分球人盒问题例析

章舜龙

在求解排列、组合问题的过程中，我们经常会遇到一类“分球入盒”的问题或可转化为“分球入盒”模型的问题。不少同学由于不能正确对待“球”和“盒”的顺序而导致错解。下面例析“分球入盒”问题，以期帮助同学们厘清思路，顺利解答该类问题。

一、球同盒同

例1 将7个相同的小球，放入4个相同的箱子中。

（1）每个箱子中至少有一个小球（即箱子不空），有多少种不同的放法？

（2）若箱子允许空，又有多少种不同的放法？

分析：箱子相同时不需要考虑箱子的顺序，球相同也无须考虑球的差别，只要考虑各个箱子中放入小球的数量多少，故可用“穷举法”求解。

解：（1）箱子不空有3 种放法：{1，1，1，4}，{1，1，2，3}，{1，2，2，2}。

（2）箱子允许空共有11种放法：

{0，0，0，7}，{0，0，1，6}，{0，0，2，5}，{0，0，3，4}，{0，1，1，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，3}，{0，2，2，3}，{1，1，1，4}，{1，1，2，3}，{1，2，2，3}。

点评：“穷举法”是求解排列组合问题中最常见的数学思想方法。此时，“无招胜有招”。

二、球同盒不同

例2 将7个相同的小球，放入4个不同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少种不同的放法？

（2）若箱子允许空，有多少种不同的放法？

分析：本题与例1的不同点是这里的4个箱子是不同的，需考虑箱子间的顺序，若还用穷举法解就显得繁杂，可将问题转化为方程正整数解的问题，进而利用“插空法”求解。

解：（1）设第i 个箱子里放入mi（i=1，2，3，4）个球，则问题转化为求不定方程m1 +m2+m3+m4=7（*）的正整数解的个数。

将7个小球排成一排，用3 个隔板将7个小球分成四份，每一种分隔方法对应一种放法，7个小球之间有6个间隙，在其中任选3个插入隔板，有C36=20（种）方法。故共有20种不同的放法。

（2）箱子允许有空，等价于求（*）式的非负整数解个数。

设xi =mi +1（i=1，2，3，4），问题转化为求不定方程x1+x2+x3+x4=11的正整数解的个数。

仿（1）知共有C3 10=120（种）不同方法。

对于（2）也可这样思考，此时把7个小球与3个隔板等同看待，认为共有10个元素，将它们排成一列，每一个排列对应一种放法，如OOOOO||OO|对应的放法就是：{5，0，2，0}，10个位置任选3个放隔板，其余7个位置放小球，共有C3 10=120（种）不同方法。

点评：求解相同元素的分配问题用“隔板法”，将n 个相同的元素分成m 份（n，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用m -1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm -1 n-1 。

三、盒同球不同

例3 将7个不同的小球，放入4个相同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少种不同的放法？

（2）箱子允许空，有多少种不同的放法？

分析：此情形中要注意球是不同的，需考虑其差异，而箱子是相同的就不需要考虑其顺序，故常用“分类累加法”求解。

解：（1）箱子不空，分为以下三类：

①4个箱子中小球数是{1，1，1，4}，放法有C1 7C1 6C1 5C4 4/A33=35（种）;

②4个箱子中小球数是{1，1，2，3}，放法有C1 7C1 6C2 5C3 3/A22=210（种）;

③4个箱子中小球数是{1，2，2，2}，放法有C1 7C2 6C2 4C2 2/A33=105（种）。

放法共有35+210+105=350（种）。

（2）箱子允许空，分为下面四类。

①4个箱子均不空，由（1）知有350种放法。

②4个箱子中有1个是空的，则分为下面四种情形。

ⅰ）4个箱子中小球数是{0，1，1，5}，不同的放法有C1 7C1 6C5 5/A22=21（种）;

ⅱ）4个箱子中小球数是{0，1，2，4}，不同的放法有C1 7C2 6C44=105（种）;

ⅲ）4个箱子中小球数是{0，1，3，3}，不同的放法有C1 7C3 6C3 3/A22=70（种）;

ⅳ）4个箱子中小球数是{0，2，2，3}，不同的放法有C2 7C2 5C3 3/A22=105（种）。

此时共有不同的放法数为21+105+70+105=301。

③4个箱子中有2个是空的，又分为下面三种情形。

ⅰ）4个箱子中小球数是{0，0，1，6}，不同的放法有C1 7C66=7（种）;

ⅱ）4个箱子中小球数是{0，0，2，5}，不同的放法有C2 7C55=21（种）;

ⅲ）4个箱子中小球数是{0，0，3，4}，不同的放法有C3 7C44=35（种）。

此时共有不同的放法数为7+21+35=63。

④4个箱子中有3个是空的仅有一种情形{0，0，0，7}，共有1种放法。

综上所述，共有350+301+63+1=715（种）不同放法。

点评：本题属于分组问题，分组的类型包括整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组;或部分平均分组）。

四、球盒均不同

例4 将7个不同的小球，放入4个不同的箱子中。

（1）箱子不空，有多少种不同的放法？

（2）箱子允许空，有多少种不同的放法？

分析：与例3比较，需考虑箱子的差异，即箱子间的顺序。

解：（1）由例3可知7个不同的小球，放入4个相同的箱子中，箱子不空时共有350种放法。故将7个不同的小球，放入4个不同的箱子中，箱子不空，共有350A44=8 400（种）不同的放法。

（2）用“分步法”求解。将7个不同的小球，放入4个不同的箱子中，箱子允许空，每一个小球都有4种不同的放法，故共有47=16 384（种）不同的放法。

点评：重复排列问题要区分两类元素，一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，把能重复的元素看作“店”，通过“住店法”可顺利解题。在使用住店策略解决这类问题时，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数。