2023年讲题比赛获奖论文之九:用思维分析揭示2023年天津卷第20题

高文娟

2023年天津卷第20题考查数列与不等式结构关系，运用函数思想解决问题.题目解法多样，思维开源，充分考查学生的数学素养和思维分析能力.

1 题目：2023年天津卷第20题

已知函数f（x）=1x+12ln（x+1）.

（1）求y=f（x）在x=2处切线的斜率；

（2）当x>0时，证明：f（x）>1；

（3）证明：56

2 分析与思维导图

2.1 思路分析

第（1）问简单，本文从略.

第（2）问证明要观察结构，化简到合适结构再运算，也就是对构造函数的能力有较高要求.若令g（x）=1x+12ln（x+1）-1或g（x）=（x+2）＼5ln（x+1）-2x，则其导数中含有“ln（x+1）”，不如选择变形为g（x）=ln（x+1）-2xx+2，这就是本题化简的本质（“对数单身”）！这一点在以往高考题中经常出现.

本题第（3）问的命题背景源自大学数学专业《数学分析》的“斯特林公式”，但是该公式只是它的命题背景，我们无需知道，即可用高中知识解决它.当然，本题也深刻考查了学生的数学核心素养和思维分析能力.对于第（3）问：（指向最简单与最本质的方法）观察发现本题属于数列型不等式，所以解答时可以结合数列知识.先看右边不等式，要证ln（n！）-n+12＼5ln n+n≤1，

设该不等式左侧为an，即证an≤1，

不难发现a1=1，则即证an≤a1，猜想an+1-an≤0，因此解题思路就出来了，证明过程用到第（2）问的结论.再看左边不等式，不等号方向决定需要构造f（x）<1+h（x），因为要证

an-a1=（a2-1）+（a3-a2）+……+（an-an-1）=∑n-1i=11-f1i>-16，

可联想∑n-1i=1161i+1-1i>-16，等等，也可联想泰勒展开、帕德逼近、斯特林公式等拓展知识结论，但是都需要具体运算后才能发现是否可行.相对来讲，后面给出的利用数列知识、求和思想的方法，对分析能力的要求更低，但是运算量较大.拓展知识对于培优生可以使用，但是对绝大部分学生而言，拓展知识的解法并不能让其看到解题本质即思维的分析，所以建议教学中以初等数学知识方法为主.

2.2 思维导图

第（2）问的思维导图（如图1）：

第（3）问需证明的是数列型不等式，解题时可根据结构特征选择适当的数列知识解决问题，也可采用证明不等式问题常用的数学归纳法及放缩法.

第（3）问证明右边不等式的思维导图（如图2）：

第（3）问证明左边不等式的思维导图（如图3）：

3 试题解答与解析

3.1 第（2）问

第（2）问有三种思路，这里只给出思路3的证明.

证明：要证f（x）=1x+12ln（x+1）>1，x∈（0，+∞），

即证ln（x+1）>2xx+2，x∈（0，+∞）（提示：这一步转化化简恰好是（1，1）阶帕德逼近，重要且必要）.

设函数g（x）=ln（x+1）-2xx+2，x＞0，则

g′（x）=11+x-4（2+x）2=x2（1+x）（2+x）2>0，

所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，有g（x）>g（0）=0.

故当x>0时，f（x）>1，得证.

评析：化简本质“对数单身”.

3.2 第（3）问右边不等式

因为右边不等式带有等号，肯定是不完全放缩.

3.2.1 法1：观察联想，构造数列

证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n，则

an+1-an=1-n+12ln1+1n=1-f1n.

由（2）知f1n>1，所以

an+1-an=1-f1n<0.

所以，数列{an}为单调递减数列，则an≤a1=1.

故ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证.

评析：本质是数列的“律”，对准“ln（n！）”，如何消掉？作差.

3.2.2 法2：分析联想，求和思想，消掉ln（n！）

证明：要证ln（n！）-n+12ln n+n≤1，即证

ln（n！）≤n+12ln n-n+1.

联想∑ni=1ln i≤∑ni=1bi=n+12ln n-n+1.

设an=n+12ln n-n+1，则

当n=1时，b1=a1=0.

当n≥2时，

bn=an-an-1=n+12ln n-n-12ln（n-1）-1.

故bn=0，n=1，n+12ln n-n-12ln（n-1）-1，n≥2.

只需证bn≥ln n.

因为b1≥ln 1显然成立，所以即证

n+12ln n-n-12ln（n-1）-1≥ln n，n≥2.

只需证n≥2时，有

n-12ln n-n-12ln（n-1）≥1.

只需证n≥2时，n-12lnnn-1≥1.

只需证n≥2时，n-1+12lnn-1+1n-1≥1.

即证n≥2时，f1n-1≥1.

由（2）知，不等式

f1n-1≥1显然成立，所以有ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证.

评析：观察联想数列前n项和，利用求和思想，求出通项公式，消掉ln（n！）.

3.2.3 法3：求和思想，结合（2）的结论构造ln（n！）

证明：由（2）知f（x）=1x+12ln（x+1）>1，则

n+12ln1n+1=n+12［ln（n+1）-ln n］>1.

当n≥2时，1+12（ln 2-ln 1）>1，

2+12（ln 3-ln 2）>1，

…………

n-2+12［ln（n-1）-ln（n-2）］>1，

n-1+12［ln n-ln（n-1）］>1.

由累加法可得

n-1+12ln n-［ln（n-1）+ln（n-2）+……+ln 2］>n-1.

所以当n≥2时，n+12ln n-ln（n！）>n-1，

即ln（n！）-n+12ln n+n<1.

又当n=1时，ln（n！）-n+12ln n+n=1，

所以ln（n！）-n+12ln n+n≤1，得证.

3.2.4 法4：观察构造数列，利用“数学归纳法”

具体过程略，可扫后面的二维码查看.

3.3 第（3）问左边不等式

3.3.1 法1：求和思想，平均化拟合

证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n.

猜想∑ni=1ci=ln（n！）-n+12ln n+n>56，

即c1+c2+……+cn>56.因为c1=1，

所以即证n≥2，c2+c3+……+cn>-16.

只需证n≥2时，an-an-1=cn>-16（n-1）.

只需证cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）（n≥2）.

只需证n≥2时，有

n-1+12ln1+1n-1-16（n-1）-1<0.

令t=1n-1∈（0，1］，则只需证

ln（1+t）<16t+11t+12=t（t+6）3（t+2）.

只需证F（t）=ln（1+t）-t（t+6）3（t+2）<0，t∈（0，1］.

因为t∈［0，1］时，F′（t）=-t［（t+1）2+3］3（t+2）2（t+1）<0（运算量大！）且F（0）=0，

所以F（t）在（0，1］上单调递减，则F（t）

评析：本方法关键是联想到平均化拟合，将c2+c3+……+cn>-16转化为通项cn>-16（n-1），化简过程中使用了“对数单身”的化简本质和“整体代换”的化简技巧.

3.3.2 法2：求和思想，拟合熟悉的较简单模型

证明：设an=ln（n！）-n+12ln n+n.

猜想∑ni=1ci=ln（n！）-n+12ln n+n>56，即

c1+c2+……+cn>56.

因为c1=1，联想n≥2时，

c2+c3+……+cn>-161-12+12-13+……+1n-1-1n=-161-1n>-16.

只需证n≥2时，an-an-1=cn>-161n-1-1n.

只需证cn=1-n-1+12ln1+1n-1>-16（n-1）n，n≥2.

接下来整理与转化方式同法1，略.

评析：关键是联想到简单熟悉模型进行拟合.

3.3.3 法3：加强后，利用数学归纳法

具体过程略，可扫码查看.

3.3.4 法4：分析放缩+泰勒逼近

扫码看附录

秒杀法，具体过程略，可扫码查看.

其他拓展性解法，如寻找拟合函数、帕德逼近、斯特林公式等解法不再细述，可扫码看附录.

4 方法延伸

解决问题的一种放缩方式：根据学生储备知识12x-1x12x-1x进行放缩，最终的结果是an>34不够大，进一步通过12x-1x与2（x-1）x+1的加权值调整一下，让左侧放缩结果大一点，如取12·2（x-1）x+1+14x-1x，构造函数g（x）=ln x-12·2（x-1）x+1-14x-1x，x∈（0，1），经过运算可得g（x）>0，即ln x>12·2（x-1）x+1+14x-1x，再用累加法即可得到an>78>56，得证.若取23·2（x-1）x+1+16x-1x，同理可证an>1112>56.这种构造方法学生可以掌握.

5 溯源与新题练习

5.1 溯源

（1）2022年新高考Ⅱ卷第22题：

已知函数f（x）=xeax-ex.

（ⅰ）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（ⅱ）当x>0时，f（x）<-1，求a的取值范围；

（ⅲ）设n∈N*，证明：112+1+122+2+……+1n2+n>ln（n+1）.

（2）2018年全国Ⅲ卷理科卷第21题：

已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（ⅰ）若a=0，证明：当-10时，f（x）>0.

（ⅱ）若x=0是f（x）的极大值点，求a.

5.2 新题练习

（1）原创命题练习

已知函数f（x）=x-aln（x+1）.

（ⅰ）当a=1时，求y=f（x）在x=2处的切线斜率；

（ⅱ）若x∈（0，+∞），f（x）>0恒成立，求a的取值范围；

（ⅲ）证明：n∈N+，ln（n！）-nln（n+1）+n>0.

（2）2019年调研试题改编

已知函数f（x）=7+x1+x（x>0）.

（ⅰ）讨论g（x）=x［f（x）］2的单调性；

（ⅱ）设a1=1，an+1=f（an）（n∈N*），试证明

2n-2|ln an-ln 7|<1.

6 结语

本题难点在第（3）问，它充分突出了数学学科的选拔性功能，深刻地考查了学生的数学核心素养和思维分析能力.具备泰勒展开等拓展知识的学生可以利用拓展知识解决问题，充分体现了数学教学的基本理念：以学生发展为本，立德树人，提升素养，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.