目标导向 标准可见 素养进阶

仅要求听讲、练习、考试，再听讲、再练习……不知道什么时候完成目标，什么时候可以不用再练习，这是很多学生日常学习的感受，或许也是部分学生厌烦学习数学的原因。因此，教师的课堂教学不仅要明确教学目标，还要让孩子明晰学习成功的表现或标准，促进主动学习，逐步形成讲道理、有条理、会反思的思维品质。基于此，本研究以人教版教材四年级下册“三角形内角和”一课为例，通过与学生分享学习目标、商定成功标准、诊断学习进程等环节，展示了从理解学习目标开始的可视化课堂教学的过程和价值。

片段一：展示要求，分享学习目标

师：上节课，学习了“三角形的分类”。回忆一下，我们是怎么分类的？

生：我们先测量三角形的边和角，然后依据测量结果再分类。按边分，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。按角分，三角形可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。

师：是的。我们通过测量，发现了这些特征。今天这节课，我们要继续测量角，进一步探究三角形中角的特征。

生：好像三角形的三个角加起来，和是180°。

生：我知道，三角形的内角和是180°。

师：看来很多同学已经知道三角形的内角和是180°这个结论，这是其他人的研究成果，你们能不能像数学家一样亲自求证三角形的内角和是180°呢？这就是这节课的学习目标。

（板书：三角形的内角和）

【评析】很多学生已经了解“三角形的内角和是180°”的知识和掌握“应用结论求角的度数”的技能，并以为这些就是这节课学习的全部目标。现在与学生分享学习目标后，学生清晰地知道学习目标不只是“知识与技能”，还有“过程与方法”，要像数学家一样去求证和表达三角形内角和的其他“秘密”……看到了已有认知与学习目标之间的差距，从而激发探究“三角形内角和为何是180°”的热情。

片段二：交流讨论，商定成功标准

师：大家一起看黑板上的锐角三角形，这个三角形的内角在哪里？（生指，师标识∠1、∠2、∠3）这位同学指得很准确，∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角，内角和是∠1、∠2、∠3的度数之和。

师：刚才说，求证三角形的内角和是180°是我们的学习目标。那么，你们觉得怎样才算成功证明三角形的内角和是180°呢？请小组讨论一下。

生：应该证明很多个三角形的内角和都是180°，不能只证1个或2个三角形。

师：你们的意思就是，要证明各类不同三角形的内角和都是180°，才更有说服力。

（板书：能证明各类不同三角形的内角和都是180°）

生：除此之外，能够证明三角形内角和刚好是180°，不能有误差。

师：也就是说，证明的过程和结果都必须十分严谨，不能有误差。

师：其他小组还有补充吗？通过刚才同学们的讨论，我们总结了证明三角形内角和是180°的两条成功标准：一是能证明各类不同三角形的内角和都是180°，二是没有误差。

【评析】“能证明各类不同三角形的内角和都是180°”的标准具体描述了“终点”该有的样子，帮助学生看见达成目标的路径，即需要去求证各类不同的三角形。“没有误差”帮助学生真正抓住该内容学习中的挑战，理解只有“严格证明或推理”才是成功的学习。

片段三：初步求证，诊断学习进程

师：现在已经明确了“成功标准”，下面同桌继续合作开始求证……经过一小段时间的研究，你们有了不少成果。哪个小组来汇报一下呢？

生：我们小组研究了三种不同三角形，分别是锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。我们用量角器进行测量，有一个刚好是180°，另外两个分别是179°和182°。

生：我们小组研究的是等边三角形、等腰三角形和三边不等三角形。我们也是用量角器进行测量，等边三角形[的内角和]是180°，等腰三角形是179°，另一个是178°。

师：刚才，两个小组已经汇报了研究情况，我们可以依据“成功标准”对照一下，判断他们有没有证明三角形的内角和是180°。谁来评价一下呢？

生：两个小组都是按照三角形的不同类别去研究的，第一条标准已经符合了，但第二条标准还没有符合，研究结果还是有误差的。

师：是的。这两个小组测量的时候，都考虑到了不同的三角形，但结果存在一定的误差，不能算成功。

师：假设我们测量得非常认真、细致，测量的结果三个内角的和刚好也是180°，你们认为这样就算成功了吗？

生：还不能算完全成功，只要是测量都会有误差。如果测量更加精密一点，结果可能就是179点几度或180点几度。

师：很多同学都同意他的说法，测量总是有误差的。但我觉得也是非常有价值的，至少我们知道了三角形的内角和是接近180°的，或者可以提出三角形的内角和是180°的猜想。

师：测量的方法虽然没有完全达到成功标准，但也有很多收获。还有其他方法吗？

生：我们小组用的是撕的方法，不管是哪种三角形，把三个角撕下来拼到一起，都成了一个平角，所以是180°。

生：我们俩是把三角形的三个角折到了一起（如图1），看上去与三角形的边重合了，所以三个角的和应该是180°。

师：这两种方法都很有意思，通过撕拼或折叠的方法，把三角形的三个角放在一起，然后认为拼成一个平角，所以三个角的和应该是180[°。]哪位同学来评价一下这两种方法？

生：三个角拼在一起看上去像平角，但并不一定就是一个真正的平角。

生：通过观察、测量都不能真正确定角的度数。

生：我们的这些方法都有误差，没有达到第二条标准。那么，有什么方法可以完全证明三角形的内角和就是180°呢？

【评析】成功标准既帮助学生了解已经掌握的“分类求证”的成就，增加学习自我效能感，也让学生发现自己所处的学习进程尚未达到“没有误差”的要求，提醒学生还需要有“严格证明或推理”的表现，并积极思考后续学习行动所需要的工具、技能和支持，为持续学习提供动力。正如2022年版课标的评价建议所言：以适当的方式，将学生一些积极的变化及时反馈给学生。让学生能说出他们学什么与为什么学，能讨论所应用的学习策略，能明确后续学习内容，能使用自我管理策略，最终成为自己的老师和终身学习者。

片段四：史料学习，再商求证方法

1.小组讨论，商定思路。

师：这的确有些难度，法国数学家帕斯卡曾在12岁的时候证明了三角形的内角和是180°，我们来看一下他是怎么做到的（播放视频）。看了视频之后，谁来说一说，帕斯卡是如何证明直角三角形的内角和是180°的呢？

生：帕斯卡先把一个长方形沿着对角线分开得到两个完全相同的直角三角形。长方形的每个角都是90°，内角和是360°，那么其中一个直角三角形的内角和就是180°。

（板书：90[°×4÷]2=180°）

师：的确如此，不管哪个直角三角形，它的内角和都是180°，因为它们都可以通过一个长方形沿对角线分割得到。

师：帕斯卡利用长方形内角和的旧知推理得出直角三角形的内角和是180°。那么，你们接下来准备怎么做呢？如何通过推理得出锐角三角形、钝角三角形的内角和呢？请你们小组讨论一下。

生：我们也可以像帕斯卡那样，通过已有的知识推理得出它们的内角和。

生：刚才，帕斯卡把已知长方形分割成直角三角形。现在，我们或许可以把已知的三角形分割成直角三角形来解决。

2.分类推理，获得体验。

师：你们说得很有道理。接下来，请挑选任意一个三角形，推理得出锐角三角形和钝角三角形的内角和，动手试试吧！

生：我给一个锐角三角形作了一条高，然后沿着高线把它分成两个直角三角形。已经知道直角三角形的内角和是180°，两个直角三角形就是360°，减nvLs+5/GR5Vj5W10YocWQiLSHjKP4R1FkAsOCrotAI0=去中间的两个直角，剩下的就是原来三角形的内角和，即360°-90°-90°=180°。

生：我把一个钝角三角形也沿着高线分成两个直角三角形。按照同样的方法做了一遍，也是推理得到钝角三角形的内角和是180°。

师：选择研究锐角三角形，顺利完成推理的请举手示意，选择研究钝角三角形……

师：看来，任何一个三角形都可以沿着高线分成两个直角三角形，然后推理得到三角形的内角和是180°（如图2）。那么，对照一下成功标准，我们的学习有没有达到目标呢？

生：已经达到。我们已经把各种三角形都一一证实，而且通过计算（推理）得出都是180°，没有误差。

师：的确如此。通过同学们的努力，我们经历了一场像数学家一样的思考，合乎逻辑地推理得到了三角形内角和是180°的结论。祝贺你们！

【评析】课堂上，学生尝试了测量、撕拼和分割的操作，体验从测量、观察到推理的求证过程，以及对他人或自己问题解决过程的评价。其实，就是经历一个连续的理解水平不断深化、思维方式不断发展的过程，形成重论据、有条理、合乎逻辑思维的思维品质，即学习持续进阶，推理意识等素养不断发展的过程。当然，培育能以目标为导向、善于自我诊断的可视化学习者并非易事，教师扮演着极其关键的角色。在日常数学课堂中，教师要开展专门的训练或渗透性的练习，帮助学生形成理解学习目标、应用成功标准、诊断学习进程、制订学习计划等能力，这也对教师教育和专业发展提出了新议题、新挑战，需要长远规划与努力。

（作者单位：浙江杭州市硅谷小学，浙江师范大学教育学院）