电动汽车动力电池SOC估计

唐旭 叶今禄 肖锦涛 汤道宽 宋海涛 谭先琳

摘要：为准确评估电动汽车锂离子电池荷电状态（state of charge，SOC），构建二阶电阻电容等效电路模型，通过递推最小二乘法识别等效电路模型参数，采用开路电压放电试验获取动态应力测试（dynamic stress test，DST）工况下开路电压与SOC之间的函数关系，在DST工况下对比分析开路电压法、卡尔曼滤波法、扩展卡尔曼滤波法估算的SOC及误差。结果表明：卡尔曼滤波及扩展卡尔曼滤波2种算法与开路电压法SOC估算结果吻合性较好；卡尔曼滤波法最大SOC估计误差为0.017，扩展卡尔曼滤波法最大SOC估计误差为0.013，均满足SOC估计误差不得超过0.050的标准要求，但扩展卡尔曼滤波算法精度更高。

关键词：电动汽车；锂离子电池；SOC估计；误差

中图分类号：TM912文献标志码：A文章编号：1673-6397（2024）02-0097-06

引用格式：唐旭，叶今禄，肖锦涛，等.电动汽车动力电池SOC估计［J］.内燃机与动力装置，2024，41（2）：97-102.

TANG Xu， YE Jinlu， XIAO Jintao， et al.SOC estimation of power batteries for an electric vehicle［J］.Internal Combustion Engine & Powerplant， 2024，41（2）：97-102.

0 引言

电动汽车电池工作状态参数包括动力电池运行时的端电压、电流、工作温度、内阻、动力电池荷电状态（state of charge，SOC）等^[1-2]。SOC为剩余电量占电池容量的比，可反应电池的剩余容量。SOC为0，电池完全放电；SOC为1，电池电量充满。准确估计锂离子电池SOC有利于合理规划行驶路线及充电计划，监控汽车充电状况，优化动力电池充放电策略，对电动汽车发展具有深远意义^[3]。

锂离子动力电池自放电少，可长时间存放，具有非线性输出特性^[4]，目前主要采用放电试验法、安时积分法、开路电压法及卡尔曼滤波算法估算锂离子电池SOC^[5]。放电试验法以恒定的电流使电池处于不间断的放电状态，当放电到达截止电压时计算所放电量（放电时的恒定电流与放电时间的乘积）。采用放电试验法估算SOC操作简单，但是不可添加负载，且电流波动大、测量时间长，导致SOC估计不精确。安时积分法通过实时测量电池包主回路电流，根据充电时间计算充电或放电电量，结合初始电量，得到当前电量，但由于无法直接得到初始电量，需与其他方法结合，增大了计算复杂性^[6]。开路电压法指电池长时间充分静置，各项参数稳定后，得到开路电压与SOC之间的对应关系，该方法估计精度高，但电池必须静置，且需要在开路情况下测量，使用范围受限。卡尔曼滤波（Kalman filter，KF）算法是基于最小方差的一种最优估计方法，该算法将估计变量作为状态变量，测量变量作为观测变量，采用递推方式滤除噪声，利用卡尔曼增益对估计变量和测量变量赋予不同置信度，直至估计变量收敛于真实变量，但该方法只能用于线性系统分析。

本文中构建二阶电阻电容（resistor capacitance，RC）等效模型，结合最小二乘法识别等效电路模型参数，并以动态应力测试（dynamic stress test，DST）工况为例，对比分析开路电压法、KF、扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）算法SOC估算结果，为准确估计锂离子电池SOC提供参考。

1 二阶RC电路模型及参数识别

1.1 二阶RC电路模型

锂离子电池等效电路模型包括Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型和RC等效电路模型。Rint模型由1個内阻和恒压电源串联组成，仅适用线性输出系统，不适用于锂离子电池非线性输出系统^[7]；Thevenin模型考虑锂离子电池极化现象，在内阻模型中增加了1个RC回路，也称为一阶RC模型，但该模型精度较低；PNGV模型考虑了负载电流随时间累计产生的电池开路电压的变化，在Thevenin模型的基础上串联了1个电容，适用于非线性输出特性的锂离子电池，但串联电容增大了累积误差^[8]；1个RC并联电路由1个电容器和1个电阻器并联构成，RC等效电路模型由电源串联内阻和多个RC并联电路构成，可准确模拟锂离子电池各种工况下的特性。多阶RC等效电路模型的建模阶数越高，电池动态特性建模效果越好，但建模复杂度增加。

锂离子电池放电后期，电流输出不稳定，SOC估算精度降低，综合考虑电池SOC估算精度和模型计算量，本文中选用二阶RC网络等效电路模型。二阶RC等效电路模型如图1所示。

由图1可知：二阶RC等效电路模型包括电池内阻器R0、电化学极化电阻器R1、浓差极化电阻器R2、电化学极化电容器C1、浓差极化电容器C2，相关参数有电路电流I，端电压U_L，开路电压U_OC，电化学极化电阻器和浓差极化电阻器对应的电压分别为U₁、U₂。R0的电阻随电池充、放电循环次数增加发生变化，U_OC指断开电流与负载回路，静止一段时间后锂离子电池内部达到新的稳定状态时，测量的端电压^[9]。

1.2 最小二乘法识别模型参数

采用最小二乘法，将锂电池二阶RC等效电路模型转化为最小二乘法结构形式，基于电路模型结构框架，通过模型输出与实际输出误差修正模型参数，直至误差平方和最小，得到最优结构模型^[10]。结合遗忘因子递推最小二乘法辨识电池模型参数，该方法基于自适应滤波理论，可迅速完成更新数据拟合及拟合参数修正。在最优结构模型基础上，重新计算估计代价函数，得出新的拟合参数，并循环优化估计代价函数，直至新估计的代价函数降到最小^[11]。同时，该方法添加遗忘因子解决数据饱和问题，增强算法的跟踪和修正能力，在时变系统中实现自适应数据拟合，具有计算量少、效率高、准确灵活、递推更新等优势，是一种广泛使用的优化算法^[12]。

1.2.1 最小二乘法结构

二阶RC等效模型微分方程动力学特性^[10]为：

U_L=U_OC－U₁－U₂－I·R₀，（1）

U₁·=－U₁R₁C₁+IC₁，（2）

U₂·=－U₂R₂C₂+IC₂，（3）

式中：R₀、R₁、R₂分别为R0、R1、R2的电阻，C₁、C₂分别为C1、C2的电容。

对等效模型微分方程进行离散化，得到复数域s对应的拉普拉斯方程：

U_OC（s）－U_L（s）=I（s）（R₀+R₁1+R₁C₁（s）+R₂1+R₂C₂（s））。（4）

不考虑电容的影响，将时间常数τ₁=R₁C₁，τ₂=R₂C₂代入式（4），可得：

τ₁τ₂U_OC（s）s²+τ₁+τ₂U_OC（s）s+U_OC（s）=τ₁τ₂R₀I（s）s²+R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁I（s）s+

R₀+R₁+R₂I（s）+τ₁τ₂U_L（s）s²+τ₁+τ₂U_L（s）s+U_L（s）。（5）

令a=τ₁τ₂，b=τ₁+τ₂，c=R₀+R₁+R₂，d=R₀τ₁+τ₂+R₁τ₂+R₂τ₁，当循环次数为k，采样时间为t′时，将复数域s进行转换，对式（5）离散化处理，可得：

U_OC（k）－U_L（k）=θ₁U_OC（k－1）－U_L（k－1）+θ₂U_OC（k－2）－U_L（k－2）+

θ₃I（k）+θ₄I（k－1）+θ₅I（k－2），（6）

其中，θ₁=－bt′－2at′²+bt′+a，θ₂=at′²+bt′+a，θ₃=ct′²+dt′+aR₀t′²+bt′+a，θ₄=－dt′－2aR₀t′²+bt′+a，θ₅=aR₀t′²+bt′+a。

θ=θ₁θ₂θ₃θ₄θ₅^T為直接辨识参数，依次推导电路模型参数为R₀=θ₅θ₂，R₁=cτ₁+R₀－dτ₁－τ₂，R₂=c－R₁－R₀，C₁=τ₁R₁，C₂=τ₂R₂。

1.2.2 参数识别

采用遗忘因子递推最小二乘法，系统在不同的循环次数及运行时间下对应的状态^[13]为：

θ^（k+1）=θ^（k）+K（k+1）（y（k+1）－φ_t（k+1）θ^（k））

K（k+1）=P（k）φ（k+1）/（λ+φ_t（k+1）P（k）φ（k+1））P（k+1）=（λ－K（k+1）φ_t（k+1））P（k）/λ，（7）

式中：y为系统输出；K为增益矩阵；t为运行时间；θ^为最佳估计系数矩阵；φ_t为θ对应的估计向量；P为输入向量；λ为遗忘因子，表示对旧数据的遗忘速度，λ=1为没有遗忘，λ=0为全部遗忘，通常λ取0.95～1或0.98～1^[10]。

采用递推最小二乘法识别二阶RC模型参数如图2所示。

由图2可知：采用最小二乘法辨识的参数更接近电池运行状态；电化学极化电阻、浓差极化电阻在前200 s和1 500 s左右变化较大，后期逐渐稳定收敛，电化学极化电阻在2 500 s有部分波动；2个电阻器总体稳定性较好；电化学极化电容波动幅度大于浓差极化电容波动幅度；开路电压波动较小，且电压逐渐降低；电池内阻波动范围较大，在第1 000 秒左右出现最小电阻。分析原因为开始测量时，电化学极化电阻、浓差极化电阻及对应的电容与真实值相差较大，导致前期波动较大，后期由于系统逐渐修正，参数逐渐趋于平稳。

2 不同方法的SOC估值对比

2.1 KF与EKF算法

KF利用线性系统状态方程，根据系统观测数据，对系统状态进行最优估计，观测数据中包括系统中噪声和干扰影响。

EKF算法通过泰勒级数展开式，将非线性系统进行线性化处理，并使用KF算法对等效线性系统状态进行最优估计，弥补了卡尔曼滤波算法的局限性，更好估计电池SOC。使用EKF计算第k次循环二阶RC模型的空间状态方程^[14]为：

X_k+1=1000exp（－t′/τ₁）000exp（－t′/τ₂）X_k+－t′/Q_kt′/C₁t′/C₂I_k+ω_k，（8）

式中：η为效率，Q_k为第k次循环时的电池容量，ω_k为第k次循环时过程噪声产生的测量误差矩阵。

将状态方程进行矩阵离散化后，得观测方程

U_L，k=U_OC，k－IR₀－U_1，k－U_2，k+U_v，k，（9）

式中U_v，k为观测噪声产生的测量误差。

2.2 开路电压法估计SOC

开路电压与电池SOC估值Q_SOC呈一定关系，选取电动汽车常见的DST工况估计SOC。根据文献[15]通用测试部分，在20 ℃环境中对额定容量为20 A·h的ICR18650锂离子电池进行开路电压法测量，采样周期为2 s，以1 A恒流放电，电池静置30 min 后，记录开路电压和对应的Q_SOC，电压每下降0.02 V，电池静置30 min，直至开路电压到达放电截止电压，放电电压随时间的变化曲线如图3所示。采用MATLAB 的cftool工具拟合采样数据，开路电压与Q_SOC特征曲线如图4所示。

由图4可知：经过滤波处理后的曲线精准且有较好的收敛性。结合开路电压与Q_SOC特征曲线关系，Q_SOC与开路电压拟合多项式为：

U_OC=1 979Q⁹_SOC－9 369Q⁸_SOC+18 770Q⁷_SOC－20 730Q⁶_SOC+13 780Q⁵_SOC－5 654Q⁴_SOC+1 416Q³_SOC－207.5Q²_SOC+16.62Q_SOC+3.06。（10）

2.3 SOC估值对比

基于最小二乘法识别的二阶RC等效电路模型参数及式（10），结合KF、EKF算法计算Q_SOC，并与开路电压法计算结果进行对比，计算SOC估计误差（EKF或KF计算Q_SOC与开路电压法计算结果的差）。DST工况下，EKF和KF算法对应的SOC估值及SOC估计误差曲线如图5所示。

由图5可知：DST工况下，采用EKF算法与开路电压法的曲线基本拟合，KF算法与开路电压法的曲线在前8 000 s拟合较好，之后拟合度降低；不考虑初始测量的系统误差，采用EKF算法计算SOC估值，误差为-0.007～0.013；采用KF算法计算SOC估值，误差为0.005～0.017。

DST工况下，2种算法均满足文献[16]规定的SOC误差小于5%的要求；采用EFK算法，最大SOC估计误差和误差区间均小于KF算法，具有较好的准确性和较高的精度。

3 结论

1）采用二阶RC等效模型计算锂离子电池等效电路，可准确模拟电池在各种工况下的特性，保证计算精度，不增加计算的复杂程度。

2）采用遗忘因子递推最小二乘法识别模型参数，更接近电池实际运行状态。

3）开路电压与SOC估值之间有一定的函数关系，可通过开路电压法确定拟合多项式。

4）DST工况下，采用EKF算法估算SOC的精度更高，收敛性更好。

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SOC estimation of power batteries for an electric vehicle

TANG Xu， YE Jinlu^*， XIAO Jintao， TANG daokuan， SONG Haitao， TAN Xianlin

School of Mechanical Engineering， Guangxi University， Nanning 530004， China

Abstract：In order to accurately evaluate the state of charge （SOC） of lithium-ion batteries for an electric vehicle， a second-order resistance capacitance equivalent circuit model is constructed. The parameters of the equivalent circuit model are identified using recursive least squares method， and the functional relationship between the open circuit voltage and SOC under dynamic stress test （DST） conditions is obtained through open circuit voltage discharge test. The SOC is estimated by open circuit voltage method， Kalman filter method， and extended Kalman filter method， and their errors are compared and analyzed under DST condition. The results show that the Kalman filter and extended Kalman filter algorithms are in good agreement with the SOC estimation results of the open circuit voltage method. The maximum SOC estimation error of the Kalman filtering method is 0.017， and the maximum SOC estimation error of the extended Kalman filtering method is 0.013， both of which meet the standard requirement of SOC estimation error not exceeding 0.050， however， the accuracy of the extended Kalman filtering algorithm is higher.

Keywords：electric vehicle; lithium ion battery; SOC estimation; error

（責任编辑：胡晓燕）