问题驱动下的高中数学“单元—课时”教学设计——以“随机抽样—获取数据的途径”为例

林国红 广东省佛山市乐从中学

“单元—课时”教学设计要求在整体教学观的指导下，有序规划单元各部分知识，以充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性［1］.它能够防止碎片化教学，使教学更有效度.对高中数学某一单元的教学来说，教师要整体把握该单元的知识内容、思想方法、素养价值，并按照知识的发生发展过程、学生的认识过程，将单元内容分解到课时［2］.问题驱动要求指向知识、经验、方法、思想等发生与发展的过程，设计一系列明确的、具有启发性的问题，以此驱动学生激发探究知识的欲望和兴趣，引导学生始终带着问题积极自主地进行思考，从而由外及内、由表及里地建构知识.对高中数学教学来说，它有利于将学生的学习由简单引向复杂，由感性引向理性，由识记、理解等较浅层次引向分析、综合、评价等较高层次［3］.

下面，笔者先探讨问题驱动下的高中数学“单元—课时”教学设计原则及注意事项，再以人教A 版普通高中教科书《数学》必修第二册中的“随机抽样—获取数据的途径”为例具体阐述.

一、问题驱动下的高中数学“单元—课时”教学设计原则及注意事项

问题驱动下的高中数学“单元—课时”教学设计需要在注重单元知识整体性的基础上设计有效的情境，提出问题（问题串），借助问题驱动的形式引导学生学习新知识，发现并建立新知识之间的联系.

（一）设计原则

1.以单元知识为统领

在设计高中数学“单元—课时”教学时，教师先要对单元教学内容有一个全局性认识，并以单元知识为统领，梳理单元内各个知识点，使它们形成一个有机的知识网络，然后在加强知识整体性的基础上，形成一个总体的教学设计.这样能体现基于数学整体性的“单元—课时”教学的优势，使学生在体验数学知识自然发生发展的过程中，感悟发现和提出数学问题的方法，获得“四基”“四能”，发展数学学科核心素养.

2.以课时知识为体现

单元教学设计与课时教学设计是整体与部分的关系.单元教学设计是全局性的，它把一个单元的内容综合起来，并系统地编排设计，而课时教学设计是对单元教学设计某些方面的具体化和量化.课时教学设计要以单元教学设计为指引，具体体现相应的课时知识.教师需要细致考虑课时教学需要达成哪些学习目标、解决什么问题、对单元目标有什么贡献等.因此，一个系统完整的单元教学，需要科学地安排每一课时的知识内容和方法，进而具体操作和落实，并在课时教学中逐一实现单元目标.

（二）注意事项

1.问题与情境要适切

在设计高中数学“单元—课时”教学时，教师要以数学知识发生发展的过程为线索创设情境，并提出有含金量的问题，突出情境与问题的配合.在实施教学时，教师要通过环环相扣的问题，驱动学生开展系列化、有内在逻辑关联的数学学习活动.需要注意的是，创设的情境、提出的问题应当适切，要对学生理解数学概念、形成基本技能、领悟基本思想有真正的启发作用，能起到跳一跳就能摘到果子的效果［4］.这样不仅可使学生获得新知识，而且可增强他们的学习兴趣，激发他们进一步探究的欲望.

2.发挥学生的主体作用与教师的主导作用

问题驱动下的教学设计还要注意发挥学生的主体作用与教师的主导作用.创设的情境要贴近学生的现实生活与认知能力，设计的问题也需要具备现实意义，以便充分调动学生的能动性，使学生在自主探究的基础上合作学习，并通过观点碰撞、讨论辨析，完成知识建构，达成深度学习.值得注意的是，在学生自主探究的过程中，教师要给那些需要帮助的学生以学法指导.这是因为教师的适时指导，不仅能助力学生领会研究的内容、过程和方法，而且能给予学生学习上的信心与支持.

二、问题驱动下的高中数学单元教学设计实践

“随机抽样”单元教学共设4 个课时：第1课时是简单随机抽样；第2课时是通过简单随机抽样估计总体；第3 课时是分层随机抽样；第4课时是获取数据的途径.

（一）单元内容解析

内容本质：获取数据的途径有多种，调查是其中的一种，调查又分为全面调查与非全面调查，抽样调查是非全面调查中的一种重要方法.要使抽取的样本具有代表性，就要依据随机原则，使每个个体被抽到的机会相等.

蕴含的思想与方法：随机抽样在现代社会中应用广泛，用样本估计总体，就是用数据说话，其中蕴含着转化与化归的思想.

知识点关系：随机抽样是后续学习“用样本估计总体”“统计案例”“成对数据的统计分析”的基础.

育人价值：统计的研究对象是数据，围绕收集数据、分析数据、用数据说话开展教学实践，可以帮助学生学会用数学的眼光观察世界，发展数据分析素养，树立实事求是与公平公正的处事原则.

（二）单元目标解析

目标1：通过实例（或问题），理解抽样调查的目的是获得对总体情况的了解，突出研究抽样方法的必要性；通过计算样本均值估计总体均值，了解样本与总体的关系，了解数据的随机性.

目标2：通过实例（或问题），解释用简单随机抽样估计总体的可行性，概括出简单随机抽样的概念及其解决问题的过程，理解抽签法和随机数法.

目标3：通过实例（或问题），了解分层随机抽样的特点和适用范围，掌握分层随机抽样的样本均值，会用比例分配的分层随机抽样的样本均值估计总体均值［5］.

目标4：通过实例（或问题），知道获取数据的基本途径.

目标5：在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题［6］.

（三）单元教学问题诊断及对策

其一，经过初中阶段的学习，学生能简单处理数据，但不了解数据获取的方式与方法.对此，教师要通过实际问题，让学生了解统计的实质和抽样调查的必要性.

其二，如何通过调查得到“好”样本，如何理解简单随机抽样的特征？对此，教师要让学生通过具体实例概括简单随机抽样的概念，掌握抽签法与随机数法.

其三，如何用样本估计总体？对此，教师可引导学生通过实例计算样本均值估计总体均值，初步了解用样本的数字特征估计总体的数字特征.

其四，如何避免“极端”样本，如何理解分层随机抽样？对此，教师可由实例导入分层随机抽样的概念，引导学生掌握分层随机抽样的基本特征.

其五，在理解了分层随机抽样之后，如何认识总体样本均值与每层样本均值的关系？对此，教师可引导学生通过对实际问题的探讨与交流，明确每层样本均值的加权平均等于总体样本均值，从而对比区分简单随机抽样与分层随机抽样的效果及适用范围.

其六，统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象，除了随机抽样外，还有哪些途径可以获取数据？对此，教师可在单元教学快结束时，展示事先收集的材料，使学生增加对获取数据途径的了解.

（四）确定单元教学重难点

基于上述分析，笔者确定此单元的教学重难点.

重点：简单随机抽样；分层随机抽样.

难点：从具体实例中概括、抽象简单随机抽样的概念；分层随机抽样的特征及样本均值与各层样本均值的关系；随机抽样方法的恰当选择.

三、问题驱动下的高中数学课时教学设计实践

问题驱动下的高中数学课时教学设计要以单元教学设计为统领，确定课时教学目标以及教学重难点，再设计具体的问题以驱动学生学习.下面，笔者以“获取数据的途径”课时教学设计为例说明.

（一）确定课时教学目标

笔者根据单元目标及单元学习主线“调查方法→简单随机抽样→分层随机抽样→获取数据的途径”，确定该课时的教学目标：（1）通过若干具体的实例（问题），让学生感知获取数据的不同途径，并结合所学知识分析总结不同途径获取数据的方法及优缺点；（2）在学习获取数据的途径的过程中，掌握获取数据的方法，并进行处理，发展学生的数据分析和数学建模等素养.

（二）确定课时教学重难点

笔者根据单元教学重难点确定该课时的教学重难点.

重点：了解获取数据的基本途径；理解不同途径之间的区别与联系；会选择合适的途径来获取数据.

难点：在具体的统计过程中，选择合适的获取数据的途径，设计合理的流程；通过对具体事例的自主思考和小组合作探讨，选择合适的获取数据的途径.

（三）以问题为驱动设计课时教学

确定课时教学目标以及教学重难点后，教师需要思考如何以问题驱动学生进行探究，从而建构知识，发展数学学科核心素养.笔者认为可通过如下环节设计教学.

1.创设情境，提出问题

以旧知识引入新内容，可降低新知识的学习难度.以生活实例创设情境，并提出贴近学生的问题，可激发学生的学习兴趣，吸引学生的注意力，为后续的教学活动创造良好的氛围和条件.

师：我们知道统计学是一门通过收集数据和分析数据来认识未知现象的学问.也就是说，只有设计合理的方法收集到具有代表性的数据，对其分析所获得的结论才有意义.因此，合理地收集数据是我们正确认识未知现象的前提和基础.同学们在前面学习了简单随机抽样和分层随机抽样两种抽样方法，但在实践中，收集数据的方法远不止这两种，今天我们就一起来认识其他收集数据的方法.

问题1：如果想研究我们学校学生的身高情况，请同学们想一想应该如何收集数据？

［师生活动］（1）教师提出问题后，由学生自由举手回答，学生可提出不同的方法，教师将其记录在黑板上，然后进行总结，从学生的答案中提炼出调查获取数据的方法，并指出其中的抽样调查和普查两种方法.（2）学生回答结束后，教师还可让学生探讨其可行性，说一下具体的获取数据的方法.（3）学生阅读教材，总结调查法的适用问题，了解不同的抽样调查方法，理解在调查前对研究对象进行预调查的重要性，并明确在实际抽样中，调查前摸清研究对象的背景信息也是调查的一部分.

设计意图：用简单的生活实例，引导学生快速进入课堂教学，同时让学生知道生活中确实存在获取数据的途径，感受生活与数学的内在联系.在研究学生身高的例子中提炼出这节课要学习的获取数据的第一种方法“调查法”，让学生在得到激励、获得自信的同时，了解不同的调查方法及其在实际操作中需要注意的细节.

2.提出生活化的问题，理解调查法

为引导学生进一步理解调查法，了解抽样调查与普查的异同，笔者继续以生活化的问题，驱动学生参与学习活动，使其在自主探究的基础上合作学习，提高学习效率，然后以例题帮助其巩固知识.

问题2：能否举出一些可以使用调查法获取研究对象数据的实际例子？

［师生活动］部分学生提出一些具体的生活实例，学生共同探讨其是否适合使用调查法，如有疑问，教师引导学生分析或直接给出具体解答.

例1：（多选题）下列选项中，适合用调查法获取数据的有哪些（）

A.某乡镇的贫困人口数据

B.某品牌电视机的市场占有率

C.某校七年级一班男女同学的比例

D.一批节能灯的使用寿命

例2：（单选题）下面四个选项中，可以采用抽样调查方法的是（）

A.检验10件产品的质量

B.银行对某公司10万元现钞存款真假的检验

C.跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量

D.检验一批汽车的防碰撞性能

设计意图：了解调查法概念后，引导学生通过具体实例来进一步理解该方法，并甄别哪些问题可以使用调查法.例1考查学生对调查法的理解，例2考查抽样调查与普查的概念辨析及抽样调查的必要性，帮助学生深化理解.

3.结合热点时事提出问题，认识试验法

以时事热点，如新冠疫情、新药是否有效、高考数学成绩等创设情境、提出问题，可以提高学生对问题的关注度和对新知的求知欲，引导学生认识试验法获取数据，区别调查法和试验法.

问题3：新冠疫情暴发后，我国科学家迅速展开研究，投入疫苗研制的攻坚战中.假如最近研制出了一种疫苗，想获得其对未感染人群免疫保障的效果，你会怎么获取数据？

［师生活动］提出问题后，教师引导学生根据要求设计对比试验，让学生了解试验是获取样本观测数据的另一种重要途径.例如，要判断研制的新药是否有效，在没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.

师：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.在统计学中，这种安排试验的学问叫作“试验设计”.

师（追问）：你能结合课本中提到的实例，归纳总结出调查法和试验法有什么区别吗？

［师生活动］问题提出后，教师鼓励学生回答，但不苛求学生一定要准确回答，只要说得有道理即可.在教师的引导下，学生认识到：一般调查法是对现象客观结果的记录，没有人为的干预；试验法一般是试验者主动安排试验因素，会人为干预试验.

例3：下列哪些数据一般是通过试验获取的（）

A.2023年某地的人口迁入数量

B.2023年某学校的高考数学成绩

C.一种治疗偏头痛的中成药的有效率

D.2023年某市的降雪量

设计意图：结合时事热点设计问题情境，可以提高学生对问题的关注度，使其在感知统计学实际意义的过程中，提升利用数学知识解决实际问题的意识.追问是让学生认识到调查法和试验法的区别，提高选择合适途径获取数据的能力.例3 考查学生对试验法的理解，并区分调查法和试验法.

4.借助天文地理等设计情境问题，认识观察法

观察法不仅是获取数学数据的重要方法，在天文地理中也应用普遍，借助天文地理等知识设计情境并提出问题，将中国最新的科技成果引入教学，可提高学生的民族自豪感，激发学生的学习热情，促进学生对观察法的认知.

问题4：如果想研究今后10年佛山市的降雨情况，应该如何获取数据？

［师生活动］根据学生回答情况，教师引导学生阅读课本，了解观察法获取数据的特点，进而认识到观察法一般用于研究自然现象，需要借助专业工具进行长时间的观察，它不同于试验法，不能进行人为的控制，也不能通过试验获取数据.

例4：“中国天眼”（FAST）是具有我国自主知识产权、最灵敏的射电望远镜，截至目前，它已发现660余颗新脉冲星.建造“中国天眼”的目的是（）

A.通过调查获取数据

B.通过试验获取数据

C.通过观察获取数据

设计意图：以与人们生活密切相关的“降雨”问题，引发学生了解观察法的兴趣.以我国科学技术前沿成就为情境，使学生在民族自豪感的感召下，更积极主动地探究观察法.

5.改变情境条件设计问题，认识查询法

笔者改变上一环节中“降雨”问题的条件，将“未来”变为“过去”，引导学生认识查询法获取数据，并通过对比认识查询法与观察法的区别.然后，笔者以我国高等教育发展状况、某贫困地区居民家庭年收入等生活问题，强化学生对查询法和观察法的区别认识.

问题5：如果想研究过去10年佛山市的降雨情况，应该如何获取数据？

［师生活动］提出问题后，教师引导学生阅读课本寻找答案，并举“第七次人口普查数据”等例，让学生了解不同的查询途径，然后用多媒体展示国家统计局网站，让学生了解大概内容.

例5：为了研究近年我国高等教育的发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的最好途径是通过_____.（从“调查”“试验”“观察”“查询”四个方法中选一种填入）

设计意图：用实例和讲解让学生了解查询法获取数据的特点和适用范围，明确查询法一般是针对已经研究过的现象，切实体会获取数据只是统计的第一步.例5考查学生对查询法的理解，强化需要通过关键特征确定合适途径的认识.

6.课堂小结，形成结构

在此环节中，笔者先让学生回顾总结获取数据的途径、特点及相关的注意问题，再通过小汽车尾号限行政策等实际情境，引导学生学会利用所学知识解决实际问题.

问题6：通过这节课的学习，你学到了哪些获取数据的途径？这些获取数据的途径有什么特点？各自适用什么类型？有哪些注意事项？请制成表格，分类表述.

［师生活动］学生完成表格，然后相互讨论，共同完善表格.教师展示部分统计完善的表格.

问题7：某市市区内交通拥堵，市政府准备出台小汽车尾号限行政策，为此需要调研其可行性.调研人员调查了部分拥有私家车的市民.请思考：这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？

［师生活动］不少学生给出了否定的答案.对此，教师引导学生思考回答的依据，充分让学生表达.

师：在实际统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断.

师（追问）：如果让你就问题7设计获取数据的途径，你会怎么做？

［师生活动］学生畅所欲言、讨论补充.教师引导学生通过合作探究发现较为合理的调查方法.

设计意图：问题6让学生回顾总结课堂所学，助力知识网络建构.问题7 要求学生辨析获取数据的途径是否正确，并在思考中明确方法要适切、数据要具有代表性.追问帮助学生强化之前的认识，进而找到合理的获取数据的途径.

7.目标检测，检验效果

在课堂教学的最后，笔者通过课堂目标检测与课后作业的形式，让学生认识获取数据的方法要有科学性，如此才能使样本具有代表性，并认识数学知识在现实生活中应用的广泛性，体会数学知识能够学以致用，进一步提高学生学习数学的兴趣与热情.

【课堂目标检测】

检测1：研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③电视台想知道某节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.这些问题中，一般通过试验获取数据的是（ ）

A.①②B.③④C.②D.④

检测2：为了调查本班同学对班级体育活动的意见，应该如何合理安排抽样才能提高样本的代表性？

检测3：杂志社有时会邀请一些高考落榜但在某方面事业上取得成就的人谈谈他们对高考落榜的看法.这些人所讲的往往大同小异，如“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等.小明据此得出一条结论：上大学不如高考落榜.他的结论正确吗？

设计意图：检测1考查学生对不同的数据获取途径的认识.检测2 考查分层随机抽样，学生需要按照男女生人数比例进行分层随机抽样.检测3 考查学生对抽样调查的认识，即只有正确地获取并分析数据，才能获得正确的结论.

【课后作业】

教材第189页第8题.