LF拓扑空间中[δTi-]分离性与加强的[δTi-]分离性

刘生云 王小霞 王玉焕

【摘   要】   随着不同类型推广型开集的深入研究，分离性公理也在不断发展。虽然关于LF拓扑空间中分离性的研究已经取得不少成果，但从不同层次结构的开集、闭集、远域等概念入手会得到不同的结果。为进一步丰富和完善LF拓扑空间中的分离性理论，利用[δ-]开集和[δ-]远域等概念，定义了LF拓扑空间中几种特殊的[δTi-]分离性和加强的[δTi-]分离性，证明了这几种分离性的一系列性质， 如[L-]好的推广、遗传性、可乘性、[δ-]弱同胚不变性等，并说明了弱诱导LF拓扑空间的[δTi-]分离性与其底空间的[δTi-]分离性的关系。

【关键词】   [δ-] 开集；[δ-]远域；[δTi-] 分离性；强[δTi-]分离性

Several [δTi-]Separability and Enhanced [δTi-]Separability

in LF Topological Space

Liu Shengyun， Wang Xiaoxia*， Wang Yuhuan

（Yan′an University， Yan′an 716000， China）

【Abstract】    With the in-depth study of different types of generalized open sets， the axiom of separability is also constantly developing. Although many achievements have been made in the study of separability in [LF]topological spaces， different results can be obtained by starting with concepts such as open sets， closed sets， and far-field with different hierarchical structures. Therefore， in order to further enrich and improve the separability theory in [LF]topological spaces， concepts such as [δ-]open sets and [δ-]far-field are utilized， Several special [δTi-]separability and enhanced [δTi-]separability in [LF]topological spaces are defined， and a series of properties such as [L-]good generalization， heritability， multiplicability，[δ-]weak homeomorphism invariance are proved. The relationship between the [δTi-]separability of weakly induced [LF] topological spaces and the [δTi-]separability of their base spaces is also explained.

【Key words】     [δ-]open set; [δ-]far field; [δTi-]separability; [δTi-]strong separability

〔中图分类号〕 O189.1                             〔文献标识码〕  A                〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）02- 0005 - 06

[收稿日期]   2023-11-24

[基金项目]   国家自然科学地区基金项目（12261090）；陕西省自然科学基础研究计划项目（2018JM1042）；延安大学研究生教育创新计划项目（YCX2024048）

[作者简介]   刘生云（2000- ），男，延安大学数学与计算机学院硕士研究生，研究方向：格上拓扑学及模糊数学。

[通讯作者]   王小霞（1978- ），女，硕士，延安大学数学与计算机学院副教授，研究方向：格上拓扑学及模糊数学。

0     引言

王国俊教授［1］引进了LF拓扑空间中的[Ti]分离性公理，并对[Ti]分离性的几大类经典性质进行了详细的证明，自此之后，诸多学者从不同层次结构的开集和远域入手对分离性进行了深入研究。如韩刚等［2］研究了LF拓扑空间的[T213]分离性，尤飞［3］研究了LF拓扑空间中的[T52]和[S52]分离性，他们证明了上述分离性与文献［1］定义的[Ti]分离性是协调的；王延军等［4］证明了[LF]拓扑空间中[T212]分离公理的相对可积性和可和性等重要性质，文献［5-8］也对不同拓扑空间中的分离性进行了阐述并研究了其若干性质，文献［9-13］对如何加强分离性进行了系统的阐述，并证明了加强后的分离性仍然具有一些好的性质。上述文献都是在[Ti]分离性公理的基础上进行推广与拓展，都未从不同类型的推广型开集入手进行研究，而且利用推广型开集引入的分离性是否具备[LF]拓扑空间中的几类性质仍然有待考量。为此，本文在前人研究的基础上，通过[δ-]开集和[δ-]远域等概念，定义了LF拓扑空间中几种特殊的[δTi-]分离性和加强的[δTi-]分离性，证明了这几种分离性具有[L-]好的推广、遗传性、可乘性、[δ-]弱同胚不变性等一系列性质，进而丰富和发展了LF拓扑空间中的分离性理论。

本文中[（LX，τ）]表示LF拓扑空间。[M*（LX）]表示[LX]中所有分子构成的集合，即[M*（LX）=][{xλ|x∈X，λ∈τ}]，[A-，A?，A′]分别表示[A∈LX]的闭包、内部和伪补。如果[A=A-?]，称[A]为正则开集，若[A=A?-]，则[A]为正则闭集。设[（LX，τ）]是LF拓扑空间，[xλ∈M*（LX）]，若[xλ][?][P]，则称[P]为[xλ]的[δ-]闭远域，所有[δ-]闭远域构成的集合记为[η-δ（xλ）]，这里[η-δ（xλ）={P∈δc（LX）|xλ][?][P}，][δc（LX）={A∈LX|A=A?-};]设[B∈LX，]若[?][xλ]的[δ-]闭远域[A]，使[B≤A]，则称[B]为[xλ]的[δ-]远域，所有[δ-]远域构成的集合记为[ηδ（xλ）]。

1     预备知识

定义1［14］   设[（LX，τ）]为LF拓扑空间，若对[?P∈]

[ηδ（xλ），有A][?][P]，则称[xλ∈M*（LX）]是[A∈LX]的[δ-]附着点；[A]的所有[δ-]附着点的并集称为[A]的[δ-]闭包，记为[A-δ]。

定义2［14］   若[A=A-δ，]则称[A]是[δ-]闭集；若[A]是[δ-]闭集，则[A′]是[δ-]开集；记所有的[δ-]开集构成的集合为[δo（LX）]，所有的[δ-]闭集构成的集合为[δc（LX）]。

定义3  设[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓扑空间，[f：LX11→]

[LX22]为序同态，若[?A∈][δo（LX2）]，有[f-1（A）∈δo（LX1）]，则称[f]为[δ-]连续序同态。若[?]一一的满序同态[f]，使[f]与序同态[f-1：LX22→LX11]都[δ-]连续， 则称[（LX11，τ1）]与[（LX22，τ2）][ δ-]同胚，称[f]为[δ-]同胚序同态。

被[δ-]同胚序同态所保持的性质为[δ-]同胚不变性。

定义4［15］  设[L1和L2]是两个[F]格，[X]和[Y]是两个非空分明集，[p：X→Y]是分明映射， [q：L1→L2]是序同态， 则称[f： LX1→LY2|f（A） （y）=∨{q（A（x））|p（x）=y， x∈][X，]

[A∈LX1，y∈Y}]为广义Zadeh型函数，记作[f=pq]。

定义5  设[（LX11，τ1），（LX22，τ2）]是LF拓扑空间，若[?]一一的满的广义Zadeh型函数[f=][pq：（LX11，τ1）→（LX22，τ2）]且[f]与[f-1]都[δ-]连续，则称[（LX11，τ1）]与[（LX22，τ2）][δ-]强同胚， [f=pq]为[δ-]强同胚序同态。

被[δ-]强同胚序同态所保持的性质称为[δ-]弱同胚不变性。

定义6［1］   设[（LX，τ）]是LF拓扑空间，当[L]为全序格时，若[?A∈LX，r∈L]，都有[χlr（A）∈τ，]则称[（LX，τ）]是弱诱导空间。这里[lr（A）={x∈X|A（x）][?][r]，[χD]是[X]的子集[D]上的特征函数，若[?λ∈L，]  [X]上取常值[λ]的LF集都属于[τ]，则称[（LX，τ）]是[满层空间]。若[[τ]]表示[τ]中全体分明开集的承集构成的集族，则称[（X，[τ]）]为[（LX，τ）]的底空间。

定义7［9］ 设[（LX，τ）]是LF拓扑空间，[A，B∈LX]，[A-（0）?B（0）=A（0）?B-（0）=?]则称LF集[A]和[B]是强隔离的。

引理1［1］ 设[（LX，][ ωL（]

））是由分明拓扑空间[（X，]

）拓扑生成的LF拓扑空间，则[（LX，][ ωL（]

））是[δ]完全正则空间的充要条件为[（X，]

[）]是[δ]完全正则空间。

引理2［1］  设[（LX，τ）]是可拓扑生成的LF拓扑空间，则其子空间[（LY，τ|Y）]也是可拓扑生成的[LF]拓扑空间。

引理3［16］  设[f=pq：LX1→LY2]是广义Zadeh型函数，[B∈LY2]，则[f-1（B）=q-1?B?p]。

引理4［16］  设[f=pq：LX1→LY2]是广义Zadeh型函数，若[B]是[LY2]的分明集，则[f-1（B）]是[LX1]的分明集。

引理5［17］  若[f：（LX，τ）→（LY，ε）]是[δ-]连续开序同态，则[F∈ε′]，[f-1（F?-）≤（f-1（F））?-]。

引理6［1］  若[{Xt，τt）}t∈T]是一族分明拓扑空间[（T]

[≠?）]，[（X，τ）]是其积空间，则[（LX，ωL（τ））][=t∈T（LXt，ωL（τt））]。

2     [δTi-]分离性及其性质

定义8   设[（LX，τ）]是LF拓扑空间，则

（1）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，[λ ≠ μ]，  [?P∈ηδ（xλ），][ Q∈]

[ηδ（yμ）]使得[yμ≤P，xλ≤Q]，则称[（LX，τ）]为[δT′1]空间。

（2）[?]两个不可比较的分子[xλ， yμ]，[?P∈ηδ（xλ），]

[Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，则称[（LX，τ）]为[δT′2]空间。

（3）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，当[x≠y]，[λ=μ]时，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P∨Q=1]，则称[（LX，τ）]为弱[δT2]空间或弱[δ]Hausdorff 空间。

（4）[?xλ，yμ∈M*（LX）]，当[x≠y]时，有[P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?∨Q?=1]，则称[（LX，τ）]为[δT212]空间。

（5）[?xλ， yμ∈M*（LX）]，当[x≠y]  时，有  [P∈η-δ（xλ），]

[Q∈η-δ（yμ）]使得[P?-∨Q?-=1]，则称[（LX，τ）]为[δT213]空间。

（6）[?A，B∈LX]，[A，B]为非零准分明[δ-]开集，且[A]和[B]是强隔离的，[?P∈ηδ（xλ），Q∈ηδ（yμ）]使得[P∨Q=1]，则称[（LX，τ）]为[δ]完全正规空间。

（7）[?]非零的准分明[δ-]闭集[A]和LF点[xλ]，当[x?suppA]时，有连续的[L]值Zadeh型函数[f：（LX，τ）→I*（L）]，使[xλ≤f-（0*）， A≤f-（1*）]，则称[（LX，τ）]为[δ]完全正则空间。

2.1   L-好的推广

定理1   设[（LX，ωL（τ））]是由分明拓扑空间[（X，τ）]拓扑生成的LF拓扑空间，则[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空间的充要条件为[（X，τ）]是[δT213]空间。

证明： 由[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空间，知[（LX，ωL（τ））]为[δT2]空间，因为[δT2]空间是[L-]好的推广，从而[（X，τ）]是[δT2]空间。又因为在分明拓扑空间中[δT213]空间等价于[δT2]空间，故[（X，τ）]是[δT213]空间。反之，设[（X，τ）]是[δT213]空间，[x，y∈X]且[x=y]，[λ，μ∈M（L）]，取[δ-]开集[U，V]使[x∈U，y∈V]且[U-??V-?=?]，令[P=χU′ ，Q=χV′]，则[P∈η-δ（xλ），Q∈η-δ（yμ）]。又[（χU′）-?=χU′?-，][（χV′）-?=χV′?-]，

所以[P-??Q-?=χU′?-?χV′?-=χU′?-?V′?-=χ（U-??V-?）′=χX]

[=1]，故[（LX，ωL（τ））]是[δT213]空间。

［注］其中[δT2]空间定义为：设[（LX，τ）]为LF拓扑空间，若[?xλ，xμ∈M*（LX），]当[x≠y]时，有[P∈ηδ（xλ）]和[Q∈ηδ（yμ）]使[P∨Q=1]，则称[（LX，τ）]为[δT2]空间。[δT2]空间是[L-]好的推广的证明可参考文献［1］。

推论1   几种[δTi-]分离性都是[L-]好的推广。

2.2   [δ-]弱同胚不变性

定理2   设[（LX，τ）]是[δT′2]空间，[f： （LX，τ）→（LY，η）]是[δ-]强同胚序同态，则[（LY，η）]也是[δT′2]空间。

证明： 任取[LY]中两个不可比较的分子[xλ，yμ]，[f]为强同胚序同态，则[f-1（xλ）=（f-1（x））λ]，[f-1（yμ）=（f-1（y））μ]是[LX]中两个不可比较的分子，这时[?P∈ηδ（（f-（x））λ），]

[Q∈ηδ（（f-（y））μ）]使得[P∨Q=1]，而[f（P）（x）=∨{P（z）|f（z）]

[=x，z∈X}=P（f-1（x））≥λ]，[f（Q）（y） =∨{Q（z）|f（z）=y， ][z∈]

[X}= Q（f-1（y）） ≥μ，]且[f（P），f（Q） ∈η′，] 所以[f（P）∈ηδ（xλ），]

[f（Q）∈ηδ（yμ）]。由[P∨Q=1]知，[f（P∨Q）=f（P）∨f（Q）]

[=1]，所以[（LY，η）]是[δT′2]空间。

推论2   几种[δTi-]分离性都是[δ-]弱同胚不变性。

2.3   遗传性

定理3   设[（LX，τ）]是由分明拓扑空间拓扑生成的LF拓扑空间，若[（LX，τ）]是[δ完全正则空间]，则其子空间[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正则空间。

证明：设[（LX，τ）]是由[（X，]

[）]所生成，即[τ=ωL]（

）。如果[（LX，τ）]是[δ完全正则空间]，则由引理1知[（X，]

[）]是[δ]完全正则空间，此时易得[（Y，]

[Y]）也是[δ]完全正则空间。再由引理2得，[τ|Y=ωL]（

[Y] ）即[（LY，τ|Y）]是由[（Y，]

[Y]）拓扑生成的[LF]拓扑空间，因为[（Y，]

[Y]）是[δ]完全正则空间，所以由引理1知[（LY，τ|Y）]也是[δ]完全正则空间。

推论3   几种[δTi-]分离性都具有遗传性。

2.4   可乘性

定理4   设[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的积空间，如果[?t∈]

[T]，[（LXt，τt）]是[δT212]空间[（δT′1空间，][ δT′2][空间， 弱δT2空间 ）]，则[（LX，τ）]是[δT212]空间[（δT′1空间， δT′2空间，弱δT2空间）]；反过来，若[（LX，τ）]是[δT212]空间[（δT′1]空间，[δT′2]空间，弱[δT2]空间），则对任意[t∈T]，当[（LXt，τt）]是满层空间时， [（LXt，τt）]是[δT212]空间[（δT′1空间， δT′2空间，弱δT2空间）]。

证明： 以[δT212]空间为例进行证明。

设[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT212]空间，[x=xtt∈T∈X]，[y=ytt∈T∈X]且[x≠y]，[λ， μ∈M（L）]，任取[r∈T]，因为[（LXrr，τr）]是[δT212]空间，所以[xr，yr∈Xr]，[xr≠yr]，则有[Ar∈]

[η-δ（（xr）λ），][ Br∈η-δ（（yr）μ），] 使[A?r∨B?r=1]。这里[（xr）λ，（yr）μ∈]

[M*（LXrr）]，则[P-1r（Ar）， P-1r（Br）]是[（LX，τ）]中的分明集，且当[x，y∈X]时，由引理3得

[P-1r（Ar）（x）=q-1r?Ar? Pr（x）=q-1r（Ar（xr））] ；

[P-1r（Br）（y）=q-1r?Br?Pr（y）=q-1r（Br（yr））] ；

且[xλ][?][P-1r（Ar）]，[yμ][?][P-1r（Br）]。[?z∈X] 有

[[P-1r（Ar）]?∨[（P-1r （Br））?]（z）]

[= [P-1r（Ar（z））]?][∨][[P-1r（Br（z））]?]

[=[q-1r（Ar（zr））]?∨[q-1r（Br（zr））]?=q-1r[A?r（zr）∨B?r（zr）]=q-1r（1）=1]

因此，[（LX，τ）]是[δT212]空间。反之，设[（LX，τ）]是[δT212]空间，[?r∈T]，[（LXrr，τr）]是[满层空间]，任取一点[x=xtt∈T∈X]，则[（LX，τ）]的过点[x]且平行于[（LXrr，τr）]的[LF]平面[（LXt～，τ|Xt～）][δ-]强同胚于[（LXrr，τr）]，因为[（LXt～，τ|Xt～）]是[（LX，τ）]的子空间，所以[（LXt～，τ|Xt～）]是[δT212]空间，而[δT212]分离性是[δ-]弱同胚不变性，所以[（LXrr，τr）]是[δT212]空间。

定理5   设[（LX，τ）]是[{LXt，τt}t∈T]的积空间，若[?t∈T]，

[（LXtt，τt）]是[满层空间]，则[（LX，τ）]是[δT213]空间的充要条件为[（LXtt，τt）]是[δT213]空间。

证明： 设[?t∈T]，[（LXtt，τt）]是[δT213]空间，[x=xtt∈T∈X]，

[y=ytt∈T∈Y]，[λ， μ∈M（L）]且[x≠y]，则[?r∈T]使[xr≠yr。] 因为[（LXrr，τr）]是[δT213]空间，所以[?（xr）λ，（yr）μ∈M（LXr），]

有[Ar∈η-δ（（xr）λ）]，[Br∈η-δ（（yr）μ）]使[A?-r∨B?-r=1]。又[（LXrr，τr）]是[满层空间]，则映射[Pr：LX→LXr]是[δ-]连续开序同态，由引理5知，

[P-1r（A?-r）≤（P-1r（Ar））?-]，[P-1r（B?-r）≤（P-1r][（Br））?-，]

[P-1r（A?-r）∨][P-1r（B?-r） = P-1r（A?-r∨B?-r）]

[=1≤（P-1r][（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-]，

即[（P-1r（Ar））?-∨（P-1r（Br））?-][=1。]又由[（xr）λ][?][Ar]可知，[λ][?][Ar（xr）=ArPr（x）=P-1r（Ar）（x）。]所以[xλ][?][P-1r（Ar）]，同理[yμ][?][P-1r（Br）]，即[P-1r（Ar）∈η-δ（xr）]，[P-1r（Br）∈η-δ（yμ）]，故[（LX，τ）]是[δT212]空间。反之证明同定理4。

定理6   设[{（LXt，τt）}t∈T]是一族[δ]完全正则的LF拓扑空间，[（LX，τ）]是其积空间，若[?t∈T]，[{（LXt，τt）}t∈T]都是可拓扑生成的，则[（LX，τ）]是[δ]完全正则空间。

证明： 设[?t∈T]，[τt=ωL（]

[t][）]，其中

[t]是[Xt]上的分明拓扑，由引理1可知

[t]是[δ]完全正则的，由引理6知，[τ=ωL（]

[）]，这里

是[{]

[t][}t∈T]的乘积空间，

自然是[δ]完全正则的，再由引理1可知[（LX，τ）]是[δ]完全正则空间。

2.5   弱诱导空间与其底空间的关系

定理7   当[L]为全序格时，弱诱导空间[（LX，τ）]是[δ]完全正规空间[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ]完全正则空间）的充要条件是其底空间[（X，[τ]）]是[δ]完全正规空间[（δT′1，δT′2，弱δT2，δT212]，[δT213]，[δ完全正则空间）]。

证明： 设[（LX，τ）]是[δ完全正规空间]，[A]和[B]是[（X，[τ]）]中的两个子集，满足[A∧B-=][A-∧B=?]，于是[（χA）（?）∧（χB-）（?）=（χB）（?）∧（χA-）（?）=?]。因为[（LX，τ）]是弱诱导空间，从而[χA-，  χB-]是[（LX，τ）]中的[δ-]闭集，[（χB）-≤χ-B]，[（χA）-≤χ-A]，则[（χB）-（?）≤（χ-B）（?）]，[（χA）-（?）≤（χ-A）（?）]，因此，[（χA）（?）∧（χB）-（?）=（χB）（?）∧（χA）-（?）=?]。因为[（LX，τ）]是[δ]完全正规空间，故[?P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]使得[P∨Q=1]，这时[P′∧Q′=?]。因为[?y∈A]，[P（y）≠1]于是[P′（y）>0]，即[y∈P′（?）]，所以[A≤P′（?）]，同理可得[B≤Q′（?）]。由于[（LX，τ）]是弱诱导空间，则[P′（?）]，[Q′（?）]是[（X，[τ]）]中的两个互不相交的[δ-]开集，故[（X，[τ]）]是[δ完全正规空间]。

反之，设[（X，[τ]）]是[δ完全正规空间]，[?A，B∈LX]，[A，B]是非零准分明集，且[A（?）∧B-（?）=][B（?）∧A-（?）=?]，取[μ，ε∈M（L）] 满足[?x∈X，A（x）>0?A（x）>μ]，[B（x）>0]

[?B（x）>ε]，记

[E1={y∈X|A（y）≥μ}，][E2={y∈X|A-（y）≥μ}，]

[F1={y∈X|][B（y）][≥ε}，F2={y∈X|B-（y）≥ε}]，

[A（?）=E1][?E2?A-（?）]，[B（?）][=F1?F2?B-（?）]，因为[（LX，τ）]是弱诱导空间，所以[E2]，[F2]是[（X，[τ]）]中的[δ-]闭集，所以[（A（?））-∧B（?）][=][A（?）∧（B（?））-=?]。由于[（X，[τ]）]是[δ]完全正规空间，故[?δ-]开集[U，V]使[A（?）?U，][B（?）?V=?]，令[P=χU′]，[Q=χV′]，则[P∈η-δ（A）]，[Q∈η-δ（B）]且有[P∨Q=1]，因此[（LX，τ）]是[δ完全正规空间]。

3     加强的[δTi-]分离性及其性质

定义9   设[（LX，τ）]是LF拓扑空间，则

（1）若每个LF点[xλ]都是[δ-]闭集，则称[（LX，τ）]为[SδT1]空间；

（2）若[?]2个LF点[xλ]与[yμ]，当[x≠y]时，有[P∈][ηδ（xλ）]，

[Q∈ηδ（yμ）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为强[δ]Hausdorff，称[SδT1]的强[δ]Hausdorff空间为[SδT2]空间；

（3）若[?]非零的准分明[δ-]闭集[A]和任一LF点[xλ]，当[x?suppA]时有[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]使得[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为强[δ]正则空间，称[SδT1]的强[δ]正则空间为[SδT3]空间；

（4）若[?]2个非零的准分明[δ-]闭集[A，B]，当[suppA?suppB=?]时，有[P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为强[δ]正规空间，称[SδT1]的强[δ]正规空间为[SδT4]空间；

（5）若[?]2个不可比较的分子[xλ]与[yμ]，即[xλ≤yμ，yμ≤xλ]，[?P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为[SδT′2]空间；

（6）若[?]2个[LF]点[xλ]与[yμ]，当[x≠y]，[λ=μ]时，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为加强的弱[δ]Hausdorff或SR[δ]Hausdorff空间，称[SδT1]的SR[δ]Hausdorff空间为[SRδT2]空间；

（7）若对[xλ，yμ∈M*（LX）]，当[x≠y] 时，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?（x）=1]或[Q?（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为[SδT212]空间；

（8）若对[xλ，yμ∈M*（LX）]，当[x≠y]时，有[P∈η-δ（xλ）]，[Q∈η-δ（yμ）]使[?x∈X]，[P?-（x）=1]或[Q?-（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为[SδT213]；

（9）若[A，B∈LX]，其中[A，B]都是非零准分明[δ-]开集，且[A与B]是强隔离的，则[?P∈ηδ（A）]，[Q∈ηδ（B）]，使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，则称[（LX，τ）]为强[δ]完全正规空间。

3.1   L-好的推广

定理8   设[（LX，ωL（τ））]是由分明拓扑空间[（X，τ）]拓扑生成的LF拓扑空间，则[（LX，ωL（τ））]是[SδT3]空间的充要条件为[（X，τ）]是[δT3]空间。

证明： 由文献［1］定理5.4.3和定理5.3.3可知，只需证明强[δ]正则空间的充分性即可。

设[（X，τ）]是[δ]强正则空间，[A]是准分明[δ-]闭集，有[ε>0]，使[A（y）>0]当且仅当[A（y）≥ε][（y∈X）]。设[xλ]是[LF]点，[x?suppA]，此时[suppA=τε（A）]是[（X，τ）]中的[δ-]闭集，所以由[（X，τ）]的[δ]强正则性可知，有开集[U，V∈τ]使[x∈U]，[suppA?V]且[U?V=?]。令[P=χU′]，[Q=χV′]，则[P∈ηδ（xλ）]，[Q∈ηδ（A）]且[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，所以[（LX，ωL（τ））]是[δ]强正则空间。

推论4   [SδTi]空间[（i=1， 2， 3， 4）]和  [SδT′2]、  [SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、强[δ]完全正规空间都是[L-]好的推广。

3.2   [δ-]弱同胚不变性

定理9   设[（LX1，τ1）]和[（LX2，τ2）]是LF拓扑空间， [f： LX1][→LX2]是[δ-]强同胚序同态，若[（LX1，τ1）]是[SδT2]空间，则[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空间。

证明： 设[y1，y2]是[（LX2，τ2）]中的任意2个LF点，且[y1∧y2=0X]，则[?][（LX1，τ1）]的2个LF点[x1，x2]，使得[f（x1）=y1，f（x2）=y2]且[x1∧x2=0X]。由于[（LX1，τ1）]是[SδT2]空间，则[P∈ηδ（x1）]，[Q∈ηδ（x2）]，使得[?x∈X1]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，令[U=f（P）]，[V=f（Q）]，由[f]是单的[δ-]连续序同态可知，[?x∈X2]，[U∈ηδ（y1）]，[V∈ηδ（y2）]，且有[U（x）=1]或[V（x）=1]，因此[（LX2，τ2）]也是[SδT2]空间。

推论5   [SδTi]空间[（i=1， 2， 3， 4）] 和[SδT′2]、[SRδT2]、

[SδT212]、[SδT213]、强[δ]完全正规空间都具有[δ-]弱同胚不变性。

3.3   遗传性

定理10   若[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空间，则它的任一子空间也是SR[δ]Hausdorff空间。

证明： 设[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空间[（LX，τ）]的子空间，[xλ，yλ]是[Y]上任意两个LF点[（x≠y）]，这时[xλ*，yλ*]是[X]上任意两个LF点，由于[（LX，τ）]是SR[δ]Hausdorff空间， 有[P∈η-δ（xλ*）]，[Q∈η-δ（yλ*）]使[?x∈X]，[P（x）=1]或[Q（x）=1]成立，这时[P|Y∈η-δ（xλ）]， [Q|Y∈η-δ（yλ）]，对任意[z∈Y]，有[（P|Y）（z）=1]或[（Q|Y）（z）=1]，因此[（LY，τ|Y）]是SR[δ]Hausdorff空间。

推论6   [SδTi]空 间 [（i=1， 2， 3 ，4）]和  [SδT′2]、[ SδT212]、

[SδT213]、强[δ]完全正规空间都具有遗传性。

3.4   可乘性

定理11   设[（LX，τ）]是[{（LXt，τt）}t∈T]的乘积空间，若[?t∈T]，[（LXt， τt）]是强 [δ]Hausdorff 空间  [（SδT1、SδT2、]

[SδT′2、] [SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空间[）]，则[（LX，τ）]是强[δ]Hausdorff空间[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空间[）]；反之，若[（LX，τ）]是强[δ]Hausdorff空间[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空间[）]，则[?r∈T]，当[（LXr，τr）]是满层空间时，它是强[δ]Hausdorff空间[（SδT1、SδT2、SδT′2、SRδT2、SδT212]、[δ]Hausdorff空间[）]。

证明： 以强[δ]Hausdorff空间为例进行证明。

设对任意[t∈T]，[（LXt，τt）]是强[δ]Hausdorff空间，[xλ，yμ]是[X]上的2个LF点，且[x≠y]，设[x=xtt∈T]，[x=xtt∈T]，则有[r∈T]，使[xr≠yr]。这时[（xr）λ]与[（yr）μ]是[Xr]上的LF点，因为[（LXr，τr）]是强[δ]Hausdorff空间，所以[?δ-]闭集[Br，Cr∈τ′r]使[λ][?][Br（xr）]，[μ][?][Cr（yr）]，且对任意[zr∈Xr]，[Br（zr）=1]或[Cr（zr）=1]。令[B=P-1r（Br）]，[C=P-1r（Cr）]，由[Pr][δ-]连续可知，[B]与[C]是[（LX，τ）]中的[δ-]闭集，且有[λ][?][P-1r（Br）（x）]，[μ][?][P-1r（Cr）（y）]，所以[B∈η-δ（xλ）]，[C∈η-δ（yμ）]，设[z=ztt∈T]是[X]上任一分明点，则[B（z）=P-1r（Br）（z）=Br（zr）]

[=1]或[C（z）=Cr（zr）=1]，所以[（LX，τ）]是强[δ]Hausdorff空间。

反过来，设[（LX，τ）]是强[δ]Hausdorff空间，[r∈T]，[（LXr，τr）]是满层空间，由文献［1］定理2.8.9知，[（LXr，τr）][δ-]强同胚于[（LX，τ）]的某子空间，从而由定理9可知[（LXr，τr）]是强[δ]Hausdorff空间。

3.5   弱诱导空间与其底空间的关系

定理12  设[（LX，τ）]是弱诱导的LF拓扑空间，则[（LX，τ）]是强[δ]完全正规空间的充要条件为其底空间[（X，[τ]）]是强[δ]完全正规空间。

证明： 参考定理7的证明。

推论7   设[（LX，τ）]是弱诱导的LF拓扑空间，则[（LX，τ）]是[SδTi]空间[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空间，当且仅当其底空间[（X，[τ]）]是[SδTi]空间[（i=1，2，3，4）]或[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]空间。

4     结论

本文以[δ-]开集和[δ-]远域等概念为工具，给出了LF拓扑空间中[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]、[δ]完全正规、[δ]完全正则分离性的定义，得出了这几种分离性都具有遗传性和[δ-]弱同胚不变性且都是[L-]好的推广；[δT′1]、[δT′2]、[弱δT2]、[δT212]、[δT213]分离性具有可乘性；当[L]为全序格时，[（LX，τ）]是[δTi-]空间当且仅当其底空间[（X，[τ]）]是对应的[δTi-]空间。最后定义了[SδTi]空间[（i=1，2，3，4）]和[SδT′2]、[SRδT2]、[SδT212]、[SδT213]、强[δ]完全正规空间，得出并证明它们具有LF拓扑空间中[δTi-]分离性的主要结论，有助于分离性理论的进一步丰富与拓展。当然利用推广型开集不仅可以用来研究分离性，还可以用来研究紧性，比如可以利用[δ-]开集引进[δ-]紧性的概念，进而去研究[δ-]紧空间中的相关性质。

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