“三新”夯基础，素养重创新：“概率”单元教学

范继荣 杨喜霞

在“三新”背景下，“概率”单元教学更加侧重于数学实践，依托数学“四基”层面，合理创设知识网络与体系，落实核心素养；并在此基础上，进一步借助典型实例问题与剖析，落实数学概念的基础性，凸显数学公式的应用性，展示数学思维的灵活性，强化数学知识的应用性等，促进学生素养的形成.

1 构建知识网络，落实核心素养

对于“概率”单元教学的设计与研究，必须围绕数学“四基”层面，借助该单元知识网络，合理联系起各个知识点，构建一个完整的网络体系，为进一步落实相应的数学核心素养提供条件.

图1为“概率”单元的知识网络图.

对于以上“概率”单元教学的知识网络图，从“四基”的不同视角合理展开，有效关注学生对“四基”的落实情况，强化发现问题、提出问题、分析问题以及解决问题能力的培养与提升，重视数学核心素养的培养与发展.

2 借助典例设置，强化核心素养

2.1 从问题场景中加以数据分析

例1  九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，其图案中填有1到9九个数字，满足图案中的三条线（纵向、横向、斜向）上的三个数字的和都等于15，即现代数学中的三阶幻方，这个和值叫做幻和.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数.”其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图2所示，

若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件A=“a+b≥9”，则P（A）的值为.

分析：根据题设条件，依托问题场景，从中加以分析并抽取出对应的数据信息，合理进行数据分析与应用，进而从不同的思维视角切入，对数据分析给予全新的思维，达到解决概率求解的目的.

解法1：常规方法——枚举法.

根据九宫格的特征，可知四个顶角a，c，h，f是偶数2，4，6，8的一个排列，b，e，g，d是奇数1，3，7，9的一个排列.

而九宫格的幻和等于15，则知（2，8），（4，6）出现在对角线上，（1，9），（3，7）出现在上下（或左右）位置上.

通过枚举，其结果如图3所示.

294

753

618

276

951

438

438

951

276

492

357

816

618

753

294

672

159

834

816

357

492

834

159

672

所以P（A）=68=34.

解法2：对称法.

根据九宫格的特征，可知a+b+c=15，而a+b≥9，则c≤6.

而九宫格的四个顶角为偶数，根据对称性可知，c取偶数2，4，6，8是等可能的，则所求的概率为34.所以P（A）的值为34.

点评：与解法1中的枚举法比较，“抓地位对等，定概率相同”，借助概率事件的对称性，解法2中的对称法应用，解题方法更加灵活，技巧思维层次更高，数学运算与解题过程更加简捷，数据分析与数据处理更加合理.

2.2 从概率求解中加以数学运算

例2  篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（  ）.

A.1564

B.932

C.2764

D.3364

分析：根据题设条件，通过概率求解时对应的不同情况加以分析，进而借助相互独立事件的概率公式来计算.注意事件的判断与概率计算公式的正确运算.

解析：由题意可知，每位队员把球传给其他4人的概率都为14.由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为只在第一次接到球、只在第二次接到球，以及只在第三次接到球.

故所求概率为14×1×34+34×14×1+34×34×14=3364.

点评：归纳解决相互独立事件概率计算问题的基本步骤.（1）判断独立性.若一个事件是否发生对另一个事件的发生没有影响则二者相互独立.（2）合理利用性质.若A，B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也是相互独立事件.（3）利用公式计算.若A，B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）.特别要注意的是，求解独立事件中的概率问题时，关键在于先判断出题目中相关的事件的独立性，然后由事件的性质对事件进行分解、转化，从而得以解决问题.

2.3 从事件分析中加以逻辑推理

在概率问题中，不同事件之间的判定与关系是解决问题的关键所在.特别是涉及互斥事件、对立事件、独立事件等问题，在实际解决概率问题时，要合理正确判断并加以逻辑推理.

2.4 从应用情境中加以数学建模

例3  2022年11月21日，第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为14，出现平局的概率为12.小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率.

分析：根据比赛规则以及对应的应用情境，从中确定积分的规则，进而加以合理数学建模，利用相互独立事件的概率来分析与求解.

解析：由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分，6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分，共7种.要使四支球队积分相同，则总积分能被4整除.所以每支球队总积分为3分或者4分.若每支球队得3分，则6场比赛都出现平局，其概率为P1=164；若每支球队得4分，则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，其概率为P2=14×12×14×14×12×14×6=3512.

所以四支球队积分均相同的概率为P=P1+P2=11512.

点评：挖掘比赛规则，对应构建相应的数学模型，加以巧妙数学建模.这里，积分制体育比赛中，规定比赛m场后各队按照积分排名决定比赛名次，此时要注意积分的规则.积分制体育比赛在实际体育项目中有世界杯的小组赛等.

3 体现感悟反思，注重核心素养

在“三新”背景下，进一步落实“双减”政策与新改革理念，积极贯彻《深化新时代教育评价改革总体方案》要求，“概率”单元教学的设计与研究，应该更加关注基础、本质、能力、创新等层面，更多侧重数学基础与关键能力的考查，强化数学核心素养导向，更加注重数学创新意识与创新应用等.