变。图形的周长，其实就是原来这条线的长度，我们可以用120cm表示。

【思考】教学中，教师没有停留在学生对周长概念中“封闭”的强化，而是在不断变化中让学生触摸数学度量的内核，学生由“线”围“形”、由“形”想“线”，深刻感受图形的周长就是线段的长度，理解了长度的运动不变性。

[四、融通算法，化周为数]

1.基本练习。（略）

师：你们是怎么计算这些图形的周长的？观察这些图形，你有什么发现？

2.组合图形。

师：把正三角形和正方形组合成一个图形，（如图4）它的周长怎么计算？

师：如果有这样一块草地，（图略）正中间修一条小路，小丽和小华分别沿着左右两部分的一周进行跑步，谁跑的路程更长呢？

（课件依次呈现各种小路的形状和位置，如图5，学生进行辨析）

【思考】教学中，教师利用“题组模块”发展学生的思维，融通各种算法，深入理解周长概念，灵活地解决问题，变式训练中采用“合”与“分”的方式，不断变化面的大小让学生辨析周的长度，发展了学生的量感。

（作者单位：山东临沂市罗庄区沂堂镇中心小学）