“导数法”在含参函数极值、最值问题中的应用

陈余杰

摘要：利用导数法研究函数的极值、最值问题需要具备一定的数学知识和技能，既要了解导数的定义和性质，掌握一定的求导技巧，还要掌握函数的极值、最值的判定方法，以及分类讨论的技巧，考查学生对函数思想的运用.本文中对利用导数法研究函数的极值、最值问题进行探究，并结合具体案例进行分析，助力学生对这些知识和技能的掌握，以便好地利用导数来研究函数的极值、最值问题.

关键词：导数法；函数；极值；最值

导数在高中数学中扮演着重要的角色，为解决数学相关问题提供了新的解决途径.与传统方法相比，利用导数求解函数的最值和极值问题更为高效，能够帮助学生快速提升解题速度并更深入地理解函数知识.导数的应用极大地扩展了数学问题的解决思路，让学生能够更灵活地运用数学知识解决各种问题［1-2］.因此，导数在高中数学教育中具有重要意义，对学生的数学学习和能力提升都有积极影响.

1 函数的极值问题探究

函数的极值问题是高中数学的常见问题.求函数的极值，可以通过分析函数的导数，得到函数f（x）在定义域上的极大值和极小值.其求解的过程通常如下：首先求出函数f（x）的导函数f′（x），令f′（x）=0，求解出方程的根，然后判断f′（x）在方程根两边的符号，从而确定函数f（x）的极值.求解过程中需要注意函数的定义域，特别是对于复杂的函数和多变量函数，其定义域的情况会较为复杂，需要判断所求极值点是否符合定义域［3］.下面以一道例题为例进行讲解.

例1  已知函数f（x）=1x-x+aln x.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若x1，x2为函数f（x）的两个极值点，证明：f（x1）-f（x2）x1-x2

解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）的导函数f′（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.

①若a≤2，则f′（x）≤0，当且仅当a=2，x=1时，f′（x）=0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减.

②若a>2，令f′（x）=0，解得

x=a-a2-42或x=a+a2-42.

故当x∈0，a-a2-42∪a+a2-42，+∞时，f′（x）<0；当x∈a-a2-42，a+a2-42时，f′（x）>0.

所以，当a＞2时，函数f（x）的单调递减区间为0，a-a2-42和a+a2-42，+∞，单调递增区间为a-a2-42，a+a2-42.

（2）证明：由（1）知，当a>2时f（x）存在两个极值点.

由于x1，x2满足x2-ax+1=0，

所以x1x2=1，x1+x2=a.

不妨设x11，则有

f（x1）-f（x2）x1-x2=a＼5ln x1-ln x2x1-x2-1x1x2-1=a＼5ln x1-ln x2x1-x2-2=a＼5-2ln x21x2-x2-2.

要证f（x1）-f（x2）x1-x2

即证1x2-x2+2ln x2<0.

令g（x）=1x-x+2ln x（x＞1），则由（1）知函数g（x）在（1，+∞）上单调递减.又g（1）=0，所以当x∈（1，+∞）时，g（x）<0，故1x2-x2+2ln x2<0.

故证得f（x1）-f（x2）x1-x2

点评：函数极值的探究以函数的单调性为基础，首先通过求导的方法讨论函数的单调性，然后根据单调性确定函数的极值点，这是处理极值问题的策略.

2 函数的最值问题探究

关于函数的最值问题，最常见的是求闭区间上函数的最值，即求解给定函数f（x）在闭区间［a，b］上的最值［4］.

运用导数法求函数的最值是一种十分简捷有效的方法，具体解题思路是：先明确函数f（x）的定义域，然后求导，利用导函数分析原函数在区间内的极值，再结合区间端点的函数值f（a），f（b）进行大小比较，从而确定函数的最值［5］.

例2  已知函数f（x）=2x3-ax2+b.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x∈［0，1］时，函数f（x）的最小值为-1，最大值为1，求a，b的值.

思路分析：第（1）问，求出方程f′（x）=0的两根，比较两根的大小并分类讨论，就可以求得函数f（x）的单调性；第（2）问，利用（1）中的单调区间对f（x）在［0，1］上的最值进行分类讨论，分类讨论的标准是单调区间的端点与0，1的大小关系，从而确定函数在［0，1］上的最值，最终确定参数a，b的值.

解：（1）易得f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，解得x=0或x=a3.

①若a>0，则当x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）时，f′（x）>0；当x∈0，a3时，f′（x）<0.故函数f（x）在（-∞，0）和a3，+∞上单调递增，在0，a3上单调递减.

②若a=0，则f（x）在（-∞，+∞）上单调递增.

③若a<0，则当x∈-∞，a3∪（0，+∞）时，f′（x）>0；当x∈a3，0时，f′（x）<0.故函数f（x）在-∞，a3和（0，+∞）上单调递增，在a3，0上单调递减.

（2）①当a≤0时，由（1）知，函数f（x）在［0，1］上单调递增，所以f（x）max=f（1）=2-a+b=1，f（x）min=f（0）=b=1，解得a=0，b=-1.

②当a≥3时，由（1）知，函数f（x）在［0，1］上单调递减，所以有f（x）min=f（1）=2-a+b=-1，f（x）max=f（0）=b=1，解得a=4，b=1.

③当0

若-a327+b=-1，b=1，则a=332，与0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，则a=33或a=-33或a=0，与0

综上，当且仅当a=0，b=-1，或a=4，b=1时，f（x）在区间［0，1］的最小值为-1，最大值为1.

点评：最值讨论策略——当函数的图象连续，讨论其在闭区间上的最值时，要将函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行大小比较，在极值和区间端点函数值中，最大者为最大值，最小者为最小值.

另外，已知函数在某点处有极值或最值，求参数的

取值范围时，通常采用以下方法：（1）采用逆

向思维先将参数当作常数，按照求极值的一般方法

求解，再依据极值与导数的关系，列等式（不等式）

求解；（2）根据函数在该点的导数列出等

式（不等式），再根据极值与导数的关系及题意

求解［6］.

利用导数研究函数的极值、最值问题是高中数学的重要学习内容，函数的极值是函数的局部性质，而最值则是函数相对于整个定义域而言的.运用导数法分析函数的单调性，可以快速找到函数的极值点和最值，掌握函数的性质和特点，从而对问题作出解答.

参考文献：

［1］赵学慧.导数在求函数极值、最值问题中的应用［J］.中学

生数理化（学习研究），2019（4）：19.

［2］谢丽英.利用导数研究函数的极值和最值问题［J］.中学生

数理化（教与学），2021（3）：87.

［3］邓家利.高中数学解题中导数的应用分析——以“导数求解函数”为例［J］.数学之友，2022（24）：34-36.

［4］司春炎.利用导数求解函数极值和最值的方法探究［J］.数理天地（高中版），2023（15）：16-17.

［5］郭惠英.利用导数求函数最值的三种方法［J］.中学数学，2023（11）：75-76.

［6］黄惠强.探究导数与函数极值、最值的实际运用［J］.数理化解题研究，2020（4）：11-13.