巧用导数求解含参函数零点问题

王慧

摘要：导数是研究函数图象和性质的重要工具，利用導数研究函数的单调性、极值与最值，证明不等式以及求解函数零点问题等都是高考常考的热点之一.以2022年全国乙卷（理）第21题为例，研究利用导数解决含参函数零点问题的解法，并对解法进行再反思.

关键词：含参函数；零点问题；导数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0068-03

含参函数y=f（x，t）是随参数变化而变化的动态函数，含参函数零点问题既是高考常考的热点，也是难点.解决问题的关键是对参数的处理，有直接讨论、分离参数两种解决思路.本文基于这两种思路，以2022年全国乙卷（理）第21题为例，给出三种解法，并对解法进行再反思.

1 真题再现

题目（2022年全国乙卷（理），21题）已知函数f（x）=ln（1+x）+axe-x，

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若f（x）在区间（-1，0），（0，+

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）各恰有一个零点，求a的取值范围.

第（1）问先算出切点，再求导得出斜率，最后根据点斜式方程便可得到切线方程；第（2）问是含参函数的零点问题，函数中包含学生熟知的以e为底的对数函数和指数函数，但又包含具有变化性的参数，所以它考查学生思维的灵活性、创新性，综合运用知识的能力以及数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.下面是对第（2）问解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接讨论法

解决函数零点问题最直接的办法就是求导，根据导数的正负性得到函数的单调性和极值、最值的符号，进而根据零点存在性定理判断函数零点的存在情况[1].但对于含参函数来讲，它是随参数变化而变化的动态函数，并且原函数和导数中都含有参数，所以在判断函数单调性时，就要考虑参数对某一区间内的单调性判断是否有影响，如果有影响，必须分类讨论.

解法1（ⅰ）当a≥0时，在（0，+

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）内ln（1+x）>0，axe-x≥0，即f（x）>0.

所以f（x）在（0，+

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）内无零点，不合题意.

（ⅱ）当a<0时，f ′（x）=ex+a（1-x2）（1+x）ex，令g（x）=ex+a（1-x2），则g′（x）=ex-2ax.

显然g′（x）在（-1，+

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）内单调递增，且g′（-1）=e-1+2a，g′（0）=1.

（1）当g′（-1）≥0，即-12e≤a<0时，g（x）在（-1，+

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）内单调递增，

所以g（x）>g（-1）>0，即f ′（x）>0.

所以f（x）在（-1，+

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）内单调递增.

又f（0）=0，所以f（x）在（-1，0），（0，+

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）内都没有零点，不合题意.

（2）当g′（-1）<0，即a<-12e时，存在x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.

所以g（x）在（-1，x0）内单调递减，在（x0，+

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）内单调递增，且g（-1）=e-1，g（0）=1+a，g（1）=e.

①当g（x）≥0，即-1≤a<-12e时，f（x）在（0，+

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）内单调递增，所以f（x）>f（0）=0，故f（x）在（0，+

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）内没有零点，不合题意.

②当g（x）<0，即a<-1时，存在x1∈（-1，0），x2∈（0，1）使g（x1）=g（x2）=0.

对f（x）的单调性分析见表1：

因为f（0）=0，所以f（x1）>0，f（x2）<0.

又当x→-1时，f（x）<0，当x→+

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时，f（x）>0，

所以f（x）在（-1，0），（0，+

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）内各恰有一个零点.

综上所述，a的取值范围是（-

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，-1）.

第（2）问处理的关键是在第（1）问中已算出f（0）=0，以及对参数a的分类，肯定与否定并用，否定只需说明在区间（-1，0）或（0，+

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）内f（x）没有零点即可.

2.2 分离参数

函数的零点问题可以转化为函数图象与x轴的交点问题，也可以转化为两个函数图象的交点问题，对于含参函数来说，通常是常函数与不含参的函数，或者是含参的一次函数与不含参的函数.

2.2.1 完全分离参数

令f（x）=ln（1+x）+axe-x=0，得到-a=ln（1+x）exx.则原问题转化为函数g（x）=ln（1+x）exx的图象与直线y=-a的交点问题.

解法2令g（x）=ln（1+x）exx，则

g′（x）=x-2ex［x1+x+（x-1）ln（1+x）］，

令h（x）=x1+x+（x-1）ln（1+x），

则h′（x）=x2（1+x）2+ln（1+x），

h″（x）=（x-3+2）（x+3+2）（1+x）3，

显然h′（x）在（-1，3-2）内单调递减，在（3-2，+

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）内单调递增.

所以h′（x）≥h′（3-2）>0.

故h（x）在（-1，+

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）内单调递增.

又h（0）=0，所以对g（x）的单调性分析见表2：

由极限思想可画出y=g（x）的大致图象.

由图知当a<-1时，满足曲线y=g（x）与直线y=-a在（-1，0），（0，+

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）内各有一个交点，

综上， 符合题意的a的取值范围是（-

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，-1）.

利用导数绘制函数g（x）的图象，然后通过平移直线y=-a得到符合题目要求的a的取值范围.

2.2.2 不完全分离参数

令f（x）=0，得到ln（1+x）ex=-ax.将原问题转化为函数g（x）=ln（1+x）ex的图象与直线y=-ax的交点问题.

解法3令g（x）=ln（1+x）ex，显然g（x）在（-1，+

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）内单调递增，由极限思想可画出g（x）的大致图象.

设曲线y=g（x）与直线y=-ax在［0，+

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）内的切点为（x0，-ax0），则有

ln（1+x0）ex0=-ax0，ex0［11+x0+ln（1+x0）］=-a.

解得x0=0，a=-1，此時曲线y=g（x）与直线y=-ax在（0，+

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）内没有交点，在（-1，0）内有一个交点.

所以当a<-1时，满足曲线y=g（x）与直线y=-ax在（-1，0），（0，+

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）内各有一个交点.

综上，符合题意的a的取值范围是（-

SymboleB@

，-1）.

此方法将a赋予了更明确的几何意义——斜率，根据两个函数在切点处的函数值和切线斜率相同，算出相切情况下a的值.此处函数g（x）比较特别，它在（0，+

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）内的图形是凹的，而且在曲线y=g（x）与直线y=-ax相切时，以及在旋转直线y=-ax使两者在（0，+

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）内相交的过程中，两者在（-1，0）内恒有交点.

3 结束语

这两种思路都是利用导数解决含参函数零点问题的常用方法.对于这三种解法各有利弊，直接讨论法是解此题型的通用方法，其关键是对参数的处理，需要熟练掌握一元一次、一元二次、分式、指数、对数等不等式的解法，而且有时还会涉及隐零点问题.在遇到无法求解的不等式时，通常需要二次求导来研究［2］，解题过程复杂、繁琐，这就要求学生思维缜密细致，并且对学生的数学运算能力、逻辑推理能力等要求较高.

完全分离参数法借助数形结合，经过平移直线与曲线相交，进而得到参数的取值范围，但是并不是所有的函数都能分离出参数.不完全分离参数法实际上也是从函数图象入手，将零点问题转换为两个函数图象的交点问题，但与完全分离参数法不同的是，它是从两个函数图象相切的临界情况入手，再通过直线绕定点旋转，得到曲线和直线相交且符合题意的情况，进而求出参数的取值范围.需要注意的是，这种方法只适合于在整个定义域内凹凸性不变的函数，或者在某个区间凹凸性不变，在另外的区间内恒符合题目要求的函数.

参数分离法虽然避免了对参数进行分类讨论，但是它是借助数形结合思想来解决问题，缺乏严谨性，而且在刻画不含参部分函数的大致图象时，会借助极限思想.而极限思想对高中生的思维来讲较困难，所以这个方法更适合用于选择题或填空题中.

在高中数学知识库中，函数占有很大比重，而导数是其中的重中之重，并且在高考选择题、填空题、简答题中都有所涉及.所以这就要求教师在教学时善于使用教材进行教学，帮助学生构建完整的知识框架.另外在教学过程中，教师要有意识地培养学生设而不求、分类讨论、等价转化、数形结合等思想，以及发展学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科素养.

参考文献：

[1]郑传远，周翔.素养视角下利用导数研究函数零点个数问题的解法赏析：以2020年全国卷Ⅰ文科第20题为例[J].中学教研（数学），2021（02）：48-50.

[2] 徐凯钰，王祯宇.函数零点问题的导数求解方法[J].中学生数学，2022（19）：11-13，10.

［责任编辑：李璟］